材料力学第八章组合变形讲义

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1、第八章 组合变形及连接部分的计算,1 概述 2 两相互垂直平面内的弯曲 3 拉伸（压缩）与弯曲 4 扭转与弯曲 5 连接件的实用计算,主要内容,基本要求,工程实例,一. 组合变形的概念,构件在荷载的作用下如发生两种或两种以上基本形式的变形，且几种变形所对应的应力（和变形）属于同一数量级，则构件的变形称为组合变形。,组合变形的概念,组合变形的分析方法,线弹性小变形范围内，采用叠加原理,二.组合变形分析方法,组合变形,同一点位移几何和,载荷分解平移法,内力分解法(截面法),具有双对称轴的截面,应力和变形可叠加。 强度主要取决于正应力，通常不考虑剪力影响。,对称弯曲,两垂直平面内的弯曲,平面弯曲（对

2、称弯曲）:外力（或外力偶）全部作用在梁的某一纵向对称面内。,平面弯曲:外力过弯心，且与某一形心主轴平行。,斜弯曲: 外力过弯心，但不与形心主轴平行。,平面弯曲:外力过弯心，且与某一形心主轴平行。,一、内力分析,x,Fy,Fz,具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向外力作用时，在线性弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。,外力向对称轴方向分解,一、内力分析,x,任意截面的弯矩,求弯矩时可先将外力分解，再求每个分力所产生的弯矩，也可以先求总弯矩再分解。,Fy,Fz,My引起的k点正应力,二、应力分析,x,Fy,Fz,k,My,Mz,Mz引

3、起的k点正应力,k点正应力,总结:在确定弯矩的正负号时，可不考虑Mz 和My的正负,仅凭观察变形来判断。,三、中性轴的确定,s,s,s,中性轴,中性轴,中性轴特点： 中性轴过截面形心。 当IyIz时，截面上的中性轴与总弯矩的矢量方向不重合。（称为斜弯曲） 当Iy=Iz时（如圆形，正多边形），截面上的中性轴与总弯矩的矢量方向重合。（称为平面弯曲）,中性轴,a,j,四、强度条件,有凸角点的截面，smax一定在凸角点上,无角点的截面，smax在距中性轴最远处,+,-,+,- - - - -,stmax,scmax,+,-,stmax,+,- - -,五、挠度计算,wy,wz,b,挠曲线特点： 当Iy

4、Iz时，挠度不沿外力作用方向。 斜弯曲梁的挠曲线是外力作用平面外的一条空间曲线。,例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度b=90mm，高度h=180mm。求： 1、梁上的smax及所在位置； 2、若改为a=130mm的正方形截面，梁上的smax； 3、若改为d=130mm圆形截面，梁上的smax。,例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度b=90mm，高度h=180mm。求： 1、梁上的smax及所在位置；,解：1、危险截面在固定端,a,最大拉应力点在a点，最大压应力点在b点。,b,例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，求： 2、若改为a=13

5、0mm的正方形截面，梁上的smax；,解：2、危险截面在固定端,提示,例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，求： 3、若改为a=130mm的圆形截面，梁上的smax；,解：3、危险截面在固定端,同截面同点上的应力才能叠加,4. 该梁自由端的挠度（大小和方向）如何计算？,2. 在固定端处梁的中性轴又大致在什么方向？,3. 在固定端和F2作用截面之间，梁的中性轴的方向是否随横截面位置变化？,1. 外力F2作用截面处梁的中性轴在什么方向？,思考:,?,解：1、将外力分解，作梁的弯矩图,Fy,Fz,例：20a号工字钢悬臂梁承受载荷如图所示。已知F=qa/2，a =1 m, 若钢的许用弯曲正

