过程装备控制技术及应用2016第二章剖析

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1、第2章 过程装备控制基础,本章主要讲述经典自动控制理论的数学基础，简单过程控制系统的设计以及一些工业常用复杂控制系统的结构、特点及应用。所谓简单控制系统是指单输入单输出的线性控制系统，这是控制系统的基本形式，也是应用最广泛的形式。所谓复杂控制系统就很难下定义了，它们是在后来的所谓先进控制系统发展以前，有别于简单控制系统的各种控制系统的总称。它们中的多数仍只有一个（或一个主要的）被控变量，仍参照简单控制系统的基本原理来分析和设计，仍是经典控制理论发展的产物。,2.0 经典控制理论的数学基础,2.0.1 系统的数学模型,动态模型：描述系统动态过程的方程式。 如微分方程、偏微分方程、差分方程等。 静

2、态模型：在静态条件下(即变量的各阶导数为零)，描述 系统各变量之间关系的方程式。,建模途径： 理论推导法通过系统本身机理(物理、化学规律)的分析 确定模型的结构和参数，从理论上推导出系 统的数学模型。,实验测试法根据对系统的观察，通过测量所得到的大量输 入、输出数据，推断出被研究系统的数学模型。,数学模型:描述系统各变量之间关系的数学表达式。,建立系统数学模型时，应注意：,根据研究目的和精确性要求，忽略一些次要因素，使系统数学模型简化，便于数学上的处理。 根据所采用的分析方法，建立相应形式的数学模型(微分方程、传递函数等)，有时还要考虑便于计算机求解。,2.0.2 系统微分方程式的建立,建立系

3、统(或元件)微分方程式的一般步骤： (1)确定输入变量和输出变量; (2)根据物理或化学定律，列出系统(或元件)的原始方程式； (3)找出中间变量与其它因素的关系式； (4)消去中间变量， 得到输入输出关系方程式； (5)若所求输入输出关系为非线性方程，则需进行线性化； (6)标准化。将输入项及各阶导数放到方程的右边，将输出项及各阶导数放到方程的左边，然后按降幂的顺序排列。,建模举例1 R-L-C电路,ur(t)输入量，uc(t)输出量。 列出uc(t)与ur(t)的关系式。,（1）写出原始方程式,（2）i与uc(t)的关系,（3）消去i，得,或,式中 T1=L/R，T2=RC 为该电路的两个

4、时间常数,i是中间变量,或,建模举例2 弹簧质量阻尼器系统,输入f (t) 输出y(t),（1）列出原始方程式。,要求写出系统在外力f (t)作用下的运动方程式,阻尼器阻力,弹簧力,（2）消去中间变量,B 阻尼系数,（3）代入上式并整理, 线性定常二阶微分方程式,建模举例3 流体过程,输入_qi 输出_h,（1）根据物质守恒定律得：,a为节流阀的流量系数(米2.5/秒),（3）消去中间变量q，得,一阶非线性微分方程式,S 液罐截面积(米2)； h 液面高度(米)；,（2）按流量公式可得,2.0.3 拉普拉斯变换拉氏变换,2.0.3.1拉普拉斯变换的定义,则：,称为 的拉普拉斯变换 其中 ，称为

5、拉普拉斯算子， 为 的原函数， 为 的拉普拉斯变换（或象函数）。,上式中积分是从 到 ，表明 中所包含的 之前的所有信息都不考虑，该条件对于实际物理系统是可是现实的。,实例,解,实例,解,实例,解 利用分部积分性质,常用拉氏变换表,拉普拉斯变换的性质,（1）线性性质,（2）位移定理,（3）延时定理,（4）微分定理,（5）积分定理,（6）终值定理,2.0.4 拉普拉斯变换解微分方程,2.0.5 系统的传递函数模型,传递函数的概念 RC电路如下：,消去中间变量i(t)，得,进行拉氏变换：,求出Uc(s)的表达式：,若uc(0)=0,传递函数的定义 传递函数: 线性(或线性化)定常系统在零初始条件下

6、，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。,若线性定常系统由下述n阶微分方程描述：,令C(s)=Lc(t) R(s)=Lr(t),ansn+an-1sn-1+a1s+a0C(s)=bmsm+bm-1sm-1+b1s+b0R(s),设初始条件为零,拉氏变换， 得到s的代数方程,M(s) 为传递函数的分子多项式,D(s)为传递函数的分母多项式。,传递函数的性质,1.传递函数是复变量s的有理真分式函数，一般mn ，且所有系数均为实数。 2.传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用及初始条件无关。 3.传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，它们表征了系统的动态性能。,4.令s = 0，则 称

