第5章 系统运动的稳定性讲义

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1、第5章 系统运动的稳定性,建模,建立,求解,转换,能控性,能观性,稳定性,线性系统的时间域理论预览,定量分析,定性分析,第5章 系统运动的稳定性,稳定性是系统性能研究的首要问题！,控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差。 扰动消失后，偏差逐渐变小，能恢复到原来的平衡 状态，则稳定 偏差逐渐变大，不能恢复到原来的平衡状态，则不稳定,系统在初始偏差作用下，过渡过程的收敛性。,5.1 外部稳定性和内部稳定性,外部稳定性,如果对任意一个有界输入u(t),即满足条件,对应的输出y(t)均为有界，即有,经典控制理论的稳定性判据,劳斯（Routh）判据 奈氏（Nyquist）判据,经典控制理论对有界输

2、入有界输出稳定就是外部稳定,只适用于线性系统,结论 5.1 对零初始条件的线性时变系统,结论 5.2 对零初始条件的线性时不变系统,结论 5.3 对零初始条件的线性时不变系统,BIBO稳定,BIBO稳定,BIBO稳定,真或严真传递函数矩阵所有极点均具有负实部,现代控制理论对稳定性分析的特点,（1）稳定判据可用于线性/非线性，定常/时变系统；,（2）研究系统的外部稳定性和内部稳定性；,现代控制理论的稳定性判据,李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论,（3）能够反映系统稳定的本质特征。,内部稳定性,如果由时刻t0任意非零初始条件 x(t0)=x0引起的状态零输入响应x0u(t)对所有t t0,)

3、为有界，并满足渐近属性即成立,结论 5.4 线性时变自治系统渐近稳定,结论 5.5 线性时不变自治系统渐近稳定,结论 5.6 线性时不变自治系统渐近稳定,结论 5.7 线性时不变系统渐近稳定 BIBO稳定 反之不一定成立，但若系统既能控又能观测，则成立。,（对时变系统不成立）,内部和外部稳定性的关系 就一般系统而言，两种稳定性没有必然的联系，对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。 对于线性定常系统， 若该线性定常系统是渐近稳定的，则一定是输入输出稳定的，反之，则不尽然。,欧式范数,表示向量x的长度,表示向量 x 到xe的距离,表示状态空间中，以 xe为圆心，半径为c的

4、圆,表示状态空间中，以 xe为球心，半径为c的球,5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念,设系统方程为：,不受外力,n维状态向量,n维向量函数,展开式为：,方程的解为：,初始状态向量,初始时刻,自治系统,自治系统由初态x0引起的运动,受扰运动,各分量相对于时间不再发生变化,所有状态的变化速度为零，即是静止状态,线性定常系统：,平衡状态：,一个平衡状态: 状态空间原点,无穷多个平衡状态,平衡状态,线性系统： 一般只有一个平衡状态，平衡状态的稳 定性能够表征整个系统的稳定性。,非线性系统：有多个平衡状态，且可能稳定性不同， 需将每个平衡点分别讨论。,非线性系统：,平衡状态：,多个平衡状态

5、,例：,设系统初始状态位于以平衡状态 xe为球心， 为半径的闭球域 S()内，即,若能使系统方程的解在 t的过程中，始终位于以xe 为球心，任意规定的半径为的闭球域 S() 内，即,则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下稳定。,李雅普诺夫意义下稳定,几何意义：,任给一个球域 S() ，若存在一个球域S() ，使得当t 时，从S()出发的轨迹不离开S() ，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。,若与初始时刻 t0无关，则称系统的平衡状态xe 是一致稳定的。,时变系统与t0有关,定常系统与t0无关,一致稳定,与经典控制理论中稳定性的定义不同。,李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言，反映的是平

6、衡状态邻域的局部稳定性，即小范围稳定性。 系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线，只要不超过S(xe,)，就是李雅普诺夫稳定的，而经典控制理论则认为不稳定。,设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心， 为半径的闭球域 S()内，即,则称系统的平衡状态xe是渐近稳定的。,若系统方程的平衡状态 xe不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有,若与初始时刻 t0无关，则称系统的平衡状态xe是一致渐近稳定的。,渐近稳定,几何意义：,当t时，从S()出发的轨迹不仅不超出S() ，而且最终收敛于xe ，则称系统的平衡状态是渐近稳定的。,与经典控制理论中稳定性的定义相同。,经典控制理论的BIBO稳定性，就是李

7、雅普诺夫意义下的渐近稳定。 稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。 对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域S(xe,)，至于在球域内如何变化不作任何规定。 而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe,初始状态在整个状态空间时，平衡状态都渐近稳定,当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具 有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。,几何意义：,当t时，从状态空间任意一点出发的轨迹都收敛于xe 。,大范围渐近稳定,线性系统稳定性与初始条件无关，如果渐近稳定，则必然大范围渐近稳定。 非线性系统稳定性与初始条件密切相关， 如果渐近稳定，不一定

8、大范围渐近稳定。,初始状态有界，随时间推 移，状态向量距平衡点越 来越远,如果对于某个实数 0和任一个实数 0，不管这两个实数有多小，在S()内总存在着一个状态x0 ，由这一状态出发的轨迹超出S() ，则称此平衡状态是不稳定的。,几何意义：,不稳定,5.3 李雅普诺夫第二方法的主要定理,小范围内稳定性分析方法，泰勒展开，线性化,李亚普诺夫第一方法,俄国学者李雅普诺夫1857 1918) 发表题为“运动稳定性一般问题”的著名文献（，建立了关于运动稳定性研究的一般理论,第一类方法是将非线性系统在平衡态附近线性化，然后通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性来讨论原非线性系统的稳定性问题。

