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1、1,第一节 时域响应概述 第二节 控制系统的时域性能指标 第三节 一阶系统的时域响应 第四节 二阶系统的时域响应 第五节 欠阻尼二阶系统的时域性能指标 第六节 高阶系统的时域响应 第七节 系统的稳定性分析 第八节 控制系统的稳态误差,主要内容,2,为了分析系统的性能，首先要建立其数学模型，然后可用各种不同的方法对其进行分析研究。对于线性定常系统，常用的工程方法有时域分析法，根轨迹法和频率响应法。本章仅讨论控制系统的时域分析。 时域分析法是一种直接分析法，它是根据所描述系统的微分方程或传递函数，求出系统的输出量随时间的变化规律，并由此来确定系统的性能。,3,第一节 时域响应概述,一、时域响应的概
2、念 时域响应(Time Response) ：控制系统在外加作用(输入)激励下，其输出量随时间变化的函数关系 。,任一稳定系统的时域响应都是由瞬态响应(Transient Response)和稳态响应(Steady-State Response)两部分组成。,系统受到外加作用激励后，从初始状态到最终状态的响应过程。,时间趋于无穷大时，系统的输出状态称为稳态响应 。,4,到,到,当tt1时，系统趋于稳定。,到,0到t1时间内的响应过程称为瞬态响应,反映了系统动态性能。,当t时，若c(t)趋于稳态值，则系统是稳定。,当t时，若c(t)呈等幅振荡或发散，则系统是不稳定。,稳态响应偏离系统期望值的程度
3、可用来衡量系统的精确程度。,5,二 典型的初始条件和输入信号,2、典型信号的选择，应满足以下条件：,()信号的数学表达式简单。,()易于在实验室中获得 。,控制系统的动态性能是通过某典型输入信号作用下系统的瞬态响应过程来评价的。系统的瞬态响应过程既取决于系统本身的结构和参数，又与其外施信号的形式以及初始条件有关。,1、典型的初始条件,一般约定系统的初始条件为零初始条件，即在时间t=0时，系统输入输出地各阶导数和各重积分均为零。,6,7,()阶跃信号,图 阶跃信号,如果系统的输入信号是突变的量，则应取阶跃信号为宜。,2、常用的输入信号有以下几种：,8,()斜坡信号,图 单位斜坡函数,如果系统的输
4、入信号是随时间线性增长的函数，则应选斜坡信号，以符合系统的实际工作情况。,9,()等加速度信号（抛物线信号）,10,()脉冲信号,图 脉冲信号,如果系统的输入信号是一个瞬时冲击的函数，则显然选脉冲函数最为合适。,11,()正弦信号,12,第二节 控制系统的时域性能指标,控制系统在典型输入信号作用下的性能指标由动态性能指标(Transient-Response Specifications)和稳态性能指标(Steady-State Specifications)两部分组成。 工程上，阶跃信号最容易实现，又反映了许多实际信号的形式，且更抽象、更严格。故通常以阶跃响应来衡量系统性能的优劣，并定义时域
5、性能指标。系统的单位阶跃响应曲线如图4-2-1所示：,13,图4-2-1 单位阶跃响应曲线,延滞时间,上升时间,峰值时间,调节时间,最大超调量,14,. 上升时间 单位阶跃响应曲线从其稳态值的10%上升到90%所需时间；对于有振荡的系统，可定义为响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。,. 峰值时间 响应曲线到达第一个峰值所需的时间。,延滞时间 单位阶跃响应曲线到达其稳态值50%所需的时间。,. 调节时间 响应到达并从此不再超出稳态值 5%(或2%）误差带所需要的最小时间。,15,最大超调量 在系统响应的过渡过程中超出稳态值的最大偏差与稳态值之比，即,(4-3-1),6. 稳态误差 对于