6、应力s =160 MPa。求：梁的许可荷载集度q。,Mz,My,D,可能的危险截面为D和A,2、确定截面的几何性质,查表可知,3、确定许可载荷,A截面,stmax,A截面,D截面,1. 外力分解,解：,2.确定两个平面弯曲的最大弯矩,3. 计算最大正应力并校核强度,查表：,3. 计算最大正应力并校核强度,吊车起吊重物只能在吊车大梁垂直方向起吊，不允许在大梁的侧面斜方向起吊。,1.作梁的弯矩图, 确定危险截面,解：,2.计算最大正应力并校核强度,3.设计圆截面尺寸,取,由,危险截面内力,当EI较大时，轴向力产生的附加弯矩可以不计，应力计算采用叠加法。,一、横向力与轴向力共同作用,F2,F1,l,

7、危险点应力,F2,F1,l,危险点应力,危险点为单向应力状态,强度条件,在求解应力时，通常直接根据变形确定所求点应力的正负。,受力特点：外力作用线平行（但不重合）于杆轴。,二、偏心拉伸（压缩）,F,1、外力向形心简化,(yF,zF),F,Mez,Mey,2、危险截面上内力,任意截面均为危险截面,F,Mez,Mey,3、任意点的应力,k,计算应力时，公式中的内力和坐标值均可以绝对值代入，其各项的正负号依据变形判断。,4、中性轴,(yF,zF),F,(yF,zF),(y0,z0),惯性半径,y,z,F,(yF,zF),中性轴特点： 中性轴不过形心； 中性轴与外力F无关，仅取决于力偏心距和横截面的形

8、状和尺寸； 外力作用点与中性轴分别位于形心的两侧； 外力作用点离形心越近,中性轴离形心越远。,(yF,zF),(y0,z0),az,y,z,ay,5、强度条件,F,(yF,zF),y,z,偏心拉（压）时，横截面上仅有正应力，最大正应力在距中性轴最远处。,stmax,scmax,对矩形截面,例：最大吊重F=8kN的起重机，若AC杆为工字钢，材料的许用应力s=100MPa。试选择工字梁的型号。,解：1、确定载荷的最不利位置,AC可看作外伸梁,载荷移至AB中点,F,FBy,FBx,12.5,5,FN/kN,M/kNm,载荷移至C点,F,FBy,FBx,40,FN/kN,M/kNm,载荷移至C点时梁最

9、危险，是压弯组合。,12,2、按弯曲强度设计截面,F,FBy,FBx,40,FN/kN,M/kNm,查表选16号工字钢,12,3、按压弯组合校核强度,最大应力接近允许值，无需重新选择截面。,例：T形截面压床机架如图所示，冲压力F=120kN，力F的作用线与截面A-A内侧距离为a，材料为铸铁，已知sbt=320MPa， sbc=750MPa，安全系数n=3.5。试确定距离a。,解：是拉弯组合变形 1、确定截面的形心主惯性轴及惯性矩,取参考轴y、z如图所示,y,z,200,150,50,50,A-A,c,计算截面对zc轴的惯性矩,zc,2、按强度条件确定a,y,z,200,150,50,50,A-

10、A,c,zc,解得,最大拉应力在截面内缘，最大压应力在截面外缘。,应取a=417mm,y,z,200,150,50,50,A-A,c,zc,解得,解: (1) 求立柱截面上的内力,例题:铸铁材料钻床受力如图所示,已知F=15kN , e=40cm , 铸铁材料许用拉压应力分别为 。试 求立柱的直径d 。,(2) 求立柱的直径,选 d=125mm , 按组合变形校核立柱的强度,故选 d=125mm,例题: 求图示杆件的最大拉应力,并指明其作用点位置。,例题: 求图示杆件的最大拉应力,并指明其作用点位置。,练习题：厂房立柱，载荷情况及截面尺寸如图所示。已知F1=80kN，F2=40kN，F3=5k

