瑞利散射公式讨论

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1、第 7 卷第 1 期大学化学 199 2 年 2 月 瑞利散射公式 讨 论 李钵琦 (云南教育学院化学系昆明) 曾道刚 (云南大学实验中心 昆明650 091 ) 在化学及生物化学中 , 实用价值较大的胶体粒子 瑞利(孙yl e吵)散射公式在文献中所采用的表 达式多 达十余种 , 有的在形式上差异 很大 . 本文将常见的九 种表达式之间的关系及它们的物理意义进行讨论 . 为 了讨论的方便 , 把意义相同的物理量用统一的符号表 示 。 是同位相的 , 故可不考虑彼此间的干涉(称内干涉) ; 由于是稀体系 , 粒子间相距很 远 , 以致 每个粒子都可 看作一个独立的散射光源 , 且可不考虑各散射光

2、之间 的相互作用(称外干涉) , 据此 , 问题可以简化 。 根据光的波 动理论 , 光是电磁波 。 物理学用能流 密度矢量 S(伪ynt in g 矢量)来定量地描述电磁 波的能 量传翰 , s表示单位时间内通过以考察点为中心 , 垂直 传播方向的单位面积上的电磁波通量 , 它是电矢量 石 和磁矢量H的叉乘 s二Ex H 这里 , 若一面 。 2,代一兰) 厅 = 几, 2, , (卜兰) 、 、户声、百产、, 声 弓. .压 O乙 ,JJ , r .了 了、tl 、 扩0) 式中 , 为振动频率 ,。 为光速 , l是时间 , d 为观察点与 粒子之距离 . 按矢量的依赖关系 , 此能流密

3、度的平均 值可写成 s一 蠢 川一 蠢 川 ( l l , ( ll ) 式说明辐射的强度(每平方厘 米的能量)与此或 川成正比 . 因为各种光效应唯一地取决于电矢量 , 因 此我们仅讨论辐射的电矢量 。 、.产、.产匀月匕了、 了 t、 y X 。 兮 、 nU / 、 一 、 .E 呱 / 刘 咖 、 夕、, / On CJ 、了 r 、 一 粤黔喘资 撬 ) !、 1, 井三 名 黔喘 资晶 ) :;。之 2 一 架拌谓辛撬 ) 2。 , 只坠架处, 。 4 一 豁 (1+ 期 !。),。 4一: 一 黔谓 幸儡 ) : (1十 咖 2。)。 7 一 臀 ( 黯 ) 2 (1+ 期 2,

4、 ); 。 、 一 子 一 兴等 竺、 , + 、 = 式对(1+ 翎 2扒) , 静 十姗甸一 裔 十2 , 。十 r l , s (7) 式中I为散射光强度 , E 0为入射光振幅 , 人是入射光波 长 , N 为单位体积内粒子数目 , N 0是阿佛加德罗常数 , , 是一个粒子的体积 , 为粒子半径 , 和彻分别表示 分散相和分散介质的折射率 , , 为 : 与御之比 , d 为 观察者与粒子之距离 , a 为分子的极化率 , 叭是入射 光束与观察方向O P之夹角 , C 是溶液浓度 , /韶 是溶 液折射率随浓度的变化率 , 万为摩尔质量 , 脚称 R a y l e 运由比 , 分是

5、第二维里系数 . 瑞利散射公式一般适用于不导 电 、 各向同性 , 球 形小质点的稀体系 , 且入射光波长远离散射粒子的吸 收带 。 故可不考虑光的吸收 ; 由于粒子极小 , 如小于入 射波长的去 一壳 , 则可不考虑光的反射 , 又因此时粒 子处于均匀电场中 , 各散射单元的散射光可近似看作 零 图(l )给 出 位于坐标原点的一 个粒子的散射情 况 : 单色入射光沿 x 轴射人 , 电矢量 E在 x z 平面沿 2 轴方向偏振 , P 点观察到 的粒子所散射的电矢量凡在 z 轴与o P所确定的平面偏振 . 图(2 )为其散射强度的 分布 。 P点的散射公式可由电磁理论导出 。 据(10 )

