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1、第八章 Weyl 编序算符内的积分技术及其应用算符 Weyl 编序是在 Weyl 对应规则的基础上定义的，Weyl 编序比正规乘积编序复杂。但它在实际应用中有其特殊的作用，因为 Weyl 编序的算符在相似变换下有特殊的性质。本章发展 Weyl 对应规则和 Weyl 编序算符积分技术，首次给出 Wigner 算符和 Husimi 算符的 Weyl 编序形式，为实际的运算带来了很大的方便。 8.1 Weyl 编序算符内的积分技术1前面几章介绍的都是正规乘积内的算符积分技术，在正规乘积记号“ ”内，玻色算:符被看作是普通的数，而使得 NewtonLeibniz 积分可以进行。本章指出在 Weyl 编
2、序下，玻色算符也是可对易的，Weyl 编序是量子化经典函数 的一个方案，即mrqp（8.1.1）01!.2mmr lrllqpQP我们称（8.1.1）式右边是一个 Weyl 编序好了的算符。这里引进“ ”作为 Weyl 编序的记号，于是有（8.1.2）0 0: :1!1!.22mmmlrl mlrll lQPQP 由于 与 在 Weyl 编序内是可交换的，所以有 。它可以由（6.1.7）式Prrqp及（8.1.1）式验证，即 2,mrTpq01!22mipu mlrll udeQPq 1mipur ipuipuruqqdee， r（8.1.3）可见， ,mrmrdpqQP（8.1.4）这也表明
3、J， , ,hPQdpqhpq（8.1.5）联立（8.1.1）和（8.1.4）得， 01!2mmr mlrll QP（8.1.6）（8.1.6）式说明：若要将一个 Weyl 编序算符的记号去掉，则要根据（8.1.6）式来进行。 8.2 Wigner 算符的 Weyl 编序形式1由（8.1.5）式，我们不难看出，Wigner 算符的 Weyl 编序形式为（8.2.1）:, .pqPqQ这是一个重要的算符恒等式，即 Wigner 算符的 Weyl 编序形式是 Dirac -函数。因上式又可写为,22aaiQPi（8.2.2）*:1, .a再令 则 Weyl 对应（8.1.4）式也可表示为*,hpq
4、f（8.2.3）2*:,.fadf如何将一般的算符作 Weyl 编序展开呢？这里用密度算符 的 Weyl 编序展开，来说明一般算符 的 Weyl 编序展开的方法。 密度算符的 P表示为A2.dzz（8.2.4）其逆关系（Mehta 2）（8.2.5） 2 2*exp,zdPez这里 是相干态。根据相干态的投影算符 的 Weyl 对应为J （8.2.6）*2,2:exp: .Trzzzaz由（8.2.3）得， 的 Weyl 编序展开为 z（8.2.7）2* *:exp: : .dzaa于是相干态的完备性关系也可以纳入到 Weyl 编序的积分范畴来说明，即 （8.2.8）22*: :exp1.dz
5、dzza将（8.2.7）和（8.2.5）代入到（8.2.4）得（8.2.9）2 2*: :eexp2: : xp.zezzada 这就是密度算符的 Weyl 编序公式；对于一般的算符 ，它的 Weyl 编序展开也是A。 2 *exp2dAAa （8.2.10）作为例子，可以计算宇称算符 的 Weyl 编序为N（8.2.11） :1.2a而算符 的 Weyl 编序为expefabg（8.2.12）22*111212*124exp: :exp2: :4.4dfgabgfagfabgff 我们看到，利用前面两节的方法和公式，我们能方便地将一个算符变成它的 Weyl 编序形式。J 8.3 Husimi
6、 算符的 Weyl 编序形式上节介绍了 Wigner 算符的 Weyl 编序展开形式，那么 Husimi 算符的 Weyl 编序展开是什么呢？用（8.2.10）式及 Husimi 算符的正规乘积展开式（ 6.2.1）式，我们就能找到Husimi 算符 的 Weyl 编序形式，即,;,;,;hpqpq（8.3.1）222 *2212 *12,; : :exexp1 :p: 1exQPd aqiiai qaa 2222 :p.: paqQpP 根据 Weyl 对应规则知道 Husimi 算符的经典对应函数可以由 直接从,QqPp（8.3.1）中得到，即（8.3.2）2222: :11expexp,
