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1、一方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合二解题策略类型一 与向量的模有关的最值问题【例1】【2018河北定州中学模拟】设向量满足， ， ，则的最大值等于（ ）A. 4 B. 2 C. D. 1【答
2、案】A【指点迷津】由已知条件得四点共圆是解题关键，从而转化为求外接圆直径处理.【举一反三】1、【2018辽宁沈阳东北育才学模拟】在中， ，点是边上的动点，且,，则当取得最大值时， 的值为（ ）A. B. 3 C. D. 【答案】D 2、【2018湖南长沙市长郡中学模拟】已知向量满足： ，且，若，其中， 且，则的最小值是_【答案】【解析】，且，当时， ， ，又且，当且仅当时取“=”， 的最小值是，故答案为.3、【2018浙东北联盟联考】已知向量，满足， ，若，则的最大值为_，最小值为_【答案】 4 【解析】设， ，即， ，由二次函数性质可得， ， ，最大值为，最小值为，故答案为， .类型二 与向
3、量夹角有关的范围问题【例2】已知向量与的夹角为，时取得最小值，当时，夹角的取值范围为_.【分析】将表示为变量的二次函数，转化为求二次函数的最小值问题，当时，取最小值，由已知条件，得关于夹角的不等式，解不等式得解【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解【举一反三】1、非零向量满足=，则的夹角的最小值是 【答案】【解析】由题意得，整理得，即，夹角的最小值为2、已知向量=（2，1），=（，1），则与的夹角为钝角时，的取值范围为（ ）A. B. C. 且2 D. 无法确定【答案】C【解析】与的夹角为钝角，=210，解
4、得，又当=2时，满足向量，且反向，此时向量的夹角为180，不是钝角，故的取值范围为，且2.故选C.类型三 与向量投影有关的最值问题【例3】设， ， ，且，则在上的投影的取值范围( )A. B. C. D. 【答案】D当时， 当故当时， 取得最小值为，即当时， ，即综上所述故答案选【指点迷津】由已知求得及，代入投影公式，对分类后利用二次函数求最值，在分类讨论时需要讨论完整，不要漏掉哪种情况，讨论完可以检查下是否把整个实数全部取完。【举一反三】1、已知的外接圆的圆心为，半径为2，且，则向量在向量方向上的投影为( )A. 3 B. C. -3 D. 【答案】B本题选择B选项.2、【2018福建省闽侯
5、第六中学模拟】设， 且， 则在上的投影的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】D 法2：不妨设为坐标原点， ， ，则，也就是.而在上的投影为.令，如果，则，所以也就是，所以；当时， ；当时， ，所以也就是，所以.综上， 的取值范围为.类型四 与平面向量数量积有关的最值问题【例4】【2018广州华南师范大学附中模拟】如图，半径为1的扇形中， ， 是弧上的一点，且满足， 分别是线段上的动点，则的最大值为（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】C【指点迷津】平面向量数量积的求法有：定义法；坐标法；转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建
6、立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【举一反三】1、【2018福建莆田市第二十四中学模拟】已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A 2、【2018浙江镇海中学模拟】在平面内， ，动点， 满足， ，则的最大值是A. 3 B. 4 C. 8 D. 16【答案】D【解析】由，得.所以是等边三角形，设的边长为，则，得.以BC为x轴,以BC的中垂线为y轴建立坐标系,则，由，得点P满足： .则为PC的中点，设，则，满足： ，整理得： ，即点M在以为圆心，1为半径的圆上，则的最大值是圆心到B的距离加半径： .故选B.3、【2008云南大理市云南师范大学附属中学模
7、拟】已知圆O的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足OC=(-1)OP+OQ（），则的最小值为（ ）A. -1 B. -2 C. -3 D. -4【答案】C类型五 平面向量系数的取值范围问题【例5】【2018辽宁沈阳市四校协作体联考】在矩形中， 动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A圆的方程为（x1）2+（y2）2=，设点P的坐标为（cos+1， sin+2），（cos+1， sin+2）=（1，0）+（0，2）=（，2），cos+1=， sin+2=2，+=cos+sin+2=sin（+）+2，其中tan=2，1sin（+）1
8、，1+3，故+的最大值为3，故选：A【指点迷津】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.【举一反三】1、【2018重庆第一中学模拟】给定两个单位向量， ，且，点在以为圆心的圆弧上运动， ，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B因为， 所以有最小值-1.故选B
9、2、【2018四川德阳联考】已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且,则的最小值是_【答案】 3、【2018湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟】已知，点在内，且与的夹角为，设，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示，建立直角坐标系由已知，则 故选B 类型六 平面向量与三角形四心的结合【例6】【2018全国名校大联考】已知的三边垂直平分线交于点， 分别为内角的对边，且，则的取值范围是_【答案】【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接
10、进行判断；“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决【举一反三】1、【2018河北武邑中学调研】在中， ， ，若为外接圆的圆心（即满足），则的值为_.【答案】8【解析】设BC的中点为D，连结OD,AD，则，则：2、【2018江西南昌市第二中学模拟】如图，O为ABC的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（ ）A. 4 B. 5 C. D. 7【答案】B 3、【河南省洛阳市2018届高三上学期尖子生第一次联考】已知点是锐角三角形的外心，若（， ），则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】O
11、是锐角ABC的外心，O在三角形内部，不妨设锐角ABC的外接圆的半径为1，又，|=| |，可得=+2mn，而=|cosA0B|=1.1=+2mn+2mn， 1，如果 1则O在三角形外部，三角形不是锐角三角形， 1，故选：C.三强化训练1【2018湖南五市十校联考】在中， ， ，点是所在平面内一点，则当取得最小值时， （ ）A. B. C. D. 24【答案】D 2. 【2018山西芮城中学模拟】长度都为的向量， 的夹角为，点在以为圆心的圆弧（劣弧）上， ，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】=m+n，2=（m+n）2，即，即m2+n2+mn=1，故，（当且仅当m=n时，等
12、号成立）；故，故的最大值为，故答案为： 3. 【辽宁沈阳交联体联考】如图，在扇形中， ， 为弧上且与不重合的一个动点，且，若（）存在最大值，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 4. 【2018云南昆明市高新技术开发区模拟】在等腰梯形中，已知， ， ， ，动点和分别在线段和上，且， ，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】以A为原点，以AB为x轴，以过点A 垂直AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，则， ，设，根据， ， ，设， ， ， ， ， ，当时， 取得最小值为，选D.5、【2018吉林实验中学模拟】在中，点是的中点，过点的直线分别交直线， 于不同两
13、点，若， ， 为正数，则的最小值为A. 2 B. C. D. 【答案】A【解析】 M、O、N三点共线， ， 故选：A6. 【2018辽宁庄河市联考】已知直线PA,PB分别于半径为1的圆O相切于点A,B,PO=2,PM=2PA+(1-)PB 若点在圆O的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )A. -1,1 B. C. D. 【答案】B 7、【2018江西南昌三中模拟】在中，点是的三等分点（靠近点B），过点的直线分别交直线， 于不同两点，若， ， 均为正数，则的最小值为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】C 8. 【2018届高三南京市联合体学校调研】已知为直线： 上两动点，且，圆： ,圆上存在点， 使，则线段中点的横坐标取值范围为_【答案】【解析】由题，设 ，线段中点 则由已知及余弦定理可得 ，即 又 ，两边平方 解得 ，即 ，则 ，即 即答案为9. 【2018四川成都市第七中学模拟】中， 是斜边上一点，且满足： ，点在过点的直线上，若则的最小值为_【答案】 10、已知为椭圆上任意一点， 为圆的任意一条直径，则的取值范围是_