6、式 , 人射光照射到位于原点的粒子 _ 匕电场随时间的变化 为 E二忍幻旧2。, (12) 此电场引起粒子的极化 , 从而产生 一个振荡的偶极矩 扛 , 它等于分子的极化率 a 与电矢量 E的乘积 产二aE 二 a召。酬2介I健 如果分子是各向同性的 , 振荡矩就像一个辐射源一样 沿 Z 轴方向振荡产生散射 ,P 点的电场为 二 。口肠4矛s in 晓 , _ 己 、 E p 二二斗呀 CO2介v(l 一 二) (13) 一“ dA z 口 一 一 、 c z、 U 产 方括号项表示散射光的振幅 。 当人射光与散 射光在同一介质 中传播时 , 由 (一 l) 、 (一 2) 、 (一 3)式可

7、得出散射光强度I , 与入射光强 度 I。之比为 , , 一 豁 (+ 。 , 。 (5) 它。)式的、只是用上 烤纽 代替了、砂 二目 。 ( 5)式描述了一个各向同性的粒子在指定点P处的非 偏振散射光强度 。 从应用 的角度 , 化学家和生物学家不大关心个别 粒子的行为 , 而 厅研究胶休溶液感兴趣 , 并使用散射 测量来寻求溶质分子的某些性质 。 因此必须考虑大量 粒子发生散射的情况 。 现讨论含有N个散射粒子的单 位体积元 。 假设粒子相距很远 , 以致它们彼此不相干 而可将其看成独立子 。 于是 , N 个粒子的散射光强度 应为一个粒子的N倍 , 即将(5 )式乘以 y 可得 R汀名

8、护N 介 一芯万万石一l 十以巧 甲又) I 0 任 J皿 (16 ) 对于不导电粒子 . 极化率 a 与折射率 . 有关系 3万 矿一1 a 之 石而 了干厄 生 为 对 I 尸 S 105 0 移项即得公式 : 仁噢书 )坐 2 局 16汀护sin Z外 矛A 吸 式中p和万分别为粒子的密度和摩尔质量 , N 0为 A v娜笋dr o 常数 。 对于由两种物质组成的胶体溶液 ,_ 卜 式变为 3似 淤一 1 a 二刁 夏瓦而 奋 蔽耳1 式中 二二 , 表示分散相折射率与分散介质折射率之 于 , = . 些军零二 些1 0 毯A , () 比 。 由于赫一 ”(一个粒子的体 积, , 故

9、(的式系指一个粒子的偏振散射公式 . 通常 , 在光散射实验中 , 用的是非偏振光 , 如自然 光 。 它可分解为水平偏振 E l 及垂直偏振凡两个郁 分川 。 图(3)即是非偏振入射光的散射强度分布 。 引用 ( 4)式分别写出相应散射光强度与入射光强度之比为 3 a 二 丽 ” 。子一 确 成 + 2确 将(17)式代入(16)式即得(6)式 9护N ”2 , 好一峙 、 ,._,_、r ,尸 = 气了万育r又二尸甲尸左飞夕一戈i飞一以声 , 一甲丈j c 乙“ 一八 一 ”I厂确 (17) (6) _ 些型竺也丛, 泣 1鲤空必竺 一 2通4 H : 一 子A 1 01 ( 6)式是指含

10、有N个不导电粒子的体积元 , 在忽略粒 子间相互作用的条件下 , 在指定点 P处的非偏振散射 公式 。 对于半径为 , 的球体 , 只要将 。二 粤, , 以及李 产JJ 丫 飞1二 , 日 J 毕汁 /、 , ” , J一 3 ” 甸 二。关系代人(5 ) 式 , 就可导出(7 )式 8汀N 产 , 砂一 1 、 , 二 _, 、, 。、 一 等券 一 喘找) , (+ ” ,X)1 0 (7, 除了球形粒子这一条件外 , (7 )式与(6 )式具有完全相 同的物理意义 。 对于折射率 , 随浓度 c 呈线性变化的大分子真溶 液 , 且 。, 十屿、2、 , a 是溶质粒子的极化率及其溶剂极

11、 化率的逾量 。 可通过溶液对溶剂折射率的遗量求得 a 一 会 (会) 兴 4 , (18) 将(1 8 )式代人( : 5)式可得 . 乒 缅 可以认为垂直散射与水平散射的强度相等 , 于是有 上 一一 乃 一 1 0 一 签 (, n: , + ,nZ, )(,4) 这就是在x方向入射的非偏振光散射公式 。 为了寻求 非偏振散射介与叭 的依赖关系 , 可由图(l )导出 : d ” 尹为d 在 x 、 Y 、z 轴上的投影 , 故有 矛(哪之卿+ 哪 2外 + 姗 之恤) 一矛 或 c伪2叭十哪2介十、2弥一 1 , 以 1一s i矛, 代替 c渭知 后得 s i nZ尹 + sinZ怀

