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1、第二篇 材料力学,材料力学主要研究的问题： 四种变形形式下杆件的内力计算 应力、应变的概念与计算 强度、刚度、稳定性,第4章 轴向拉压杆的应力与变形,材料力学研究对象是弹性体。在外力作用下，一般物体或多或少都将发生变形，当外力撤去后能恢复原来形状的特性称为弹性，工程结构中的构件大多可以视为弹性体。,刚体静力学中，力为滑移矢量，力偶矩矢为自由矢。 弹性体静力学中，力与力偶矩矢均不能自由平移。,变形不等效,1、材料力学的研究对象,结构、构件的概念及构件的分类：,杆件（ bar）: 直杆、 曲杆 、等截面杆 、变截面杆,板（plate）: 平板、壳,块体（ body）,2. 材料力学的任务,为保证结
2、构安全性，构件应具有足够的承载能力,强度不足破坏,刚度不足破坏,稳定性不足破坏,2. 材料力学的任务,强 度(Strength)：即抵抗破坏的能力,刚 度(Stiffness)：即抵抗变形的能力,稳定性(Stability)：即保持原有平衡状态的能力,构件的强度、刚度和稳定性不仅与构件的形状有关，而且与所用材料的力学性能有关，因此在进行理论分析的基础上，实验研究是完成材料力学的任务所必需的途径和手段。,为保证结构安全性，构件应具有足够的承载能力：,在满足强度、刚度、稳定性等安全性要求下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸、选择适宜的材料，而提供必要的理论基础和计算方法。 工程设计的要求
3、：安全、实用、经济、美观,材料力学的任务:,3. 材料力学的基本假设,（2） 各向同性假设 (isotropy assumption ) 认为在物体内各个不同方向的力学性能相同,（3） 小变形假设,远小于构件的最小尺寸，所以通过节点平衡求各杆内力时，把支架的变形略去不计。计算得到很大的简化。,（1） 均匀连续性假设（continuity assumption） 认为材料无空隙地分布于物体所占的整个空间中 认为物体内的任何部分，其力学性能相同,4. 外力与内力,外力：,按外力作用的方式,体积力:,如物体的自重和惯性力。,表面力,连续作用于物体表面的力。 如油缸内壁的油压力，水坝受到的水压力。,若
4、外力作用面积远小于物体表面的尺寸，可作为作用于一点的集中力。 如火车轮对钢轨的压力,滚动轴承对轴的反作用力等。,分布力：,集中力：,连续分布于物体内部各点的力。,按时间,静载：,动载：,缓慢加载（a0）,快速加载（a0），或冲击加载,指由外力作用所引起构件内部的附加相互作用力。是物体内相邻部分之间分布内力系的合力。,内力,拉压变形,(1) 拉伸或压缩,5. 杆件变形的基本类型与概念,变形特点: 杆的变形主要是轴 向伸缩伴随横向缩扩。,外力特点: 外力的合力作用线与杆的轴线重合。,剪切变形,(2) 剪切与挤压,外力特点： 作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线很近。,变形特点：
5、位于两力之间的截面发生相对错动。,扭转变形,(3) 扭转,变形特点： 各横截面绕轴线发生相对转动.,外力特点： 在垂直于杆件轴线的两个 平面内，作用一对大小相等、 转向相反的力偶。,弯曲变形,(4) 弯曲,变形特点： 轴线由直线变成了曲线。,外力特点： 在垂直于杆件轴线的方向 作用外力或力偶。,各变形形式对应的内力分量,轴力、剪力、扭矩、弯矩与拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲等变形效应对应。,内力的正负号规则(Sign Rule of Internal Forces),同一位置处左、右侧截面上内力 分量必须具有相同的正负号。,轴力（用FN，或N 表示）,同一位置处左、右侧截面上内力 分量必须具有
6、相同的正负号。,内力的正负号规则(Sign Rule of Internal Forces),剪力（用FS，或Q 表示）,同一位置处左、右侧截面上内力 分量必须具有相同的正负号。,内力的正负号规则(Sign Rule of Internal Forces),扭矩（用T，或Mx 表示）,同一位置处左、右侧截面上内力 分量必须具有相同的正负号。,内力的正负号规则(Sign Rule of Internal Forces),弯矩（用M 表示）,截开：,代替：,平衡：,轴力(axial force) 轴向拉压杆的内力，用N 表示。,轴力的正负规定:,轴力图：轴力沿杆件轴线变化的图形。,拉为正，压为负。
7、,1. 轴力与轴力图,已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。,例1,解：1、计算各段的轴力。,AB段,BC段,CD段,2、绘制轴力图。,1 反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；,2 确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。,轴力图含义:,3 特点：突变值 = 集中载荷大小,设轴力为正时，任一横截面上的轴力等于横截面一侧所有外力在杆轴线上投影的代数和，背离截面的外力为正，指向截面的外力为负。,轴力(图)的简便求法,由平衡方程得：,例2 杆受力如图所示。试画出杆的轴力图。,BD段：,解： DE 段：
8、,AB段：,注：内力的大小与杆截面的 大小无关，与材料无关。,画轴力图要求： 1.标明正负号 2.写出数值 3.画阴影线与轴线垂直,A=12mm2,A=100mm2,10KN,10KN,100KN,哪个杆先破坏?,100KN,1. 应力的概念,1. 应力的概念,1. 应力的概念,应力内力在一点的分布集度,1. 应力的概念,1. 应力的概念,正应力和切应力,位于截面内的应力称为“ 切应力” (Shearing Stress).,垂直于截面的应力称为“ 正应力” (Normal Stress)；,1. 应力的概念,一点的应力状态,1. 应力的概念,1. 应力的概念,一点的应力状态,应力的国际单位为
