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1、数学问题全集0 牛吃草问题例1牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么，供25头吃几天？分析：首先，我们要清楚这样两个量是固定不变的：草地上原有的草量；草的生长速度，而这两个不变量题目中都没有直接告诉我们，因此，求出这两个不变量便是解题的关键。一般说来，解答这类应用题可以分成以下几步：第一步：通过比较两种情况求出牧草的生长速度。第一种情况：10头牛吃20天，共吃了1020200（头/天）的草量。第二种情况：15头牛吃10天，共吃了1510150（头/天）的草量。思考：为什么同一片草地，两种情况吃的总草量会不相等呢？这是因为吃的时间不一样。事实
2、上，第一种情况的：200头/天的草量草地上原有的草量20天里新长出来的草量；同样，第二种情况的：150头/天的草量草地上原有的草量10天里新长出来的草量；通过比较，我们就会发现，两种情况的总草量与“草地上原有的草量”无关，与吃的时间有关系。因此，通过比较，我们就能求出“草的生长速度”这一十分关键的量：（200150）（2010）5（头/天）第二步：求出草地上原有的草量。既然牛吃的草可以分成两部分，那么只要用“一共吃的草量”减去“新长出来的草量”就能求出“草地上原有的草量”。200520100（头/天）或者150510100（头/天）第三步：求可以供25头牛吃多少天？（思考：结果会比10天大还是
3、小？）显然，牛越多，吃的天数越少。在这里，我们还是要紧紧抓住“牛吃的草可以分成两部分”来思考。我们可以将25头牛分成两部分：一部分去吃新生的草；另一部分去吃原有的草。因为草的生长速度是5头/天，所以新生的草恰好够5头牛吃，那么吃原有的草的牛应该有25520（头）。当这20头牛将草地原有的草量吃完时，草地上也就没有草了。100（255）5（天）例2： 一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时可淘完；5人淘水8小时可淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人？分析：这道题看起来与“牛吃草”毫不相关，其实题目中也蕴含着两个不变的量：“每小时漏水量”（相当于草的生长速度
4、）与“船内原有的水量”（相当于草地上原有的草量）。因此，这道题的解题步骤与“例1”完全一样，请您自己试一试：（在下面评论里进行分析解答）第一步：第二步：第三步：设x人在一小时内可掏尽匀速进入船内的水,y为2小时淘完要安排人数,则 (10-x)*3=(5-x)*8=(y-x)*2 x=2,y=14第一步：（58-103）（8-3）=2（人小时） 第二步：58-28=24（人小时） 第三步：242+2=14（人） 答：如果要求2小时淘完，要安排14人。牛吃草问题综合练习（）牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周。如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？（）有一口水井，如果水位
5、降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。现在用水吊水，如果每分吊4桶，则15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。现在需要5分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？（）有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？（）有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？（）一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要6天抽干，需要多少台同样的抽
6、水机？第一讲 行程问题例1. 小明上学时坐车，回家时步行在路上一共用了90分。如果他往返都坐车，全部形程需30分。如果他往返都步行，需多少分？分析：根据“往返都坐车，全部行程需30分”可以算出单程作车需要的时间。再根据“上学时坐车，回家时步行，在路上一共用了90分”可以算出单程步行需要的时间。进而可算出往返都步行所需的时间。解： （90302）2 =752 =150（分）答：如果他往返都步行，需150分。例2. 甲、乙两城相距280千米，一辆汽车原定用8小时从甲城开到乙城。汽车行驶了一半路程，在中途停留30分。如果汽车要按原定时间到达乙城，那么，在行驶后半段路程时，应比原定的时速加快多少？分析
7、：要求汽车比原来的时速加快多少，先要求出按原定时间到达，需要的时速。而要求按原定时间到达需要的时速，又要求出行剩下一半的路程，还剩下但是时间。解： 分步解答30分=0.5小时（1） 前一半路程已行了多少小时？82=4（时）（2） 还剩下多少小时？840.5=3.5（时）（3） 后半程每小时应行多少千米？28023.5=40（千米）（4） 原来每小时行多少千米？2808=35（千米）（5） 每小时比原来多行多少千米？4035=5（千米）列综合算式解答2802（8820.5）2808=1403.52808=4035=5（千米）答：应比原定的时速加快5千米。例. 甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，
