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1、错解剖析得真知(三十一) 第十章 导数及其应用10.1导数及其运算一、知识导学1.瞬时变化率:设函数在附近有定义,当自变量在附近改变量为时,函数值相应地改变,如果当趋近于0时,平均变化率趋近于一个常数c(也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝对值越来越小,可以小于任意小的正数),那么常数c称为函数在点的瞬时变化率。2.导数:当趋近于零时,趋近于常数c。可用符号“”记作:当时,或记作,符号“”读作“趋近于”。函数在的瞬时变化率,通常称作在处的导数,并记作。3.导函数:如果在开区间内每一点都是可导的,则称在区间可导。这样,对开区间内每个值,都对应一个确定的导数。于是,在区间内,构成一个新的函数,我
2、们把这个函数称为函数的导函数。记为或(或)。4.导数的四则运算法则:1)函数和(或差)的求导法则:设,是可导的,则即,两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)。2)函数积的求导法则:设,是可导的,则即,两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数。3)函数的商的求导法则:设,是可导的,则5.复合函数的导数:设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则复合函数在点处有导数,且.6.几种常见函数的导数:(1) (2)(3) (4) (5) (6) (7) (8) 二、疑难知识导析 1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率2.运用
3、复合函数的求导法则,应注意以下几点(1)利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导,不能混淆,一直计算到最后,常出现如下错误,如实际上应是。(3) 求复合函数的导数,关键在于分清楚函数的复合关系,选好中间变量,如选成,计算起来就复杂了。3.导数的几何意义与物理意义导数的几何意义,通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义,通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解,有助于对抽象的导数定义的认识,应给予足够的重视。4. 表示处的导数,即是函数在某一点的导数;表示函数在某给定区间内的导函数,此时是在上的函数,即
4、是在内任一点的导数。5.导数与连续的关系若函数在处可导,则此函数在点处连续,但逆命题不成立,即函数在点处连续,未必在点可导,也就是说,连续性是函数具有可导性的必要条件,而不是充分条件。6.可以利用导数求曲线的切线方程由于函数在处的导数,表示曲线在点处切线的斜率,因此,曲线在点处的切线方程可如下求得:(1)求出函数在点处的导数,即曲线在点处切线的斜率。(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为:,如果曲线在点的切线平行于轴(此时导数不存在)时,由切线定义可知,切线方程为.三、经典例题导讲例1已知,则 .错因:复合函数求导数计算不熟练,其与系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,
5、导致错解为:.正解:设,则.例2已知函数判断f(x)在x=1处是否可导?错解:。分析: 分段函数在“分界点”处的导数,须根据定义来判断是否可导 . 解: f(x)在x=1处不可导.注:,指逐渐减小趋近于0;,指逐渐增大趋近于0。点评:函数在某一点的导数,是一个极限值,即,x0,包括x0,与x0,因此,在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时,要验证其左、右极限是否存在且相等,如果都存在且相等,才能判定这点存在导数,否则不存在导数.例3求在点和处的切线方程。错因:直接将,看作曲线上的点用导数求解。分析:点在函数的曲线上,因此过点的切线的斜率就是在处的函数值;点不在函数曲线上,因此不能够直接用
6、导数求值,要通过设切点的方法求切线解:即过点的切线的斜率为4,故切线为:设过点的切线的切点为,则切线的斜率为,又,故,。即切线的斜率为4或12,从而过点的切线为:点评: 要注意所给的点是否是切点若是,可以直接采用求导数的方法求;不是则需设出切点坐标例4求证:函数图象上的各点处切线的斜率小于1,并求出其斜率为0的切线方程.分析: 由导数的几何意义知,要证函数的图象上各点处切线的斜率都小于1,只要证它的导函数的函数值都小于1,因此,应先对函数求导后,再进行论证与求解. 解:(1),即对函数定义域内的任一,其导数值都小于,于是由导数的几何意义可知,函数图象上各点处切线的斜率都小于1.(2)令,得,当
7、时,;当时,曲线的斜率为0的切线有两条,其切点分别为与,切线方程分别为或。点评: 在已知曲线 切线斜率为的情况下,要求其切线方程,需要求出切点,而切点的横坐标就是的导数值为时的解,即方程的解,将方程的解代入就可得切点的纵坐标,求出了切点坐标即可写出切线方程,要注意的是方程有多少个相异实根,则所求的切线就有多少条. 例5(02年高考试题)已知,函数,设,记曲线在点处的切线为 . (1)求 的方程; (2)设 与 轴交点为,求证: ;若,则分析:本题考查导数的几何意义,利用其求出切线斜率,导出切线方程 . 解:(1) 切线的方程为即.(2)依题意,切线方程中令y=0得, 由知,例6求抛物线 上的点
