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1、福师实变函数在线作业二-0004试卷总分:100 得分:100一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分)1.不存在这样的函数f：在区间a,b上增且使得f(x)在a,b上积分值fdxf(b)-f(a) .答案:错误2.可积的充分条件:若存在gL1,使得|f|+f(x)=0.答案:正确5.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).答案:错误6.有界可测函数f在区间a,b上L可积的充要条件是f在a,b上几乎处处连续.答案:错误7.增函数f在a,b上几乎处处可微。答案:正确8.若fL1a,b,则几乎所有的x属于a,b均是g的L点.答案:正确9.f可积的必要条件:f几乎处处有
2、限，且集X(f0)有sigma-有限测度。答案:正确10.设f:R-R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax答案:正确11.f为a,b上减函数，则f(x)在a,b可积且其积分值fdxf(b)-f(a) .答案:错误12.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.答案:正确13.若f有界且m(X),则f可测。答案:正确14.设f为a,b上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.答案:正确15.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。答案:正确16.L积分下Newton-leibniz公式成立的充
3、要条件是被积函数为绝对连续函数。答案:正确17.f在a,b上为增函数，则f的导数fL1a,b.答案:正确18.f,gM(X),则fgM(X).答案:正确19.存在某区间a,b上增函数f，使得f(x)在a,b上积分值fdxc0,则f/g属于BV。答案:正确21.若f,gBV，则f+g,f-g,fg均属于BV。答案:正确22.若f,gBV，则f/g(g不为0)属于BV。答案:错误23.f可积的充要条件是f+和f-都可积.答案:正确24.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.答案:正确25.fBV，则f几乎处处可微，且fL1a,b.答案:正确26.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.答案:错
4、误27.若fBV,则f有界。答案:正确28.若A交B等于空集，则A可测时必B可测.答案:正确29.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.答案:错误30.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。答案:正确31.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测答案:正确32.f可积的充要条件:|f|可积。答案:正确33.若fAC，则f是连续的有界变差函数，即fCBV.答案:正确34.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。答案:正确35.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。答案:正确36.若f有界变差且g满足Lip条件
5、，则复合函数g(f(x)也是有界变差.答案:正确37.若f,gAC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),fg,fg均属于AC。答案:正确二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分)38.有限个可数集的乘积集是（ ）A.有限集B.可数集C.有连续统势的集D.基数为2c的集答案:B39.下列关系式中不成立的是（ ）A.f(∪Ai)=∪f(Ai)B.f∩(Ai)=f(∩Ai)C.(A∩B)0=A0∩B0D.(∪Ai)c=∩(Aic)答案:B40.开集减去闭集其差集是（ ）A.闭集B.开集C.非开非闭集D.既开既闭集
6、答案:B41.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.A.mE=0B.0mE+C.mE=+D.0=mE=+答案:A42.设g(x)是0,1上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是0,1上的A.连续函数B.单调函数C.有界变差函数D.绝对连续函数答案:C三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分)43.设E为Rn中的一个不可测集，则其特征函数是A.是L可测函数B.不是L可测函数C.有界函数D.连续函数答案:BC44.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）A.f可测B.|f|可积C.f2可积D.|f|.a.e.答案:ABC45.A，B是两个集合，则下列正确的是（
7、）A.f-1(f（A）)=AB.f-1(f（A）)包含AC.f(f-1（A）)=AD.f(AB)包含f(A)f(B)答案:BCD46.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）A.m(A)m(B)B.m(A)=m(B)C.m(BA)=m(A)D.m(B)=m(A)+m(BA)答案:BD47.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）A.fn测度收敛于|f|B.afn+bgn测度收敛于af+bgC.(fn)2测度收敛于f2D.fngn测度收敛于fg答案:AB48.设E1，E2是Rn中测度有限的可测集，则A.m(E1E2)+m(E1E2)=mE1+mE2B.若E1包含于E2,mE1=mE2C.若E1包含于E2,m(E2E1)=mE2-mE1答案:ABC49.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）A.f在R上处处不连续B.f在R上为可测函数C.f几乎处处连续D.f不是可测函数答案:AB50.若f∈BVa,b，则（ ）A.f为有界函数B.Vax(f)为增函数C.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)D.f至多有可数个第一类间断点答案:ABCD
