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1、第七章 势流理论（二）本章主要讨论：轴对称有势流动和机翼绕流的有关理论。7.1 轴对称流动一条曲线绕轴旋转一周形成的物体形状称为旋成体。当来流沿旋成体中轴线方向绕流旋成体时，通过中轴线的各子午面上的流动均相同，这种流动称为轴对称流动。比如，均匀流绕圆球的流动。rx轴对称轴对于无旋轴对称流动，存在速度势函数和流函数y 。但，速度势函数是调和函数，流函数 y 不是调和函数。采用柱坐标(r,q,x)，设 x 轴为对称轴，流动参数不随 q 变化。 比如：圆球球x不可压缩流体的轴对称势流应该满足： 如果存在物体壁面S，速度应该在物面上满足边界条件： 求解不可压缩流体轴对称势流问题的主要任务就是寻求满足以
2、上方程组和边界条件的速度矢量。有两种数学求解途经:途径一： 速度势函数是调和函数，可以采用叠加法求解。 途径二： 流函数函数不是调和函数，称为斯托克斯函数。但它是线性的，也可采用叠加法求解。 一.基本的轴对称势流：1.均匀直线流：rx轴对称轴 2.空间点源(汇)流：(0 , 0)处有一点源 Q ： qxRr 当点源在 x0 点（轴对称轴上），速度势函数和流函数为：xrx03.空间偶极子流： rxDxQ-Q 当偶极子在 x0 点（轴对称轴上），速度势函数和流函数为：*二.均匀来流绕圆球体的流动：采用球坐标（R，）。柱坐标与球坐标的关系为： rxRq均匀流： 偶极子流： 叠加后得到： 求出速度：
3、在球表面 vR = 0 ，故： 球表面速度分布： 设无穷远处压强为 p，由伯努利方程，有： 于是，得到球表面的压强分布： 球表面的压强系数分布： 流体作用在球体上的阻力和升力均为零。 例1: x =d，点汇 Q；x = -d，点源 Q，与均匀流 V 叠加。求流函数和物面形状。 兰金体ddQxrV- Q解: 叠加三个基本势流的流函数，得到：令 y = 0，得到零流线方程：代数方程给出了两条曲线，一条是与轴重合的直线，另一条是卵形封闭曲线。 显然，流函数 = C.给出了均匀直线流绕流卵形回转体所形成的势流流场的流线。这类卵形回转体也称为兰金（Rankine）体。7.3 有限翼展机翼对机翼理论的研究
4、是流体力学中最引人注目的应用课题之一。舰船上的舵、水翼、减摇鳍等本身就是机翼，螺旋桨、透平机械的叶片、水泵的叶片等都是利用机翼的原理工作的。我们可以利用机翼原理来产生升力（例如飞机、风筝等）或推力（例如螺旋桨等），因此机翼理论的研究对船舶工程有重要意义。一.机翼的几何参数：翼型： 翼型是机翼剖面的基本形状。翼型具有产生的升力与阻力之比（升阻比）尽可能大的体形，整体上是优良流线形，使流体能顺着其表面尽可能无分离地向尖后缘流去。如图所示为翼型无分离地绕流。前缘或导边（leading edge）：迎流的一端。 后缘或随边（trailing edge）：翼面：迎向来流的一面，形状可凸可凹。 翼背：背向
5、来流的一面。攻角（angle of attack）：来流与弦之间的夹角。 工程实际中应用的一些翼型的基本形状：后缘总是尖的（产生环量）。圆前缘：减小形状阻力。尖前缘：减小压缩性所引起的激波阻力或自由表面所引起的兴波阻力。中线（center line):翼型内各圆弧中点的连线。 翼弦（chord): 中线两端的连线，常作为翼型基线。对称翼型：中线与弦线重合的翼型。厚度（thicheness)：翼弦的垂线与翼型上下表面交点之间的最大距离。相对厚度：翼厚与弦长之比。 一般来说，翼型的厚度与翼弦相比要小得多，许多实用场合中翼展比翼弦大得多。展弦比：= 翼展的平方/翼面积 对于矩形机翼： 水翼。 船用舵