8、到直线的最短距离. 分析:可设 为抛物线上任意一点,则可把点到直线的距离表示为自变量的函数,然后求函数最小值即可,另外,也可把直线向靠近抛物线方向平移,当直线与抛物线相切时的切点到直线的距离即为本题所求. 解:根据题意可知,与直线 xy2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线xy2=0的距离最短,设切点坐标为(),那么, 切点坐标为,切点到直线xy2=0的距离, 抛物线上的点到直线的最短距离为.四、典型习题导练1.函数在处不可导,则过点处,曲线的切线 ( ) A必不存在B必定存在 C必与x轴垂直 D不同于上面结论2.在点x=3处的导数是_.3.已知,若,则的值为_.4.已知P(1,1)
9、,Q(2,4)是曲线上的两点,则与直线平行的曲线的切线方程是 _. 5.如果曲线的某一切线与直线平行,求切点坐标与切线方程.6若过两抛物线和的一个交点为P的两条切线互相垂直.求证:抛物线过定点,并求出定点的坐标.错解剖析得真知(三十二) 10.2导数的应用一、 知识导学1.可导函数的极值(1)极值的概念设函数在点附近有定义,且若对附近的所有的点都有(或),则称为函数的一个极大(小)值,称为极大(小)值点.(2)求可导函数极值的步骤:求导数。求方程的根.求方程的根.检验在方程的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数在这个根处取得极大值;如果在根的右侧附近为正,左侧附近为负
10、,那么函数在这个根处取得极小值.2.函数的最大值和最小值(1)设是定义在区间上的函数,在内有导数,求函数在上的最大值与最小值,可分两步进行.求在内的极值.将在各极值点的极值与、比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.(2)若函数在上单调增加,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数在上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值.二、疑难知识导析1.在求可导函数的极值时,应注意:(以下将导函数取值为0的点称为函数的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点,注意一定要是可导函数。例如函数在点处有极小值=0,可是这里的根本不存在,所以点不是的驻点.(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点,也可能不
11、是极值点。例如函数的导数,在点处有,即点是的驻点,但从在上为增函数可知,点不是的极值点.(2) 求一个可导函数的极值时,常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格,这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.(3) 在求实际问题中的最大值和最小值时,一般是先找出自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域.如果定义域是一个开区间,函数在定义域内可导(其实只要是初等函数,它在自己的定义域内必然可导),并且按常理分析,此函数在这一开区间内应该有最大(小)值(如果定义域是闭区间,那么只要函数在此闭区间上连续,它就一定有最大(小).记住这个定理很有好处),然后通过对函数求导,发现定义域内只有一个驻点,
12、那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大(小)值。知道这一点是非常重要的,因为它在应用上较为简便,省去了讨论驻点是否为极值点,求函数在端点处的值,以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤.2.极大(小)值与最大(小)值的区别与联系极值是局部性概念,最大(小)值可以看作整体性概念,因而在一般情况下,两者是有区别的.极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值,但如果连续函数在区间内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值.三、经典例题导讲例1已知曲线及点,求过点的曲线的切线方程.错解:,过点的切线斜率,过点的曲线的切线方程为.错因:曲线在某点处的切线斜率是该
13、曲线对应的函数在该点处的导数值,这是导数的几何意义.在此题中,点凑巧在曲线上,求过点的切线方程,却并非说切点就是点,上述解法对求过点的切线方程和求曲线在点处的切线方程,认识不到位,发生了混淆.正解:设过点的切线与曲线切于点,则过点的曲线的切线斜率,又,。点在曲线上,代入得化简,得,或.若,则,过点的切线方程为;若,则,过点的切线方程为过点的曲线的切线方程为或例2已知函数在上是减函数,求的取值范围.错解:在上是减函数,在上恒成立,对一切恒成立,即,.正解:,在上是减函数,在上恒成立,且,即且,.例3当 ,证明不等式.证明:,则,当时。在内是增函数,即,又,当时,在内是减函数,即,因此,当时,不等
14、式成立.点评:由题意构造出两个函数,.利用导数求函数的单调区间,从而导出及是解决本题的关键.例4设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?解 : 设BD之间的距离为km,则|AD|=,|CD|=.如果公路运费为元/km,那么铁路运费为元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费为:+,().对该式求导,得=+=,令,即得25=9(),解之得=15,=-15(不符合实际意义,舍去).且=15是函数在定义域内的唯一驻点,所以=15是函数的极小值点,而且也是函数的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省.点评: 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数