8、距离是100千米。甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。甲带着一只狗，狗每小时行10千米。这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇。这只狗一共跑了多少千米？分析：如果想分段算出狗跑的路程，再求出这些路段的和，将很难算出结果来。因此，一定要从整体考虑。要求狗跑的路程，就要求出狗跑的时间，而狗跑的时间正好就是甲、乙两人跑的时间。用狗跑的速度乘以它所跑的时间就可以算出狗跑的路程。解 分步解答（1）甲、乙两人多少小时相遇？100（6+4）=10（时）（2）狗跑的总路程是多少千米？1010=100（千米）列综合算式解答10100（6+4）=1010=100（
9、千米）答：这只狗一共跑了100千米。综合练习（）上学时坐车，回家时步行，在路上共用去1.5小时，如果往返都坐车，全部行程只要30分钟，如果往返都步行，全程则需要多少小时？（）在一次登山比赛中，小明上山时每分钟走50米，18分钟到达山顶；然后按原路下山，每分钟走75米。求小明上、下山的平均速度？ （）一辆汽车从甲地开往300千米处的乙地去，在开始的120千米内平均速度为每小时40千米，要想使这辆汽车从甲地到达乙地的平均速度为每小时50千米，剩下的路程应以什么速度行驶？（）甲、乙两人同时、同地、同向而行，甲骑车每小时行15千米，乙步行每小时行5千米，甲行了120千米时，转身返回，与乙相遇，求相遇时
10、两人各行了多少千米？（）甲、乙两人同时从A、B 两地相对而行，甲骑车每小时行16千米，乙骑摩托车每小时行65千米。甲离出发点62.4千米处与乙相遇。A、B两地相距多少千米？第二讲盈亏问题例题1：将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友，如果每人分3粒，就会余下糖果17粒；如果每人分5粒，就会缺少糖果13粒。问：幼儿园小班有多少个小朋友？这些糖果共有多少粒？分析：用作图的方法来分析。我们知道糖果的总数相等，小朋友的人数也是相等的。 3粒 3粒 3粒 余17粒 5粒 5粒 5粒 缺少13粒 想：每个小朋友分3粒与5粒，相差53=2（粒）； 分的糖果的总数就要相差17+13=30（粒）所以小班的人数是302
11、=15（人），这批糖果的总数是315+17=62（粒）或51513=62（粒）。这是盈亏问题中的“一盈一亏”的问题，解答这类问题的数量关系是：（盈数+亏数）两次分得的差 = 人数解： （17+13）（53） =302 =15（人） 315+17=62（粒）或：51513=62（粒 ）答：有15个小朋友，62粒糖。例题2：学生搬一批砖，每人搬4块，其中5人要搬两次；如果每人搬5块，就有两人没有砖可搬。搬砖的学生有多少人？这批砖共有多少块？分析：用作图的方法来分析。我们知道砖的总数相等，学生的人数也是相等的。 4块 4块 4块 余下的还需要5人搬一次 也就是多余（45）块 5块 5块 5块 就有两
12、人没有搬 也就是缺少（52）块通过分析，我们把问题转化为盈亏问题的一般情形。每人搬砖数相差54=1（块），搬砖的总数就相差（45）+（52）=30（块）所以，搬砖的学生数是301=30（人），砖的总数是430+20=140（块）。解：（45+52）（54） =301=30（人） 430+45=140（块）答：搬砖的学生有30人，这批砖共有140块。例题3. 某校在植树活动中，把一批树苗分给各班，如果每班分18棵，就会余下24棵；如果每班分20棵，正好分完。这个学校有多少个班？这批树苗共有多少棵？分析：本题中树苗的总棵数是不变的，班级数也是不变的，第二次比第一次每班多分2018=2（棵），就是把
13、第一次分后余下的24棵分完，也就是24棵树中有几个2棵，就有几个班。这道题目是盈亏问题中的一种特例。题目中只出现“盈”，也就是一次分配多了，并没有出现“亏”。我们仍然可以按盈亏问题的思路来思考。在以后的题目中，我们还会遇到一道题目中两次都是“盈”的情况和两次都是“亏”的情况。解： 24（2018）=12（个）2012=240（棵）答：这个学习有12个班，这批树苗有240棵。综合练习（1） 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友？有多少粒糖果？（） 某校安排新生宿舍，如果每间住12人，就会有34人没有宿舍住；如果每间住14人，就会空出4间宿舍。这个学校有多少间宿舍？要安排多少个新生？（） 体育老师和一个朋友一起上街买足球。他发现自己身边的钱，如果买10个“冠军”牌足球，还差42元；后来他向朋友借了1000元，买了31个“冠军”牌足球，结果多了13元。体育老师原来身边有多少元？（） 全班同学去划船，如果减少一条船，那么每条船正好坐9人；如果增加一条船，那么每条船正好坐6人。全班有多少人？（） 小李拿一根绳子在一个圆柱上绕，绕了2圈时绳子还余2.86米，但要绕5圈还差1.85米。问：绳子有多长？圆柱的周长是多少？第三讲 最短路线问题