6、0.51.5。称小展弦比机翼。 称大展弦比机翼。，无限翼展机翼，即为二元机翼。二.有限翼展机翼：实际上机翼的展弦比均为有限值，故流动是三维的。对于无限翼展机翼，可近似用一根无限长的涡线（涡线有）来代替，称附着涡。而对于有限翼展机翼，却不能用有限长附着涡来代替机翼，因为这样旋涡会在流体内终止。对于有限翼展机翼，由于下翼面压力大于上翼面：上翼面下翼面上下 上翼面流线向中间偏移，下翼面流线相反。上下压差作用下产生自由涡。 自由涡与附着涡联成形涡。由海姆霍兹定理已知形涡常数。图片三.下洗和诱导阻力： 如图，对于矩形机翼上任一点，坐标为，用半无穷直线涡公式得左自由涡在该点所诱导的速度：左自由涡产生的沿翼
7、展的平均诱导速度为： 因左右对称，整个机翼下面的平均诱导速度为： 左、右翼端涡在机翼下面产生的平均诱导速度，方向向下，称为下洗速度，或称为下滑速度。来流速度与下洗速两速度矢相加： 式中V为实际（有效）来流速度。 V的方向与翼弦的夹角为： 式中e为有效攻角，i为下洗角或下滑角。 下洗角可由下式计算： 因为i向下故为负值。库塔儒柯夫斯基力为： 力L在升力和阻力方向的投影分别为： 一般地，下洗速度Wi很小，即i很小，故有： 这时： ， ， 。如果在翼端装上当板，限制绕流，可减小诱导阻力，如图所示：7.4 升力线理论一.有限翼展机翼的升力模型：实际有限翼展机翼沿翼展方向的剖面的形状，安装角度有变化，各
8、个截面环量也变化。如图，用形涡系代替单一的形涡，附着涡在翼展上迭合在一起形成升力线，形涡系的自由涡连成一整体而形成涡面。虽然每根形涡环量不变，但沿翼展不同截面有数目不同的形涡，所以沿翼展环量是变化的。二.有限翼展机翼的升力线理论： 大展弦比机翼。 ： 小展弦比机翼或短翼。时机翼的附着涡系可用一根涡丝来代替，这根涡丝通常称为升力线（liftline）。升力线理论：以升力线为理想模型的计算机翼动力特性的理论。引入两点假定：(1)自由涡面是平面，延伸至无穷远而不翻卷成两股大涡，自由涡面旋涡角速度矢量平行来流。(2)翼面上横向流动很小，任一剖面处可作平面流动处理，三元效应仅考虑各翼剖面处下洗速度和下洗
9、角的不同。这就是“简单的切片理论”方法： 沿展向积分得整个自由涡在y处的诱导速度： 对于小攻角，下洗角i为小量，有： 宽度为dy的一段机翼的二维升力为： 按定义升力垂直于来流： 诱导阻力： 整个机翼的升力和诱导阻力： 可见,要求出诱导阻力,必须要知道沿翼展的速度环量分布。三.升力系数和诱导阻力系数： 四.具有最小诱导阻力的机翼平面形状椭圆机翼：显然，当=0时，阻力最小。对应的机翼环量分布为： (a), (b)两式两边平方后相加得： 即，最小诱导阻力系数的机翼的环量分布为椭圆形状。相应的下洗角为： 诱导阻力系数为： 即，无限翼展机翼没有诱导阻力。对于其它无扭转的非椭圆机翼，其下洗角和阻力系数修正
10、为： 从图上可以看出梯形与椭圆形机翼的流体动力性能差别不大。由于结构上的优势，实际中常采用梯形机翼。五.展弦比换算：在进行机翼设计，比如船用舵的设计时，常采用展弦比换算方法。设两机翼平面形状，翼型及弦长都相同，例如矩形机翼1、2，展弦比分别为1和2。下洗角沿翼展的分布为： 沿翼展下洗角的平均值： 展弦比换算步骤如下：由相似原理知： e1 = e2设翼1的曲线已知，在其上任取一点，所对应的升力系数为，求出几何攻角之差： 重复上面步骤得一系列翼2上的点，连接它便是l2曲线。例1：一飞机自重21582N，机翼面积为20m，翼展11m，若水平方向飞行速度为280km/h，流体密度1.226kg/m3。求：1）升力系数，展弦比，环量；2）设机翼平面形状为矩形，求诱导阻力系数。解： 因飞行水平，升力与飞机自重平衡，则升力系数： 诱导阻力系数： 。例2：一机翼弦长2，展长10，以360km/h的速度在大气中飞行，设机翼中部的环量0= 202/s,两端为零，环量沿翼展呈椭园型分布。求：升力系数及诱导阻力系数（=1.2kg/m3）。解：环量分布为： 升力系数： 故，诱导阻力系数： 。15
