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1、第三章 杆系结构有限元,31 概述 32 单元刚度矩阵 33 单元刚度矩阵的坐标转换 34 结构的原始刚度矩阵 35 支承条件的引入 36 非节点荷载的处理 37 杆系结构有限元法的计算步骤及示例 38 几点补充说明 39 总结,第三章 杆系结构有限元,一、杆系结构有限元法的基本思想,结构力学中的电算方法 杆件有限元法 (结构矩阵分析方法),结构矩阵分析方法是以传统结构力学理论为基础、以矩阵作为数学表述形式、以电子计算机作为计算手段大规模的计算方法。,3-1 概述,杆系结构有限元法(矩阵位移法）采用结点位移作为基本未知量。借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。,理
2、论基础：位移法 ；分析工具：矩阵 ； 计算手段：计算机,对于杆系结构，杆系结构有限元法易于编制通用的计算程序。,二、杆系结构有限元法的思路 ：,1）离散，进行单元分析，建立单元杆端力和杆端 位移的关系。,2）集合，进行整体分析，建立结点力与结点位移 的关系。,构造结点:杆件的转折点、汇交点、支承点和截面突变点。 非构造结点:一根等截面直杆内的单元与单元之间的结点。,1. 结点和单元,单元与单元之间通过结点联结，结点一经确定，则单元也就全部确定了。,单元最基本的分析部件，最简单的单元是等截面直杆。,梁单元受轴力、还受剪力和弯矩作用则称为梁单元（梁、刚架）。 轴力单元只受轴力作用的单元（桁架）。,
3、三、基本概念,2. 坐标系,结构整体坐标系xoy用于描述结构整体的量结点的坐标、结点的位移、作用在结构上的外力等。,单元局部坐标系固定在单元上， 轴与杆轴重合,自 轴逆时针旋转900时的方向为 轴正向。用于描述单元的杆端力和杆端位移等。,离散化,将结构离散成单元的分割点称作结点.,结点的选择:转折点、汇交点、支承点、 刚度变化、荷载作用点等,整体编码：单元编码、结点编码、 结点位移编码。,（1,2,3）,（4,5,6）,（7,8,9）,（10,11,12）,（13,14,15）,（16,17,18）,坐标系:整体(结构)坐标系;,局部(单元)坐标系.,曲杆结构:以直代曲.,变截面杆结构:以等截
4、面杆 代变截面杆,不忽略单元的轴向变形时，平面结构中每个刚结点都有3个独立的位移（2个独立线位移、1个角位移），每一个铰结点则有2个独立线位移。,平面刚架单元的杆力列向量为,(10-1),平面刚架单元的杆端位移列向量为,(10-2）,注意：杆端力与杆端位移必定是一一对应的，即有几个杆端位移分量就有几个杆端力分量。,3. 杆端位移和杆端力（对单元而言）,平面桁架铰结点只有两个独立的线位移，与此对应，桁架单元的杆端力只有轴力和剪力与其对应，但实际上桁架单元的剪力总是为零的，所以有,(10-3),杆端位移向量,(10-4),其他任何单元都存在杆端力与杆端位移一一对应的关系。,杆端力向量,作用于结点上
5、的所有的力的合力, 沿坐标轴方向分解为三个分量, 构成该结点的结点力向量。,4. 结点力和结点位移（对整体而言）,与结点力向量对应的是结点位移向量，是矩阵位移法的基本未知量。,注意：结点力和结点位移都是相对于整体坐标系的。,杆端位移和杆端力（对单元而言）的正负号：,作用在结点上的外力和结点位移（对整体而言）的正负号：,5. 正负号规定（强调）,凡是与单元坐标轴方向一致的位移和力均为正值， 反之为负值。 力矩和转角以逆时针方向为正，反之为负。,与整体坐标系方向一致的结点力和结点位移为正，反之为负。 以逆时针转的结点力矩和结点转角为正值,反之为负值。,矩阵位移法基本思想:,化整为零,- 结构离散化
