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1、函数与极限,性质（闭区间上连续函数）,函数,极限（数列极限、函数极限）,连续（或间断）,内容,一、函数：,:函数的分类,函数,初等函数,非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数),代数函数,超越函数,有理函数,无理函数,有理整函数(多项式函数),有理分函数(分式函数),邻域:,绝对值:,运算性质:,绝对值不等式:,函数的特性：,有界,无界,1函数的有界性:,数列的有界性：,补充内容：,1.单调递增且有上界数列必有极限。 2.单调递减且有下界数列必有极限。,2函数的单调性:,3函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,典型例题,例,解,例,解,故,
2、思考题,思考题解答,设,则,故,二、极限,函数极限的统一定义,(见下表),思考题,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在.,补充结论：,小结:,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例,解,例,(消去零因子法),例,解,(无穷小因子分出法),结论:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,例,解,先变形再求极限.,例. 证明,证: 利用夹逼准则 .,且,由,例：,1.,求极限,解：,原式,2. 求极限,提示：,原式,左边,= 右边,故极限存在，,例：,设, 且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,思考
3、与练习,1. 如何判断极限不存在?,方法1. 找一个趋于的子数列;,方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.,2. 已知, 求,时,下述作法是否正确? 说明理由.,设,由递推式两边取极限得,不对!,此处,例,解,意义：,定理:,意义,1.极限符号可以与函数符号互换;,定理:,注意:,该定理是上个定理的特殊情况.,无穷小（量）：,无穷小的性质 ;,无穷小的比较 ;,常用等价无穷小:,两个重要极限：,2.,1.,两个重要极限,或,思考与练习,填空题 ( 14 ),例. 求下列极限：,提示:,令,则有,复习: 若,则,-2,填空题：,1.,2.,0,极限的计算方法：,1、极限的四则运算法则及其推论；
4、 2、多项式与分式函数代入法求极限; 3、消去零因子法求极限; 4、无穷小因子分出法(等价无穷小代换)求极限; 5、利用无穷小运算性质求极限; 6、利用左右极限求分段函数极限; 7、复合函数极限运算法则;(尤其利用复合函数连续性) 8、利用两边夹逼准则求极限; 9、利用罗比达法则求极限; 10、利用泰勒公式求极限; 11、利用定积分求极限; 12、利用无穷级数的性质求极限; ,思考题:,在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？,与,是否有极限？,思考题解答:,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,思考题:,任何两个
5、无穷小都可以比较吗？,思考题解答:,不能,例当 时,都是无穷小量,但,不存在且不为无穷大,故当 时,例,解,例：,例：,思考题：（如何做？）,说明:,对于形如:,的函数，,通常称为幂指函数,如果,那么有,思考题:,例.,解:,原式,例. 求,例,解,解法讨论,典型例题,例：,例：,三、 连续与间断,1. 函数连续的等价形式,有,2. 函数间断点,第一类间断点,第二类间断点,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,小结：,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:（左右极限都存在的间断点）.,第二类间断点:（左右极限至少有一个不存在的间断点）.,间断点,(见下图),可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,闭区间连续函数的性质小结：,在,上有最大值与最小值;,上可取最大值与最小值之间的任何值;,3. 若,使,至少存在一个,上有界;,在,在,思考题,思考题解答,且,但反之不成立.,例,但,例,解,例,证明,讨论:,由零点定理知,综上,例 设f(x)在(a, b)内连续，x1,x2,xn是(a, b)内任意值， 证明存在(a, b)使,例：,其他例题：,第一章习题课结束,谢 谢 配 合！再见！,
