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1、非线性控制课程作业2015秋季学期姓 名：学 号： 15S004001专 业： 控制科学与工程哈尔滨工业大学2016年1月作业一1. 动态系统：系统状态随时间而变化的系统或者按确定性规律随时间演化的系统，称为动态系统。动态系统是数学上的一个概念，是一种固定的规则，它描述一个给定空间（如某个物理系统的状态空间）中所有点随时间的变化情况。在动力系统中有所谓状态的概念，状态是一组可以被确定下来的实数。状态的微小变动对应这组实数的微小变动。动力系统的演化规则是一组函数的固定规则，它描述未来状态如何依赖于当前状态的。这种规则是确定性的，即对于给定的时间间隔内，从现在的状态只能演化出一个未来的状态。其特点
2、是: （1）系统的状态变量是时间函数,即其状态变量随时间而变化； （2）系统状况由其状态变量随时间变化的信息来来描述； （3）状态变量的持续性。 数学描述形式：一般的，动态系统表示为一个元组，其中表示一个从到的映射，用表示，称为“演变函数”，表示了系统状态随时间变化的规律。其中， 表示了集合中点的变化，这种变化依据于变量，称为状态空间。代表系统的初始状态，当初始状态固定时，就变为了的函数，函数经过代表的状态点。动态系统也常用微分方程来描述，设系统状态向量为，则有一下数学描述：式中x为状态变量矢量，t为时间，f为确定性矢量函数，这个微分方程即动态系统的数学描述形式。 对微分动力系统的研究从理论上
3、揭示了系统的许多基本性质。如对系统吸引子的研究说明了系统终态，即定常状态的种类（非平衡态）。又如对系统稳定性条件的研究和相空间拓扑结构对参量依赖关系的研究都对系统的设计具有重要指导意义。不用微分方程描述的动态系统模型中最简单的是映射，一般用差分方程或迭代方程表示。 静态系统：与动态系统相对，系统状态不随时间变化的系统称为静态系统。系统中各个状态的量之间都有着已经固定的关系并且保持不变，动态系统的每一个平衡点都是一个静态系统。 数学描述：用微分方程来描述静态系统，类比动态系统，可以有以下数学描述其中表示了系统中各个状态变量之间的关系，即满足这样的关系时静态系统才能成立。 2.系统的齐次性和叠加性
4、是不是独立的两个性质？如果一个系统具有叠加性，是否可以推断出该系统一定满足齐次性？写出你对该问题的理解。 二者是独立的，二者只在有理数范围内等效；这个问题本身属于群论范畴，尽管直观上讲，二者有一定关联。可以证明在有理数域内, 如果已知系统具有叠加性, 那么它一定同时具有齐次性。 （1）在整数范围内证明，当由叠加性可以得到 即满足齐次性：当显然成立;当时由可加性，由上面堆出的结论可知简言之，式子最后可以分解为a个T(r)相加，即为a倍T(r)。此时可加性与齐次性表述了同一条规则。将这一结论推广，可加性可以推出对于有理数的齐次性， （2）在有理数范围内证明 由于有理数总可以写成分数形式，其中，由(
5、1)中推出的结论知在有理数范围存在，故齐次性与可加性在有理数范围内等效。但在无理数范围内及复数范围内该结论不一定成立，反例如下： （3）虽然实际中存在很多不同时满足齐次性与可加性的例子，但大多数非线性系统是同时不满足二者。具有齐次性的非线性映射，只能在不满足可加性的无理数集中去寻找。如果不要求为连续函数，定义抽象函数如下例，即为一个满足齐次性而不满足可加性的系统： （x为有理数） （x为无理数） 即为满足齐次性对数乘封闭 而不满足可加性的实例。 （4）设为复数，若系统满足其中，则可以推导出齐次性，但是一般的线性系统不满足这个性质。若变量与常数都可在复数域取值，由于复数运算的特殊性，叠加性与齐次
6、性之间不一定等价。比如当k为复数时， ，齐次性不成立但是叠加性仍然成立。3. 状态空间表达式如下，Simulink仿真比较线性、非线性模型。 线性系统Simulink仿真模型（蓝色曲线） 非线性系统Simulink仿真模型（红色曲线） （1）对于初值，两种系统的状态轨迹如下两图所示：X1 X2当角度很小时，两系统的状态轨迹基本是相同的。（2）对于初值，两系统状态轨迹如下：X1 X2当初始角度偏大时，近似的模型与实际模型的状态轨迹出现了偏差。对于初值，两系统状态轨迹如下：X1 X2当单摆初始状态水平放置时，两个系统的状态轨迹相差比较大。（4） 对于初值，两系统状态轨迹如下：X1 X2 当偏角大于