6、,将结构拆成杆件，杆件称作单元。,单元的连接点称作结点。,单元分析,对单元和结点编码.,单元杆端力,集零为整,- 整体分析,单元杆端力,结点外力,单元杆端位移,结点外力,单元杆端位移,(杆端位移=结点位移),结点外力,结点位移,基本未知量:结点位移,1. 建立单元杆端力与杆端位移之间的关系,截面直杆单元e , 其杆端位移列向量与杆端力列向量分别为,3-2 单元刚度矩阵,单元杆端力与单元杆端位移之间的关系是：,=,单元在局部坐标系中的单元刚度方程。,它可记为,（10-6a）,其中,（10-7）,称为局部坐标系中的单元刚度矩阵（简称单刚）。,的行数等于杆端力向量的分量数, 列数等于杆端位移向量的分
7、量数，,的每一个元素称为单元刚度系数，其表示了一个力。,任一元素 表示当j号位移为一单位时引起杆端沿i 号位移方向的反力。,单刚阵 中某一列的六个元素表示当某个秆端位移分量等于1时所引起的六个杆端力分量。,第1列的六个元素就是当 (即端点i沿 正方向发生单位位移)时，单元的六个杆端力分量。,2. 单元刚度矩阵的特性,（反力互等定理）,（1） 是对称矩阵。,表达的杆端力和杆端位移的关系，对应于一个完全的自由单元，没有任何支承约束，可以有任意的刚体位移。,(2) 是奇异矩阵。,即 ，其逆矩阵不存在.,可以由杆端位移 确定杆端力 。反之，若已知杆端力 ，却不能由式 反求杆端位移 。,物理概念为：,局
8、部坐标系中的单元刚度矩阵 ，只与单元的几何形状、尺寸和物理常数有关，与单元在结构中的位置无关。,(3) 位置无关性,矩阵位移法的单元体现了更强的通用性。,单元刚度矩阵为:,3. 其他单元的单元刚度矩阵,（10-9）,(1) 平面桁架单元,若把连续梁两支座间的一跨取作单元，杆端位移条件为： ， ， ， 。,单元刚度方程为,(10-11),单元刚度矩阵为,（10-12）,（10-13）,(2) 连续梁单元,杆端位移向量与单元杆端力向量为:,整体分析时必须建立一个统一的坐标系，称为整体坐标系，其作用是把各单元上不同方向的量值统一到整体坐标系方向上来。整体坐标系中，单元杆端位移向量记为e ,单元杆端力
9、向量记为Fe,问题的提出,3-3 单元刚度矩阵的坐标变换,局部坐标系下的杆端力,整体坐标系下的杆端力,1. 单元坐标转换矩阵,局部坐标系 与整体坐标系为xoy的夹角以x轴逆时针转到与局部坐标系 为正。,j 端点杆端力转换关系,端点i 处的杆端力分量，有下列转换关系：,（10-10a）,（10-10b）,整体坐标系下的杆端力与局部坐标系下的杆端力之间的关系,简记为,将（10-10a）和（10-10b）联合起来写成矩阵形式,T称为单元坐标转换矩阵, T是一正交矩阵。,I为与T 同阶的单位矩阵。,或,同理,由,可得,坐标转换矩阵为：,对平面桁架单元 ， 。,整体坐标系中的单元刚度方程写为,局部坐标系
10、中的单元刚度方程写为,由 ， ，得,等式两边左乘 ，得,2. 整体坐标系中的单元刚度矩阵,从而可得两种坐标系中单元刚度矩阵转换关系式:,对于平面刚架单元，整体坐标系中的单元刚度矩阵为,式中：,平面桁架单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵为:,整体坐标系中的单元刚度矩阵 具有与 类似的性质(对称性和奇异性)。,表示单元 j 端产生单位位移时引起 i 端的杆端力。,对于平面刚架单元,整体分析中，对每一个结点分别建立平衡方程，为了讨论方便，将单元刚度方程按两端的结点 i 、j 进行分块，写为,对于平面刚架单元，它们都是33阶方阵。,对于平面桁架单元，它们都是22阶方阵。,例:整体单刚的计算,已知:,求:
11、各单元整体单刚,解:,本节开始对结构进行整体分析(后处理法),分析任务:建立结点力与结点位移的关系-结构的刚度方程,例:,第一步: 编号，建坐标,符号：与整体坐标正向为正。,结点力列向量,结点位移列向量,其中：,3-4 结构的原始刚度矩阵,F= K表示整个结构在整体坐标系中的结点位移与结点力之间的变换关系。,-明确任务,有n个结点的平面刚架，是3n阶向量。,有n个结点的平面桁架,是2n阶向量。,F结构的结点力向量。它是由作用在每个结点上的外力 (包括已知的荷载和未知的支座反力) 构成的。,注意：F与的阶数相同, 而且是一一对应的。,结构的结点位移向量。矩阵位移法的基本未知量。,K结构的整体刚度
12、矩阵（总刚）。其行、列数等于结构结点的位移数。,第二步：单元分析,分别对结点1，2，3，4进行分析,由变形条件：,由平衡条件：,如结点2：,即：,即：,同理，对结点1、3、4的平衡条件为：,写成矩阵形式：,上式称为结构的原始刚度方程，简写为：,称为结构的原始刚度矩阵，简称总刚。,总刚度矩阵特性：,（1）K是对称方阵；,kij=kji（反力互等定理），贮存总刚度矩阵时，只需贮存它的一半就行了。,（2） K是稀疏矩阵；,非零元素只分布在主对角线两侧的带状区域内。,表示结点位移和结点力F 之间的关系，反映了结构的刚度性质，而不涉及原结构上作用的实际荷载，并不是原结构的位移法基本方程。,当尚未引进支座
13、条件的情况下，结构刚度方程是无法求解的（未引进支座条件时，结构存在刚体位移）。,（3）K 是一个奇异矩阵。,特称没有引进支座条件的总刚度矩阵称为原始总刚度矩阵。,建立总刚度矩阵有两种方法:,1）理论推导, 即刚度法。,2）直接由单刚阵按一定的规律集成总刚度矩阵，称为直接刚度法,由总刚中元素的物理意义形成：,则有:,若令:,其他Ki1为0，这种方法太麻烦。,桁架的指示矩阵为：,任何一个杆端都与一个结点对应。图示桁架，其单元杆端与结点号可用一个矩阵来表示。矩阵的行数为单元数，列数为2。每一行的两个数分别表示该单元 i、j 端对应的结点号。这个矩阵称为指示矩阵（定位矩阵）。,指示矩阵实际上也给出了各
14、单元坐标系。,i j,直接刚度法形成总刚度矩阵,直接刚度法直接由各单元刚度矩阵装配形成总刚度矩阵。是目前编制计算机程序最常用的方法。,1.首先应将结构的结点和单元编号。编号可以任意编，并不影响计算结果。,2. 首先列出整体坐标表示的单元刚度矩阵。 3. 将单元刚度矩阵划分为4个子块：,4. 按“子块搬家，对号入座”的原则将单元刚度矩阵中的子块，一块块地搬入总刚度矩阵中，而搬入的位置则根据指示矩阵G 的规定来确定。,一般的规律是：第e单元i 端对应结点号为g, j 端对应结点号为h。“搬家”时将该单元单元刚度矩阵中的子块Kij搬到总刚度矩阵中的子块位置Kgh，即搬到总刚度矩阵中第g子块行，第h子
15、块列中去。,例如,图示桁架第号单元的4个子块，根据指示矩阵G 的指示，分别搬到：,2）用上述 “子块搬家，对号入座” 装配总刚度矩阵的方法也适用于其他任何杆件结构。,各单元都按此原则“搬家”后，桁架的总刚度矩阵为：,1 2 3 4,注意：,1）总刚的一个子块位置中搬入几个子块时，这几个子块应叠加。,总刚度矩阵的构造,图示桁架有4个结点，有8个位移分量。,=u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4T,总刚度矩阵则为8 阶方阵：,将其分成4个子块。平面桁架，每一结点具有两个位移分量，每一子块中就有两行两列共4个元素。,1. K32的物理意义是什么？,思考：,2. k35的物理意义是什么？,1. 子块K32表示结点2产生单位位移时引起的结点3的结点力。,2. k35表示第5号位移（结点3沿X方向的位移）为一单位时引起沿第3号位移（结点2沿y方向的位移）方向的力。这个力应该理解为相当于按位移法的基本结构所规定的结点2的竖向附加约束的约束反力。,4. 总刚度矩阵中某一元素的物理意义是什么？,3. 对于空间桁架和平面刚架，每个子块中含多少个元素？,思考：,答：,1）首先对其结点和单元进行编号如图示。,每个子