12、=l+ 助 , 卿 (15) 将( 15)式代入(14)式即可得到(5)式 列粤单二 竺(1 + 。 : , ) 月 .月O R一M , k 称为反射系数 , A 为光照度 . 根据前述条 ( l 9 ) 件 , 散射的胶体舒对光不吸收 , 即 一1 , 于是有 一一 砂一 1 0 因(5 )式是由一个粒子产生的散射导出来的 , 对于单 位体积内有N个粒子的稀溶液即为上式的N倍 . 若C 是用单位体积内溶质质量表示的浓度 , 则N 一乙万。/M , 乘以(19)式即可得(8)式 二 万 (22) 二 一 竺 - 一, 二 1 0 2间(血/心)2 A N 0 心卫 (l十 . 2和) 将(2

13、2)式两边分别用(21 )式及(2。)式代换 , 可得 =兀对(1+ 。 2必) (8) (8 ) 式与( 6 )式的区别是 , (6 ) 式适用于稀胶体体系而 ( 8)式适用于大分子真溶液的稀休系 . 对于浓度较大的真溶液 , 需对(8 )式进行修正 , 成 为(9 )式的形式 。 I (允度)- 巫盆迎 = 旦 叮万 由前面的讨论可知 , (2 )式的光强度为I (二 ), 将( 2)式 除以 二 即是( 3)式 _ 全 宝丝竺澳早奥 ; )呱 A , 一, ! 州卜乙助 鬓 (+ 姗认, 一 命 十2 “+ 因此 , ( 3)式可理解为是将(2 )式的 结果 . (3) I傲动)换成I

14、(先 度)的 (9) 式中分为第二维里系数 . ( 5) 一(9)式均描述位于坐标原点的粒子在某一 特定点 P 的非偏振散射 . 如果我们欲求取该粒子在四 周各个方向散射的总强度 , 需以半径 d 作球面积分 . 单位制的不同 , 公式的形式也会不同 . 在光度学 中 , 光强度为光亮度 , 公制单位规定光亮度的单位为 尼提(N IO . 较小的单位为熙提(鱿ub) . 若将一个面视为 完全扩散 , 则亮度可用朗白(。 n 比r t)单位 。 因为 1 朗 白一专,提 , 所以若( 3)式采用。种不同的单位时 , ,二一 J “。,“ 、l 、声、 少 ,d, 了.、 J 了、 将(5 )式积

15、分即得( l )式 可分别为 I (先度) 24二,肠2 , , f一确 、, 二二 一 t -,尸气尸 吧 r贾,一In A , 、时 十 Z确 (l) 男兴黔谓辛撬 )呱 (熙提, 一 兴黔 (糕, 2 (朗“ 显然 , ( l )式表示含有N个不导电粒子在各个方向的 非偏振散射光的总强度 。 在波动光学中 , 光强度被定义为振幅的平方所表 征的相对光照度 A . 即 I (故动) 三蛇翔 A r,o 因此 , 将那代换( l )式中的1 0 可得到(2 )式 2 4护刃定产 , 心一筋 、, _ 。 I映 动, = 月, 不一 - 弋牙干 获, “。 (20) (2) 可见 , (2 )

16、式与( l)式具有完全相同的物理意义 。 表达 式 的差别来自不同学科对光强度的定义不同 . (l )式 以及( 4) 一(9 )式 , 直接从光的电磁理论 导出 , 相当于 辐射光强度用能流密度表示 , 可记作I (电.、. 推导(2 )式 时引用了波动光学的定义 , 辐射光强度用了成所表征 的相对光照度来表示 , 记作 I (旅动) . 在光度学中 , 是用光亮度 B 代表光强度 , I (光度) 二B(21) 由于被照明的散射体接近余弦辐射体山 . 因此有 ,一令关系 . 式中“称为余弦辐姗的面发光度 . 如 果余弦辐射体 自身不发光 , 而是被照明的面积元 , 则 因此 , (2 ) 式与(3 )式的差别又可理解为光度学中采用 熙提和朗白两种不同单位的结果 . 还可看到 , 当I, 。 以朗白为单位时 , 其表达式与