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1、 专题研究教育研究与评论中学教育教学 年第期 【 编者按】从 年第期开始， 我们连续刊发了华东师范大学汪晓勤教授及其研究团队 开发的 案例， 为数学教学如何融入数学史提供了“ 例子” ， 备受读者朋友们的欢迎。本期 呈现的是汪晓勤、 叶晓娟、 顾海萍三位老师的研究成果。 “ 分数指数幂” ： 从历史发生的视角看规定 汪晓勤， 叶晓娟， 顾海萍 （ 华东师范大学数学系， ； 上海师范大学附属经纬实验学校， ） 摘 要： “ 分数指数幂” 的教学往往是“ 从规定到规定” ， 因而显得 简单、 直接， 不够自然。从历史发生的视角进行这一内容的教学设 计： 借鉴斯蒂菲尔的“ 幂与指数对应法” 以及欧拉
2、的类比法， 从正整数 指数与幂之间的对应关系入手， 通过重构式呈现分数指数幂概念的 形成过程； 并且， 通过附加式展示分数指数幂符号的发展历史； 同时， 通过复制式或顺应式在课堂内外的练习中运用沃利斯和欧拉的有关 分数指数幂的问题。通过教学实践与反馈， 发现按照这一思路设计 教学， 可以很好地沟通历史和现实、 已知和未知， 达成三维目标。 关键词： 分数指数幂 教学设计 调查反馈 在沪教版初中数学教材中， 实数 一章 的最后安排了“ 分数指数幂” 一节。教材以整 数（ 正和负） 指数幂以及开方运算为基础， 从 把 槡 表示为的次幂出发， 首先由的任 意整数指数幂都是有理数， 判断出 槡 是无理
3、 数； 进而指出必须将指数的范围扩大， 才有可 能把 槡 表示为 的形式； 于是在整数指数幂 运算律的基础上扩大指数的取值范围， 得到 ； 随后规定 槡 （ ） ， 槡 （ ） ， 其中、是正整数，； 接下 来呈现道用来练习的计算题。 年第期 教育研究与评论中学教育教学专题研究 虽然教材的编写意图是说明分数指数幂 的合理性， 但其出发点是“ 槡 可以表示为的 次幂” ， 而这一出发点本身并不自然。另一 方面， 为了避免讨论 究竟是槡 还是 槡 ， 编者无奈地选择了 ， 最终通过一般规定 “ 蒙混过关” 。 实际上， 在全国主流的教材中， “ 分数指 数幂” 内容一般安排在高中阶段， 其引入过程
4、 往往更加简单、 直接： 通常是在整数（ 正和负） 指数幂以及方根的基础上， 通过举例或推理 说明“ 当根式的被开方数的指数能被根指数 整除时， 根 式 可 以 表 示 为 分 数 指 数 幂 的 形 式” ； 然后以整数指数幂的运算性质依然适用 为前提， 通过类比“ 合理” 规定分数（ 正和负） 指数幂的意义。 鉴于此， 我们希望从分数指数幂的历史 起源中寻找恰当的教学方法， 以便更加自然 地引入概念， 并加深学生对概念的理解。我 们拟定的教学目标为： （ ） 经历幂概念的扩充 过程， 感受分数指数幂规定的合理性， 理解分 数指数幂的意义； （ ） 能将方根转化成分数指 数幂的形式； （ ）
5、 通过分数指数幂符号发展、 形成的过程， 感受数学的历史， 感悟数学的 文化。 一、 历史材料的选择与加工 十四世纪法国数学家奥雷姆（ ， ） 在 比例算法 （ 约 年） 中， 分别用和来表示槡和 槡 用我们 今 天 的 记 号 来 表 达， 就 是 槡 ， （） 槡 。由此可知， 奥雷姆已经知 道方根与分数指数幂之间的关系。 十六 世 纪 德 国 数 学 家 斯 蒂 菲 尔 （ ， ） 在 整数算术 （ 年） 中， 将幂指数从非负整数推广到负整数， 建立 了如表所 示 的 指 数 和 幂 之 间 的 对 应 关 系 用我们今天的记号来表达， 就是 。这是历史上负整数指数幂的最早使用。 但是，
6、 斯蒂菲尔没有将幂指数推广到分数的 情形。 表 指数 幂 十 六 世 纪 比 利 时 数 学 家 斯 蒂 文 （ ， ） 在 十进算术 （ 年） 中， 将分数写在圆圈内， 表示一个未知数的分 数指数幂。如表示 。十七世纪荷兰 数学家吉拉尔（ ， ） 在 代 数新发明 （ 年） 中， 将分数写在一个数的 前面， 表示这个数的分数指数幂； 而将分数写 在一个数的后面， 表示这个数为系数， 后面乘 以未 知 数 的 分 数 指 数 幂。如 （ ） 表 示 ， （ ） 表示 。奥雷姆、 斯蒂文和吉 拉尔如何发现方根与分数指数幂之间的关 系， 并无文献记载， 但他们以正整数指数幂为 出发点， 殆无疑问。
7、 十七世纪英国数学家沃利斯（ ， ） 在 无穷算术 （ 年） 中给出 负数指数幂和分数指数幂的运算， 从而将正 整数指数幂的运算律推广到了任意有理数指 数幂。 十七世纪， 牛顿（ ， ） 在其通信（ 年） 中， 用 ， ， 等表示 槡 ， 槡 ， 槡 等， 用， ， 等表示 ， ， 等 这就是我们今天所使用的记号。 十八世纪， 欧拉（ ， ） 专题研究教育研究与评论中学教育教学 年第期 在 代数基础 中， 用类比的方法来引入分数 指数幂： 因为 的平方根为， 的平方根为 ， 的平方根为 ， 等等， 可知平方根应为 同底数的幂， 指数折半， 所以的平方根应为 ， 的平方 根 应 为 ， 的 平