7、qpP它与 Husimi 算符的原始定义一致，即（8.3.32222:,;,;e1 ,xp,wdqQqpp）下面将计算压缩真空态 的 Husimi 分布函数，这里10S， ， 2expa e（8.3.4）为单模压缩算符，且。 211/20secxptanh0Sh（8.3.5） J在 的作用下，有1S1 1, /.SQSP（8.3.6）所以由 Husimi 算符的 Weyl 编序乘积形式（8.3.1）及 Weyl 编序算符在相似变换下的不变性（见 8.7 节的证明）得（8.3.7）221 1222 2: :1,;exp: :exp /,;h hSqSqQpPSQP 或。 22 212 21,;:
8、exp :1h qSpqSQpP （8.3.8）即我们看到压缩算符可以越过 Weyl 编序的记号“ ”而作用进去。不难发现压缩不仅对 相空间，对参数 也有压缩作用。由（8.3.7）和（6.1.14）式压缩算符 对态 pq S的压缩为,;（8.3.9）2,;,/;.Spq这个式子可以从（6.1.20）式得到验证（注意 是一个压缩相干态） ，即 11/2,;/2qipSpqS。 2,/;（8.3.10）由（8.3.7）和（8.3.8）计算压缩态的 Husimi 分布函数为（8.3.11）1 22220,;0/,;0.1h hSqpSqpex另一方面，考虑到（8.3.10） ，所以J （8.3.12
9、）1 20,;0, ,/;.hSqpSpq有兴趣的读者可以试着推导 Husimi 算符的反正规乘积形式，关于反正规乘积相关知识读者可以参阅 3。 8.4 纠缠 Husimi 算符的 Weyl 编序展开回想起纠缠形式的 Wigner 算符是4*23,wde， 221121:exp:aa（8.4.1）它的 Weyl 编序展开形式为（8.4.2）* *12121212: :, .waaaa 6.2 节中，由纠缠形式的 Wigner 算符形式，我们导出了纯态投影算符表示的纠缠 Husimi算符形式， ,;,;,;h（8.4.3）这里12,;0SD，2 *1212exp 0aaa（8.4.4）纠缠 Hu
10、simi 算符的正规乘积展开形式为（8.4.5）* *121212122,;4:exp :,1haaaa 那么纠缠 Husimi 算符的 Weyl 编序如何得到呢？根据纠缠 Husimi 算符的定义式222 ,;4,exp .h wdJ （8.4.6）并结合双模 Wigner 算符的 Weyl 编序展开式（8.4.2）得（8.4.72 * *12121212* *12121212,;: :4 .exp: :4 .hdaaaaaaaa ）作为应用，我们可计算双模压缩态 的 Husimi 函数，前面提到：双模压缩算符20S可由纠缠态表象的表象变换得到，即（8.4.8）12 122sectanhta
11、nh/sec:,d这里 的压缩变换为,e2S1 112212221/, ,/.QQSPP （8.4.9）由于相似变换下 Weyl 编序不变，我们看到（8.4.10）122 2222 11111222111,;: :4exp:hSQPQPS 212 :/,;.h 所以双模压缩态的 Husimi 分布函数为（8.4.11）1 222220,;0/,;0exp.1h hSSJ 8.5 两个 Weyl 编序算符乘积的 Weyl 编序根据 Wigner 算符的正规乘积形式， *,:exp2:qpa（8.5.1）两个 Wigner 算符乘积的正规乘积形式为（8.5.2）*12 2* *1121122,expexpexp4.aa 由（8.2.10）式，可以导出两个 Wigner 算符乘积的 Weyl 编序（8.5.3）2*1212222* *121 *121212: :,e:exp:4: :exp .d aaaaa 因在 Weyl 编
