《电子系14级信号与系统第2章剖析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电子系14级信号与系统第2章剖析（80页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第 2 章 连续系统的时域分析,2.1 LTI连续系统的响应 2.2 冲激响应和阶跃响应 2.3 卷积积分 2.4 卷积积分的性质,LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。,第二章 连续系统的时域分析,2.1 LTI连续系统的响应,一、微分方程的经典解,y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)
2、,微分方程的经典解： y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解）,齐次解是齐次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解。yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。,特解的函数形式与激励函数的形式有关。P41表2-1、2-2,齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。,例2.1-1 描述某LTI系统的微分方程为 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t) 求 当f(t) = 2e-t，t0；y(0)=2，y
3、(0)= -1时的全解； 解: (一) 求齐次解yh(t) (1) 写出齐次方程 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = 0 (2) 写出特征方程：2 + 5+ 6 = 0 (3) 求出特征根： 1= 2，2= 3 (4) 写出齐次解(查表2-1) yh(t) = C1e 2t + C2e 3t,(二) 求特解yp(t) (1) 由f(t)的类型，查表2-2，写出特解的形式 当f(t) = 2e t时，其特解 yp(t) = Pe t (2) 由yp(t)写出yp(t) 、yp(t) yp(t) = Pe t , yp(t) = Pe t (3) 将yp(t)、yp(t)、yp(t)代
4、入原微分方程，确定系数值 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得 P=1 (4) 写出特解： yp(t) = e t,(三) 求全解 (1) 写出全解 y(t)= yh(t)+ yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t (2) 写出 y(t)： y(t) = 2 C1e 2t 3 C2e 3t e t (3) 将y(0)，y(0)值分别代入y(t)，y(t)，求待定系数 y(0) = C1+C2+ 1 = 2， y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得 C1 = 3 ，C2 = 2 (4) 写出全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e
5、 t , t0,齐次解： yh(t) = 3e 2t 2e 3t 函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特征方程的根称为系统的“固有频率”，它决定了系统自由响应的形式。但是应注意：齐次解的系数与激励有关。 特解： yp(t) = e t 函数形式由激励确定，称为强迫响应。,如果输入是阶跃信号或有始周期信号，那么也可将系统响应分解为瞬态(暂态)响应和稳态响应。完全响应中暂时存在的分量称为暂态响应， 随着时间的增长，它最终将衰减为零；响应中剩余部分称为稳态响应，通常也由阶跃信号或周期信号组成。 （例2.1-2，P42）,二、关于0-和0+初始
6、值,若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci时用t = 0+时刻的初始值，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。 而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。 在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。,二、关于0-和0+初始值,通常，对于具体的系统，初始状态(0-)一般容易求得。这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。下列举例说明。,例2.1-3：描述某LTI系统的微分方程为 已知 ， ， ，求 和 。,解：将输入 代入上述微分方
7、程得 （1） 利用系数匹配法分析：等号两端(t)项的系数应相等。,令,其中，a，b，c为待定系数，,为连续函数,对上式从-到t积分,得,其中,为连续函数,因为,对上式从-到t积分,得,其中,为连续函数,将,代入原微分方程，得,整理后得,等号两端,及其各阶导数的系数应分别相等，故得,求得,对上两式从0- 到0+积分,由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数(t)及其各阶导数时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。(y(t)及其导数不连续) 但如果方程右端不含(t)及其各阶导数时，则不会跃变。 由 0- 值求得 0+ 值的步骤 (以二阶系统为例) 见 P45,三、零输入响应,1
8、系统初始条件,根据线性系统的分解性，LTI系统的完全响应y(t)可分解为零输入响应yzi(t)和零状态响应yzs(t)，即,分别令t=0和t=0+，可得,对于因果系统，由于激励在t=0时接入， yzs(0-)=0； 对于时不变系统，内部参数不随时间变化， yzi(0+)=yzi(0-)。因此，可写为,同理，可推得y(t)的各阶导数满足,对于n阶系统，分别称,为系统的0-和0+初始条件,上式给出了系统0+与0-初始条件之间的相互关系，即系统的0+初始条件可通过0-初始条件和零状态响应及其各阶导数的初始值来确定。 系统在任一时刻的响应都由这一时刻的状态和激励共同决定，由于在t=0-时刻，输入激励没