9、Pa 1N/m2= 1Pa（帕斯卡） 1MPa = 106Pa 1GPa = 109Pa,应力的特点,（2）应力是矢量。,（3）截面上各点应力，在截面合成结果 为该截面的内力。,（1）应力定义在受力构件某一截面的 某一点处，反映内力的强弱程度。,1. 应力的概念,（1）实验： （演示简易实验）,变形前,受力后,（2）变形规律：,横向线仍为平行的直线，且间距增大。,纵向线仍为平行的直线，且间距减小。,（3）平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面且各横截 面沿杆轴线作相对平移,2. 轴向拉压杆横截面上的应力,横向线仍为平行的直线，且间距增大。,纵向线仍为平行的直线，且间距减小。,横向线仍为平行的
10、直线，且间距减小大。,纵向线仍为平行的直线，且间距增大。,横截面上应力分布,截面法，取一横截面，变形前后,均匀性假设,连续性假设,P,P,横截面上应力均匀分布,（4）横截面上应力公式,正应力符号规定:,当N为拉力时， 为拉应力，规定为正， 当N为压力时， 为压应力，规定为负,的适用条件:, 只适用于轴向拉伸与压缩杆件，即杆端处力的合 力作用线与杆件的轴线重合。, 离杆件受力区域有一定距离的横截面。,（5） 实验验证, 直杆截面内无突变。,（6）圣维南原理: 力作用于杆端的分布方式的不同，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向范围约离杆端12个杆的横向尺寸。,例3,图示结构，已知 F=20k
11、N；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为1515的方截面杆。试求杆件AB、CB的应力。,解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）取节点B为研究对象：,45,F,2、计算各杆件的应力。,45,3. 轴向拉压杆斜截面上的应力,正应力：拉为正，压为负。 剪应力：绕脱离体顺时针转向时为正。 的符号：由 x 轴逆时针转到外法线 n 时为正。,符号规定：,1. 轴向拉压杆变形的特点和描述,纵向绝对变形反映杆的总变形，但无法说明杆的变形程度,纵向相对变形反映杆单位长度的变形，即反映杆的变形程度。也称为：纵向线应变,横向绝对变形：,横向相对变形：,泊松比：,实验结果表明：,同一材料该
12、比值相同，不同材料该比值不同,引入比例常数E,则,（胡克定律）,E表示材料弹性性质的一个常数，称为拉压弹 性模量，亦称杨氏模量。单位：Mpa、Gpa. EA拉伸（压缩）刚度（抗拉刚度），抵抗拉伸 变形的能力,2. 胡克定律 实验证明：,例4 一阶梯轴钢杆如图，AB段A1200mm2，BC和CD段截面积相同A2A3500mm2；l1= l2= l3=100mm。荷载P120kN，P240kN，弹性模量E200GPa。试求：(1)各段的轴向变形；(2)全杆AD的总变形；(3)A和B截面的位移。,解：(1)求各段轴力，作轴力图,(2)求各段变形,BC段,AB段,CD段,(3)求全杆总变形,（缩短）,
13、(4) 求A和B截面的位移,例5 一薄壁圆环，平均直径为D，截面面积为A，弹性模量为E，在内侧承受均布载荷q作用，求圆环周长的增量。,解：,2 变形图严格画法，图中弧线；,1 求各杆的变形量Li ;,3 近似画法，切线代圆弧,切线代圆弧法,例6 写出图中B点位移与两杆变形间的关系。,解：设AB杆为拉杆，BC杆为压杆，则B点位移至B点：,例7 如图所示一简易托架，BC杆为圆截面钢杆，其直径d=18.5mm，BD杆为8号槽钢。若两杆的=160MPa，E=200GPa，设P=60kN。试求B点的位移。,解：(1)计算杆的内力,(2)计算B点的位移,由“切线代圆弧”法，B点的垂直位移为,B点的水平位移
14、,B点的总位移,2 超静定问题：单凭静力平衡方程不能确定出全部未知力（外力、内力、应力）的问题。,1. 基本方程,1 静定问题： 单凭静力平衡方程能确定出全部未知力（外力、 内力、应力）的问题。,3 超静定次数n： n = 未知内力数有效的平衡方程数,4 超静定问题的解题方法步骤： (1) 平衡方程 (2) 几何方程变形协调方程 (3) 物理方程虎克定律 (4) 补充方程：由几何方程和物理方程得 (5) 解由平衡方程和补充方程组成的方程组,2. 超静定问题的基本分析方法的应用,例7 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2、 L3；各杆面积为A1=A2、 A3 ；各杆弹性模量
15、为：E1=E2、E3。外力p沿铅垂方向，求各杆的内力。,解: (1) 平衡方程:,(2) 几何方程变形协调方程：,(3) 物理方程弹性定律：,(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：,(5)解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:,例8 两端固定直杆受轴向外力P作用。截面尺寸如图所示，求两端反力。,解:,(2)几何方程,解： (1)平衡方程:,例9 如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5时被固定,杆的上下两段的面积分别为=c、=c，当温度升至T2 =25时,求各杆的温度应力。(线膨胀系数 ;弹性模量E=200GPa),(3) 物理方程,解平衡方程和补充方程，得:,(4) 补充方程,(5) 温度应力,静不定问题存在温度应力,例10 如图，1、2号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由T1变到T2时,求各杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别为ai； T= T2 -T1),(2) 几何方程,解：(1) 平衡方程:,(3) 物理方程：,解平衡方程和补充方程，得:,(4) 补充方程,