6、单位负反馈系统，当时间无穷大时，系统响应的实际值（稳态值）与希望值之差，定义为稳态误差,16,总结：,1.延滞时间、上升时间、峰值时间、调节时间反映系统动响应的快速性。,2.稳态误差反映了系统，复现输入信号的精度。,3.最大超调量表征了系统的相对稳定性。,17,图4-3-1 一阶系统,一、一阶系统的数学模型,第三节 一阶系统的时域响应,当控制系统的数学模型为一阶微分方程时,称其为一阶系统。,时间常数,18,下面就不同的典型输入信号，分析该系统的时间响应。,时间常数,19,二、一阶系统的单位阶跃响应,当输入信号r(t)=u(t)时，系统的响应称为单位阶跃响应。,对上式取拉氏反变换，得,比较以上两
7、式可知：输入的极点形成系统响应的稳态分量，传递函数的极点产生系统响应的瞬态分量。,单位阶跃响应曲线,1,T,2T,3T,4T,0.98,0.632,0.86,0.95,ts = 3T,(2%),ts = 4T,(5%),20,三、一阶系统的单位脉冲响应,当输入信号 = 时，系统的响应c(t)称为单位 脉冲响应。系统输出响应的拉氏变换为：,单位脉冲响应,单位脉冲响应曲线,21,四、一阶系统的单位斜坡响应,当输入信号 时，系统的响应C(t)称为单位斜坡响应。,对上式取拉氏变换，得,单位斜坡响应曲线,系统的误差：,e(t)= r(t) -c(t),=t-(t-T+Te-t/T ),=T(1-e-t/
8、T ),=T,22,系统输入信号导数的输出响应，等于该输入信号输出响应的导数；一个输入信号积分的时域响应等于该输入信号时域响应的积分。,根据一阶系统三种响应的输入输出信号:,r(t)=1(t),r(t)=t,r(t)=(t),结论,23,例 一阶系统的结构如图，试求系统的调节时间t s (5%),如果要求 t s= 0.1s，求反馈系数。,Kk= 100,KH= 0.1,解：,闭环传递函数,得:,t s=3T,若要求:,t s=0.1 s,则:,t s=30.01/KH=0.1,KH =0.3,24,一、二阶系统的数学模型,用二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。,图4-4-1 RLC电路,第
9、四节 二阶系统的时域响应,时间常数，秒,阻尼比或相对阻尼 系数，无量纲。,25,二阶系统的闭环传递函数为,令,称作二阶系统的自然频率或无阻尼固有频,单位为rad/s ，则,26,系统的闭环特征根，即系统的闭环极点,二、二阶系统的分类,系统的闭环特征方程，即,根据 不同，极点的分布情况不同。二阶系统有 以下四种工作状态：,（一）欠阻尼二阶系统(0 1),（二）无阻尼二阶系统( =0),（三）临界阻尼二阶系统( =1),（四）过阻尼二阶系统( 1）,27,（一）欠阻尼二阶系统（ ）,图4-4-3（a） s平面上二阶系统的闭环极点分布,(a),欠阻尼二阶系统特征根在 s平面的左半平面。系统的阶跃响应
10、表现为欠阻尼。,系统的有阻尼固有频率,28,(b),图4-4-3（b） s平面上二阶系统的闭环极点分布,特征根在s平面的虚轴上，使得系统的阶跃响应表现为无阻尼的等幅振荡过程 。,（二）无阻尼二阶系统,29,图4-4-3（c) s平面上二阶系统的闭环极点分布,(c),特征根在s平面的负实轴上，使得系统的阶跃响应表现为临界阻尼 。,（三）临界阻尼二阶系统,30,图4-4-3(d) s平面上二阶系统的闭环极点分布,(d),特征根在s平面的负实轴上，使得系统的阶跃响应表现为过阻尼 。,（四）过阻尼二阶系统,31,三、二阶系统的单位阶跃响应,（一）欠阻尼响应,求上式的拉氏反变换，得,32,（t0）,(a
11、),时间响应的初 始相位角，称为阻尼角,稳态分量,瞬态分量,衰减指数,33,欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线,34,（二）无阻尼响应,（t0）,无阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线,系统在无阻尼时， 系统对阶跃输入 不存在阻尼作用。,35,（三）临界阻尼响应,（t0）,临界阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线,输出响应无 振荡和超调。,36,（四）过阻尼响应,响应速度比 临界阻尼时慢,过阻尼二阶系统的阶跃响应曲线,37,c(t),t,0,1,1,38,二阶系统的单位阶跃响应曲线,39,基于上述的讨论，可知二阶系统随着阻尼比 的不同，其闭环极点的位置和阶跃响应都有较大的差异，但它们响应的稳态分量都为1。这表明在
