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1、第1讲 空间几何体的结构及其三视图和直观图,最新考纲 1认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 2能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图 3会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式 4会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求).,知 识 梳 理 1多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都平行且 ，上下底面是全等且 的多边形 (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有
2、一个 的三角形 (3)棱台可由平行于 的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形,相等,平行,公共顶点,底面,2旋转体的结构特征 (1)圆锥可以由直角三角形绕其 旋转得到 (2)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到 (3)球可以由半圆面或圆面绕直径旋转得到 3空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括 、 、 ,任一直角边,正视图,侧视图,俯视图,4空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用 画法来画，其规则是： (1)原图形中x轴、y
3、轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为 ，z轴与x轴、y轴所在平面 (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别 坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段长度在直观图中变为 ,斜二测,45(或135),垂直,平行于,不变,原来的一半,辨 析 感 悟 1对棱柱、棱锥、棱台的结构特征的认识 (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 () (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 () (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分 (),2对圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的认识 (4)夹在圆柱的两个平行截面间的
4、几何体还是圆柱 () (5)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台 () (6)用一个平面去截一个球，截面是一个圆面 () 3对直观图和三视图的画法的理解 (7)在用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中A45. () (8)(教材习题改编)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三个视图均相同 (),感悟提升 1两点提醒 一是从棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的定义入手，借助几何模型强化空间几何体的结构特征如(1)中例如 ；(2)中例如 . 二是图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段可通过确定端点的办法来解，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线
5、段来确定端点在直观图中的位置如(7),2一个防范 三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法如(8)中正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同,考点一 空间几何体的结构特征 【例1】 给出下列四个命题： 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱； 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；,棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 其中正确命
6、题的个数是 ( ) A0 B1 C2 D3 解析不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；正确；错误当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等 答案 B,规律方法 (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定 (2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可,【训练1】 给出下列四个
7、命题： 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱； 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 其中错误的命题的序号是_,解析 认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故都不准确，中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故也不正确 答案 ,考点二 由空间几何体的直观图识别三视图 【例2】 (2013新课标全国卷)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图
8、中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为 ( ),审题路线 在空间直角坐标系中画出四面体以zOx平面为投影面可得正视图 解析 在空间直角坐标系中，先画出四面体OABC的直观图，如图，设O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)，将以O，A，B，C为顶点的四面体被还原成一正方体后，由于OABC，所以该几何体以zOx平面为投影面的正视图为A.,答案 A,规律方法 空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧
9、面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果,【训练2】 (2014济宁一模)点M，N分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过A，M，N和D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1，则该几何体的正视图，侧视图、俯视图依次为图2中的 ( ) A B C D,解析 由正视图的定义可知；点A，B，B1在后面的投影点分别是点D，C，C1，线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段AM在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段DC1要画成虚线，正视图为；同理可得侧视图为
10、，俯视图为. 答案 B,考点三 由空间几何体的三视图还原直观图 【例3】 (1)(2013四川卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 ( ),(2)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 ( ),解析 (1)由于俯视图是两个圆，所以排除A，B，C，故选D. (2)A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D. 答案 (1)D (2)D 规律方法 在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主
11、，结合侧视图进行综合考虑,【训练3】 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 ( ),解析 所给选项中，A，C选项的正视图、俯视图不符合，D选项的侧视图不符合，只有选项B符合 答案 B,1棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决 2旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状 3三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)理解“长对正、宽平齐、高相等”,易错辨析6三视图识图不准致误 【典例】 (2012陕西卷)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为 ( )
12、,错解 选A或D. 错因 致错原因是根据提示观测位置确定三视图时其实质是正投影，将几何体中的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线，错选A或D都是没有抓住看到的轮廓线在面上的投影位置，从而导致失误 正解 还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线，D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线故选B. 答案 B,防范措施 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图因此在分析空间几何体的三视图问题时，就要抓住正投影，结合具体问题和空间几何体的结构特征进行解答,【自主体验】 (2014东北三校模拟)如图，多面体ABCDEFG的底面ABCD为正方形，FCGD2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是 ( ),解析 注意BE，BG在平面CDGF上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A，C选项，观察B，D选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则BG，BF的投影为虚线，故选D. 答案 D,