7、直角，两系统轨迹相差很大，实际系统的轨迹已经能够看出不完全符合正弦规律。作业二1. 对两种稳定性的理解。 假设f是n维连续向量场。这样可以保证对于每个初始状态x0，都有至少一个经典解x(t)。 (1)Lyapunov稳定性针对平衡位置定义：系统对任意选定实数 ，都存在 ，使得当 时，从任意初态出发都满足 ，便可以确定 为平衡点，且此时称这个平衡点在Lyapunov意义下稳定。若平衡点为零点，则。实质即在一定条件下可以满足是系统响应有界，系统响应 存在边界 ，而根据边界即可确定出初始状态所在超球域。初值的选取取决于对系统状态范围的限定，通过限定初值范围保证系统状态在要求范围之内。 (2)Lagr
8、ange稳定性也叫解的一致有界性，从Lagrange稳定性中只能得到状态在时刻之后是有界的。即给定，我们总可以找到一个，当时，有。2. 解对初值具有连续依赖性与不稳定性的理解。解对初值的连续依赖性是指，对于非线性系统，假设为定义在上的唯一解，满足初始条件, 对于任意给定的，存在使得对于，上述方程在上存在满足初始条件的唯一解，且。由于连续依赖性定义在上，即使是不稳定的系统，在一个已知时间范围内也是存在解的，只要满足在确定时间点上的解关于初值连续变化就说明解对初值有连续依赖性。因此对初值的连续依赖性与系统不稳定不矛盾。即解对初值的连续依赖性与系统是否稳定无关，具有不稳定的解的系统也可以对初值具有稳
9、定性。如存在。3.该系统平衡点唯一，因为如果有除了原点的另一平衡点，那么若取初值，根据平衡点的定义，与条件不符。但不能说平衡点0是渐进稳定的，状态收敛，但是并不一定符合Lyapunov意义下的稳定性，即对于任意的不一定能够找到一个，当时，有，直观上说，就是在状态收敛的过程中可能出现先发散再收敛的现象，虽然最后状态收敛但不能确定系统的稳定性。作业三1.根据平衡点定义可得解得或近似线性化方法：由于，在平衡点附近有近似线性系统：线性近似系统矩阵，由于易知该平衡点稳定。在平衡点附近，首先进行坐标变换则对于系统状态，有下式成立： 由于，在平衡点附近有近似线性系统近似系统矩阵，当时平衡点是稳定的，否则平衡
10、点是不稳定的。在平衡点，同理可以得到近似系统矩阵，当时平衡点是稳定的，否则平衡点是不稳定的。Lyapunov直接方法： 对于平衡点，取，则，对于平衡点附近的区域，有成立，因此平衡点是稳定的。由于是在平衡点邻域内的，当时，可以得到，即系统在平衡点是渐进稳定的。讨论系统的稳定性可以解出系统的相应为，解得，通过，解的形式可以很明显的看出系统是稳定的，即但该平衡点并不是全局渐进稳定的，由于该系统平衡点不唯一。对于平衡点，用类似的方法可以得到结果。平衡点也不是全局渐进稳定。取，2. 不可以，该系统状态的范围为实数域，也就是说复数不可能成为系统状态， 不是系统合理的平衡点，又因在实数范围内，因此该系统平衡
11、点只有。3.取，则易知全局正定，则有考虑的极值，首先找到驻点，得到驻点为，检验，可以得出驻点处二元函数取极大值，由于函数全局可导，只有一个驻点，说明函数最大值为0，当且仅当时取得最大值，因此可以得出0，又因为为径向无界函数，所以该系统全局渐进稳定。作业四1.对于集合，若，即，可以得到，因此为系统的一个平衡点，因此为不变集。对于区域，取，定义，可以得到在内，又存在任意接近原点的点，由Chetaev定理可知该平衡点不稳定。对于集合，对于系统，当时，解得该系统的状态轨迹为，状态轨迹满足，因此对于该系统，集合是一不变集。选取，可知该不变集是稳定的。2.将代入系统得，令，则由于对称正定，则若，只有，根据
12、LaSalle定理，可以得出中最大不变集为，其中，以因此中任意点为初值，系统解都趋向于0，可以得出系统渐进稳定。作业五1.充分性：二阶连续可导，根据微分中值定理，存在介于0和的，使得，由于，有因此，其中，显然满足，由连续性可知如下极限存在：，如果系统（2）是指数稳定的则有，因此对于给定的正定矩阵，Lyapunov方程有正定对称解。取系统（1）的Lyapunov函数为，则由极限定义可知，对于给定的，存在，使得，则选取，则，因此系统（1）是指数稳定的。必要性：由充分性证明过程得，,其中，对，有，由于系统（1）是指数稳定，即存在，使得所以存在正定对称矩阵，使得，则，又由于存在，使得，由于，故，故有故
13、可令，则，由于，故半负定，所以半负定，系统（2）指数稳定。作业六，系统可以看作输入，输出为的系统，由KYP引理证明过程可知，取，由于严格正定，则有，由于，故径向无界系统全局渐近稳定，且闭环系统为线性系统系统全局指数稳定。作业七1.（1）看做微分型则而因此（2）（3） 于是得到 4)同理又有于是有 2.因此在邻域内，由于满秩，不能用线性表示，因此不对合。作业八1 （1） 由题设条件得首先，计算得接下来，再计算，得因此，在原点是对合的。综上，可以判定该系统在元点附近的精确线性化问题可解。（2）解一阶偏微分方程，得。（3） 验证相对阶：因此，可证系统相对阶。（4） 综上可知，在原点附近存在状态反馈及坐标变换可将该系统变换为一个可控的线性系统，变换后系统方程为