12、阶跃输入信号作用下系统的稳态误差都为零。即在稳态时，它的输出总等于其阶跃输入 。,40,四、二阶系统的单位脉冲响应,(一)欠阻尼响应,（t0）,（二）无阻尼响应,（t0）,41,（三）临界阻尼响应,（t0）,（t0）,取 时，系统的各种脉冲响应曲线如下图所示,（四）过阻尼响应,42,图4-4-10 二阶系统单位脉冲响应,43,五、欠阻尼二阶系统的单位斜坡响应,系统输出量的拉氏变换为,（t0）,稳态分量,瞬态分量,44,下图示出了欠阻尼二阶系统的单位斜坡响应曲线。,图4-4-11 欠阻尼二阶系统的单位斜坡响应,典型二阶系统可以跟踪斜坡函数调整系统的结构参数，可以减小其跟踪误差，但不能完全消除。,
13、45,例4-6 设单位反馈系统的开环传递函数为,试写出该系统的单位阶跃响应和单位斜坡响应表达式。,解：,闭环传递函数为,该系统的单位阶跃响应表达式为,该系统的单位斜坡响应表达式为,46,第五节 欠阻尼二阶系统的时域性能指标,一、上升时间,由于欠阻尼状态下的时间响应有振荡,定义从零开始第一次达到稳态值所需的时间。,当,时,其中,47,二、峰值时间,48,三、最大超调量,最大超调量发生在峰值时间,即,四、调节时间,49,调节时间tS与闭环极点的实部的绝对值成反比。实部的绝对值越大，即极点距离虚轴越远，系统的调节时间越短，过渡过程结束得越快。,综合上述各项动态性能指标的计算公式，可以看出，各指标之间
14、是有矛盾的。小的 值固然能使上升时间和峰值时间减小，但却导致较大的超调量和调节时间，反之亦然。因此，在实际系统的设计过程中，系统参数的选择应当在各项指标间进行折中考虑。,50,例4-7 已知控制系统的结构框图如图4-6-3。试计算当参数K14时，系统单位阶跃响应的各项性能指标。若参数 K增大到K28或减小到K2时，系统的性能指标将有何变化？,解：传递函数,(1)当K=14时，代入得 ：,51,(2)当K=28时,(3)若 K 减小到2时,该系统为过阻尼二阶系统,52,例4-8 设单位反馈系统的开环传递函数为,试确定系统在单位阶跃输入下的动态性能指标。,解：系统的闭环传递函数,该系统为欠阻尼二阶
15、系统,53,例4-9 设对图4-6-5(a)所示机械系统的质量块m施加f=8.9N的阶跃力后，质量块的位移曲线y(t)如图4-6-5(b)所示。试确定系统的参数m,k和c的值。,(b),图4-5-1 机械系统及其阶跃响应曲线,54,解：（1）建立系统的数学模型,系统的运动微分方程,传递函数,55,(2) 求k,(3) 求m和c,56,第六节 高阶系统的时域响应,设高阶系统（High Order System）的传递函数的一般形式为,（4-6-1）,如果上式的分子和分母均可分解为因式，则式（4-6-1）就可改写为,（4-6-2）,式中， 为闭环传递函数的零点； 为闭环传递函数的极点。,57,令系统所有的零、极点互不相同，且其极点有实数极点和复数极点，零点均为实数零点。设系统的输入信号为单位阶跃函数，则由式（4-6-2）得,（4-6-3）,式中， 。q为实极点的个数；r为复数极点的对数。,将式（4-6-3）用部分分式展开，得,（4-6-4）,58,对式（4-7-4）求拉氏反变换得,式中,(4-6-5),由式（4-6-5）可知：,59,（1）高阶系统时间响应的瞬态分量是由一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数所组成。其中输入信号极点所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量，传递函数的极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量。,（2）系统瞬态分量的形式由