9、有接入系统，故0-初始条件是完全由系统在0-时刻的状态决定的。或者说，0-初始条件反映了系统初始状态的作用效果。,在现代系统理论中，一般采用0-初始条件。因为： 1、0-初始条件直接体现了历史输入信号的作用； 2、对于实际的系统，其0-初始条件也比较容易求得。 相反，在传统的微分方程经典解法中，通常采用0+初始条件，这时可根据0-初始条件和 来确定。,例2.1- 4：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y(t) + 4y(t) = 2f(t) - 4f(t) 已知y(0-)=1，y(0-)=5，求该系统的零输入响应。,解：零输入响应yzi(t) 激励为0 ，故yzi(t)满足 yzi”(
10、t) + 5yzi(t) + 4yzi(t) = 0 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=1 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=5 该齐次方程的特征根为1， 4，故 yzi(t) = C1e t + C2e 4t 代入初始值并解得系数为C1=3 ,C2= 2 ，代入得 yzi(t) = 3e t 2e 4t , t 0,四、零状态响应,对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有 yzs(j)(0-)=0 yzs(j)(0+)的求法下面举例说明。,例2.15：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y(t) + 4y(t) = 2f(t) - 4f(t) 已知
11、yzs(0-)=yzs(0-)=0， f(t)=(t)，求该系统的零状态响应。,解：零状态响应yzs(t) 满足 yzs”(t) + 5yzs(t) + 4yzs(t) = 2(t) - 4(t) 并有 yzs(0-) = yzs(0-) = 0 由于上式等号右端含有(t)，故yzs”(t)含有(t)，从而yzs(t)跃变，即yzs(0+)yzs(0-)，而yzs(t)在t = 0连续，即yzs(0+) = yzs(0-) = 0，积分得 yzs(0+)- yzs(0-)+ 5yzs(0+)- yzs(0-) +4,因此，yzs(0+)= 2 yzs(0-)=2,对t0时，有 yzs”(t)
12、+ 5yzs(t) + 4yzs(t) = -4 不难求得其齐次解为C 1e-t + C 2e-4t，其特解为常数-1， 于是有 yzs(t)=C 1e-t + C 2e-2t -1 代入初始值求得 yzs(t)= 2e-t - e-4t -1 ，t0,五、全响应,例2.1-7：描述某LTI系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y(0-)=1，f(t)=(t)。求该系统的零输入响应、零状态响应和全响应。,解：（1）零输入响应yzi(t) 激励为0 ，故yzi(t)满足 yzi”(t) + 3yzi(t) + 2yzi(
13、t) = 0 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=2 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=1 该齐次方程的特征根为1， 2，故 yzi(t) = C1e t + C2e 2t 代入初始值并解得系数为C1=5 ,C2= 3 ，代入得 yzi(t) = 5e t 3e 2t ,t 0,（2）零状态响应yzs(t) 满足 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6(t) 并有 yzs(0-) = yzs(0-) = 0 由于上式等号右端含有(t)，故yzs”(t)含有(t)，从而yzs(t)跃变，即yzs(0+)yzs(0-)，而yzs(t)
14、在t = 0连续，即yzs(0+) = yzs(0-) = 0，积分得 yzs(0+)- yzs(0-)+ 3yzs(0+)- yzs(0-) +2,因此，yzs(0+)= 2 yzs(0-)=2,对t0时，有 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 6 不难求得其齐次解为C3e-t + C4e-2t，其特解为常数3， 于是有 yzs(t)=C3e-t + C4e-2t + 3 代入初始值求得 yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0,（3）全响应y (t),t0,：确定全响应的系数,：确定零输入响应的系数,：确定零状态响应的系数,五、全响应,LTI系统的全响
15、应可以分解为自由响应和强迫响应，也可分解为零输入响应和零状态响应。 两种分解方式的区别：虽然自由响应和零输入响应都是齐次方程的解，但二者系数各不相同。零输入响应仅由系统的初始状态所决定，而自由响应由系统的初始状态和激励信号共同决定。 在初始状态为0时，零输入响应为0，但在激励信号的作用下，自由响应并不为0。即，自由响应包含零输入响应和零状态响应的一部分。,2.2 冲激响应和阶跃响应,一、冲激响应,由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。,例2.2-1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应h(t)。,解 根据h(t)的定义 有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 先求h(0+)和h(0+)。,因方程右端有(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含(t)，h(t)含(t)，h(0+)h(0-)，h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。积分得 h(0+) - h(0-) + 5h(0+) - h(0-) + 6 = 1,考虑