9、这是一种较简捷的方法，与经典控制理论中判别稳定性方法的思路是一致的。 该方法称为间接法，亦称为李雅普诺夫第一法,不必求解微分方程，直接判断系统稳定性,广义能量属性的李亚普诺夫函数,李亚普诺夫第二方法,第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳定性，而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量函数来分析判别稳定性。,李雅普诺夫第二法它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。 系统运动需要能量。在非零初始状态作用下的运动过程中，若能量随时间衰减以致最终消失，则系统迟早会达到平衡状态，即系统渐近稳定 反之，若平衡态不稳定，则系统将不断地从外界吸收能量，其储存的能量将越来越大 若能量在运动过程中不

10、增不减，则称为李雅普诺夫意义下的稳定 基于这样的观点，只要能找出一个能合理描述动态系统的n维状态的某种形式的能量正性函数，通过考察该函数随时间推移是否衰减，就可判断系统平衡态的稳定性,例：机械位移系统,选,状态方程,系统能量,例：机械位移系统,选,系统能量,能量随时间变化率,能量不断衰减,运动会停止吗？,例：机械位移系统,系统能量,能量随时间变化率,能量不断衰减,渐近稳定！,一、标量函数V(x,t)定号性,正定,负定,数学预备知识,正半定,负半定,不定,例： 已知 ，确定标量函数的定号性。,解：,正定,解：,正半定,解：,解：,负半定,不定,二、二次型 定号性,二次型：各项均为自变量的二次单项

11、式的标量函数,P为实对称矩阵,例：,矩阵P正定,P的各阶顺序主子式0,矩阵P负定,P的各阶顺序主子式负正相间,矩阵P正半定,P的各阶顺序主子式,矩阵P负半定,P的各阶顺序主子式负正相间，或等于零,例： 确定下列二次型的定号性。,解：,正定,P的各阶顺序主子式0,矩阵P定号性的判别方法二,矩阵P正定,矩阵P负定,矩阵P正半定,矩阵P负半定,例： 确定下列二次型的定号性,解：,矩阵P的特征值的符号有正有负，即符号不定,不定,李雅普诺夫第二法的基本思想,求出系统的能量函数（李雅普诺夫函数） 标量函数。,求出能量随时间变化率 。,依据系统的状态方程考察能量函数在运动过程 中的变换规律。,利用 和 的符

12、号特征，判断平衡状 态稳定性。,李亚普诺夫主稳定性原理：,为孤立平衡状态即对所有 若可构造对 和 有连续一阶偏导数的一个标量函数 ，且对所有非零状态 有:,(i) 正定且有界，即存在两个连续的非减标量函数 和 ，其中 和 ,并对所有 和所有 成立：,(ii) 对时间 的导数 负定且有界，即存在一个连续的非减标量函数 ，其中 ，使对所有 和所有 成立：,(iii) 当 ，有 即 。,则系统的原点平衡状态x=0为大范围一致渐近稳定。,几点说明：,(1) 适用于线性/非线性，时变/时不变系统；,(2) 物理含义：“广义能量”有界，“广义能量的变化率”为负，则系统运动最终回到平衡状态；,(3) 判据的

13、充分性属性,(1) 正定,(2) 负定,(3),则系统原点平衡状态为大范围（一致）渐近稳定。,（线性/非线性)定常系统： ， 其 中f(0)=0，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函 数V(x)满足：,时不变系统-大范围渐近稳定,例：分析下列系统平衡状态的稳定性。,解：,选取：,正定,负定,大范围（一致）渐近稳定,几何意义：,表示系统状态 到空间原点的距离。,表示状态 趋向原点的速度。,例：机械位移系统,选,状态方程,系统能量,正定,例：机械位移系统,系统能量,正定,正定,负半定,根据所选的李雅普诺夫函数分析不出该平衡态是否渐近稳定或稳定。 但这也并不意味着该平衡态就并不渐近稳定。,(1) 正定

14、,(2) 负半定,则系统原点平衡状态为大范围（一致）渐近稳定。,（线性/非线性)定常系统： ，其 中f(0)=0，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函 数V(x)，满足：,(4),时不变系统-大范围渐近稳定,例：机械位移系统,系统能量,正定,正定,负半定,但不恒等于0,能量不断衰减,渐近稳定,(1) 正定,(2) 负半定,(3),则系统原点平衡状态为李雅普诺夫意义下的稳定。,（线性/非线性)定常系统： ，其 中 ，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函 数 满足：,(4),系统保持稳定的等幅振 荡，非渐近稳定！,能量不变！,时不变系统-李雅普诺夫意义下的稳定,例：机械位移系统,系统能量,正定,恒等于0,能量不变,李雅普诺夫意义下的稳定,选,状态方程,则系统原点平衡状态不稳定。,时变系统 定常系统： 如果存在具有连续一阶偏导数的标量函数 其中， 且满足：,(1),(2),时不变系统-不稳定,例 确定状态方程描述的系统的平衡态稳定性。,选择李雅普诺夫函数,平衡点,原点(0,0),解：,正定,正定,系统为不稳定的,V(x),结论,正定(0),负定(0),该平衡态渐近稳定,正定(0),负半定(0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解),该平衡态渐近稳定,正定(0),负半定(0)且恒为0 (对某一非零的初始状态的解),该平衡态稳定 但非渐近稳定,正定(0),正定(0),该平