8、方 根 应 为 ， 等等 这里， 平方根均指算术平方根， 。类似地， 可考虑更高次方根。 综上， 在教学设计中， 可以借鉴斯蒂菲尔 的“ 幂与指数对应法” 以及欧拉的类比法， 从 正整数指数与幂之间的对应关系入手， 呈现 分数指数幂概念的形成过程； 并且， 展示分数 指数幂符号的发展历史； 同时， 在课堂内外的 练习中运用沃利斯和欧拉的有关分数指数幂 的问题。 二、 教学设计与实施 （ 一） 新课引入 首先， 教师引导学生回顾 （ 为整数） 的含义： 先建立的正整数指数幂与指数之 间的对应关系， 并发现“ 指数减， 幂折半” 的 规律； 再基于这一对应关系和规律， 将指数推 广到和负整数， 检
9、验负整数指数幂的意义。 由此， 得到表。 然后， 教师引导学生总结和思考： “ 的非 负整数指数幂是正整数， 的负整数指数幂是 正分数， 即的整数指数幂是正有理数。如 果在指数和之间插入平均数 ， 那么对 应的幂 会是什么数呢？ ” 有学生猜测： 是 和所对应的幂和的平均数 。这时， 教师引导学生观察相邻三个整数指数幂之间 的关系， 来推翻上述猜测： 取指数、所对 应的幂、， 发现和的平均数显然不等 于。 接着， 教师提问： “、 、三个数中， 中间 的与左、 右的、之间究竟有什么关系？ ” 绝大多数学生未能发现规律。这时， 教师继 续引导学生观察相邻三个整数指数幂之间的 关系： 再取指数、所
10、对应的幂、和 指数、所对应的幂、 。在教师的提 示下， 学生终于发现： 当中间的指数是左、 右 的指数的平均值时， 它所对应的幂是左、 右指 数所对应的幂的乘积的算术平方根。因此， 和的平均数 所对应的幂 应该等于和 的乘积的算术平方根， 即槡。 此后， 教师引导学生在整数指数幂的运 算律仍然适用的前提下， 验证上述猜测的合 理性： （） ， 而表中第 二行不含负数， 故得 槡 。 经过合理的猜测与验证， 学生能够很自 然地接受 槡 这一事实。 （ 二） 概念形成 在这一环节中， 我们通过道思考题引 导学生进行分数指数幂和方根之间的转化， 发现和体会分数指数幂和方根之间的关系， 并通过改变幂指
11、数逐步增加转化的难度。具 体题目如下： 思考题 将 、 和 表示成方根的 形式。 思考题 把 和 表示成方根的形式。 思考题 把 表示成方根的形式。 思考题 把 表示成方根的形式。 对于第题， 学生借助同底数幂的运算 法则和方根的定义完成。然后， 教师引导学 生归纳： 槡 （，为正整数， 且） 。 同时， 提醒学生注意： 若， 则当为偶数 时， 根式无意义。 对于第题， 学生依然借助同底数幂的 运算法则和方根的定义完成。然后， 教师引 导学生小结： 分数指数中的分母是方根的根 指数， 分子是被开方数的幂指数； 归纳： 槡 （ ，为正整数， 且） 。同时， 年第期 教育研究与评论中学教育教学专题
12、研究 提醒学生注意： 若， 则当为偶数、为 奇数时， 根式无意义。 对于第题， 教师引导学生回头观察表 ： 在 和之间插入平均数 ， 对应的幂 是什么数呢？根据刚才的经验， 学生立即 得出这个数是和 的乘积的算术平方根， 即槡 槡 。 对于第题， 学生在第题的基础上借 助同底数幂的运算法则和方根的定义完成。 然后， 教师引导学生小结： 负分数指数幂表示 为正分数指数幂的方根的倒数； 归纳： 槡 （ ， 其中，是正整数， 且） 。 最后， 教师进行总结： “ 和 称为分 数指数幂。整数指数幂和分数指数幂统称为 有理数指数幂。幂指数的取值范围扩大到有 理数后， 方根就可以表示为幂的形式， 开方运
13、算就可以转化为乘方运算的形式。 ” （ 三） 历史展示 分数指数幂概念形成之后， 我们通过时 间坐标轴（ 如图所示） 向学生展示从十四世 纪的奥雷姆到十七世纪的牛顿， 分数指数幂 的符号表示所经历的三百余年的完善过程， 并引导学生感受、 比较。然后， 提问学生最喜 爱哪位数学家的符号及其原因。学生的答案 是牛顿或斯蒂文， 理由是简洁、 直观。 图 此时， 分数指数幂已不再是枯燥的数学 符号， 而是数学家创造活动的见证了。 （ 四） 应用巩固 为了让学生牢固掌握分数指数幂概念， 熟练利用分数指数幂的意义求幂的值， 我们 设计了两道以数字为底的常规例题和两道以 字母为底的历史素材练习。具体如下： 例 把下列方根转化成分数指数幂的 形式： （ ） 槡 ； （） 槡 ； （ ） 槡 ； （ ） 槡 。 例 计 算 下 列 分 数 指 数 幂 的 值： （） ； （ ） （ ） ； （ ） ； （ ） 。 练习 十七世纪英国