11、N。求立柱下部的最大拉应力和最大压应力。,解：将外力向固端截面形心简化,三、截面核心,F,(yF,zF),y,z,偏心拉（压）时，横截面上正应力通常分为两个区域，受拉区和受压区。,截面核心： 当外力作用点位于形心周围的一个区域内时，截面上只产生同号的应力。则该区域称为截面核心。,F,(yF,zF),y,z,故：截面核心是截面形心周围的一个区域(截面几何性质,与外力无关)。,砖、铸铁、石、混凝土（墙、烟囱等）等材料制成的偏心压杆，应避免出现拉应力。,截面核心的确定, 原理:以截面的切线作为中性轴,当切线绕截面边界运动时,相应载荷作用点的轨迹,即截面核心的边界。,y,z,例题：试确定图示矩形截面的

12、截面核心。,视1-1线为中性轴，其截距,截面核心边界对应点1的坐标,例题：试确定图示矩形截面的截面核心。,视-线为中性轴，其截距,截面核心边界对应点的坐标,根据对称性描出其它两点。,沿曲线移动,绕定轴转动,曲线,直线,点,依直线运动,切线（中性轴）运动,载荷作用点轨迹,特点：,思考题：下列四种截面的截面核心形状如图中阴影所示，其中错误的是 。,?,A,思考题：图示槽形截面，abcd为其截面核心。若载荷作用在ab和dc的延长线的交点k时，则截面上的中性轴过 两点。,?,（A）1和2；,（B）2和3；,（C）1和3；,（D）2和4；,C,F,Me,外力向B截面形心简化,1、危险截面,危险截面在固定

13、端,F,Me,2、危险点及应力状态,危险点为a、b两点,a,b,3、强度条件,危险点处于二向应力状态,脆材,塑材,或,F,Me,对圆形截面杆,a,b,例题 : 图示结构中,已知D=36cm , d=3cm , l=80cm , 试按第三强度理论求许可荷载。,1.画内力图,2.确定许可外载,例题：传动轴如图所示，已知齿轮C的节圆直径dC=400mm，齿轮D的节圆直径dD=200mm，传动轴的许用应力s=100MPa。试按第四强度理论设计轴的直径 。,解： 1、作轴的受力简图,0.568,0.364,0.227,1,Mz/kNm,My/kNm,T/kNm,2、作轴的内力,1,危险截面为B截面,3、

14、设计直径,可取圆轴直径为52mm,例题：位于水平面内的折杆ABC，B处为90折角，受力情况如图所示。杆的直径d=70mm，材料为Q235钢，s=170MPa。试求：1、危险点的应力状态；2、按第四强度理论校核折杆的强度。,解：1、确定危险截面,BC段产生弯曲，危险截面在B端,AB段为弯扭组合,折杆的危险截面在A端,2、确定危险点及应力状态,危险点在A截面上、下边缘点。,3、校核强度,折杆满足强度条件,?,思考题：若在C点同时作用水平外力2kN，按第四强度理论危险点的相当应力的表达式应为何？,?,思考题：下列三种强度理论表达式在何种情况适用？,A、,B、,C、,例题：传动轴受力如图所示,已知Nk

15、=2.2kW, n=966r/pm; 材料: , 皮带轮: D=132mm , T+t=600N ,齿轮: d1=50mm , 试校核此结构的强度。,解 : (1) 确定各力的大小,利用 T+t=600N, 得,(2) 画内力图,(3) 校核轴的强度,练习题：图示圆截面直角折拐。已知F=4kN，q=10kN/m，a=0.5m，拐的直径d=100mm。试按第三强度理论计算此拐危险截面处的相当应力。,解：1、确定危险截面,BC段产生弯曲，危险截面在B端,折杆的危险截面在A端,AB段为拉弯扭组合，危险截面在A端,2、确定危险点的应力状态,3、相当应力,例题 : 图示结构中圆截面折杆ABC的直径d=20mm , 材料的E=200GPa,G=80GPa,=0.3,=105MPa, =60MPa ,钢丝CD直径d0=3mm , 线膨胀系数=1210-6/0C , 其E、G和同上，当钢丝温度下降600C,试按第四强度理论校核强度 。,解：,1. 求轴力FN,几何关系,物理关系,2. 校核折杆的强度