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1、 第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题一、直线恒过定点问题 例1. 已知动点在直线上，过点分别作曲线的切线， 切点为、, 求证：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标； 解：设，整理得：同理可得： ，又 ，.例2、已知点是椭圆上任意一点，直线的方程为， 直线过P点与直线垂直，点M（-1，0）关于直线的对称点为N，直线PN恒 过一定点G，求点G的坐标。解：直线的方程为，即 设关于直线的对称点的坐标为 则，解得 直线的斜率为 从而直线的方程为： 即 从而直线恒过定点 二、恒为定值问题例3、已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一 象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、P
2、B分别交椭 圆于A、B两点。 （1）求P点坐标； （2）求证直线AB的斜率为定值；解：（1）设椭圆方程为，由题意可得 ，所以椭圆的方程为 则，设 则 点在曲线上，则 从而，得，则点的坐标为。 （2）由（1）知轴，直线PA、PB斜率互为相反数， 设PB斜率为，则PB的直线方程为： 由 得 设则 同理可得，则 所以直线AB的斜率为定值。 例4、已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点 ， 求证：为定值. 解: 将代入中得 ， ，所以 。课后作业： 1. 在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不 过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为， 射线交椭圆于点，交直线于点. （）求的最小值； （）若
3、，求证：直线过定点； 解：（）由题意:设直线, 由消y得:, 设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: =,即, 所以中点E的坐标为, 因为O、E、D三点在同一直线上， 所以，即， 解得， 所以=,当且仅当时取等号, 即的最小值为2. （）证明:由题意知:n0,因为直线OD的方程为, 所以由得交点G的纵坐标为, 又因为,且，所以, 又由（）知: ,所以解得,所以直线的方程为, 即有, 令得,y=0,与实数k无关, 所以直线过定点(-1,0). 2. 已知点为曲线上的一点， 若，是否存在垂直轴的直线 被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线的方程；若不存在， 请说明理由 解：设的中点为，垂直于轴的直线方程为， 以为直径的圆交于两点，的中点为 ， 所以，令，则对任意满足条件的，都有（与无关）， 即为定值