7、为传递系数，或静态 放大系数。,5.一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系。,6 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系。,典型环节及其传递函数,（1）比例环节 G(s)= K,表明输出量与输入量成正比。 例如： 无弹性变形的杠杆、不计非线性和惯性的电子放大器、测速发电机都可认为是比例环节。,（2）惯性环节,式中 K环节的比例系数 T 环节的时间常数,当输入为单位阶跃函数时，输出量将按指数曲线上升，具有惯性。,（2）惯性环节,式中 K环节的比例系数 T 环节的时间常数,当输入为单位阶跃函数时，输出量将按指数曲线上升，具有惯性。,（4）微分环节 G(s) = Ts （理想微分

8、环节 ）,（实际微分环节）,测速发电机,微分器 (理想),（5） 比例微分环节,（6）振荡环节,式中： wn 无阻尼自然振荡频率，wn=1/T； z 阻尼比，0z1。,单位阶跃函数作用下的响应曲线:,求传递函数步骤,建立微分方程 将微分方程代数化（求拉氏变换） 在初始条件为零时求,习题（控制理论基础）,1、已知某系统的微分方程描述为如下：,求系统的传递函数模型及输出响应。,2、已知某系统的微分方程描述为如下：,求系统的传递函数模型及单位阶跃响应。,3、弹簧、质量与阻尼系统如图所示，输入f (t)，输出y(t) ，求系统的微分方程描述及输入输出传递函数。,2.0.6 系统的闭环传递函数及稳定性分

9、析,1控制系统结构图的基本组成形式 （1）串联连接,（2）并联连接,结论：结构图串联总传递函数等于各个环节传递函数的乘积。,结论：结构图并联总传递函数等于各个环节传递函数的代数和。,（3）反馈连接,按照信号传递的关系可写出：,消去E(s)和B(s)，得,因此,若反馈通路的传递函数H(s)=1，常称作单位反馈。,此处的“+”号对应于负反馈。,2闭环系统的传递函数,闭环控制系统的典型结构如下图所示：,r(t)输入信号 n(t)扰动（或干扰）,1）. 开环传递函数,2） r(t)作用下系统的闭环传递函数,求出闭环传递函数：,令n(t)=0，结构图为：,3） n(t)作用下系统的闭环传递函数,n(t)

10、在系统中的作用位置与r(t)的作用点不一定相同，故Gr(s)与Gn(s) 一般是不相同的。,求出闭环传递函数：,令r(t)=0，结构图变为：,4）. 系统的总输出,根据线性系统叠加原理：,5）. 闭环系统的误差传递函数,规定：c(t)的测量值b(t)与给定r(t)之差为系统误差e(t)，即,或,r(t)作用时的误差传函，取n (t)=0,n(t)作用时的误差传函，取r(t)=0,系统的总误差， E(s)= Ge(s)R(s)+ Gen(s)N(s),6）. 闭环特征方程,令闭环传递函数的分母多项式等于0，该方程为系统的闭环特征方程，即 D(s)=1+G1(s)G2(s)H(s)=0,线性系统稳

11、定的充分必要条件： 系统特征方程式的根全部具有负实部。或说闭环传递函数的极点全部具有负实部（位于左半s平面）。,3系统稳定性判据-劳斯判据,35,(1) 系统稳定性的初步判别 设系统的闭环特征方程为 式中所有系数均为实数，且a00，则系统稳定的必要条件是上述特征方程的所有系数均为正数，即ai0 (i=0,1,2, n)。,(2) 劳斯稳定判据 1) 要求a00。 2) 稳定的充分条件：劳斯阵列中第一列所有项0 。,自动控制原理,36,一直计算到最后一行算完为止。然后判断阵列中第一列系数的符号，若全部大于0,则系统稳定；否则，第一列系数符号改变的次数，就为特征方程在右半s平面根的个数。,构造劳斯

12、阵列表,37,例 系统特征方程式为,试用劳斯判据判别系统的稳定性。,解：由系统特征方程所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件 ,列表得,劳斯阵列第一列没改变符号，所以系统稳定。,s4 1 24 15 s3 8 32 0 s2 s1 s0,事实上，上式可化简为特征根为-1，-3，-2+j，都具有负的实部,系统稳定。,20 15,26 0,15,38,例 已知系统特征方程式为 试用劳斯判据判别系统的稳定性。,解：由系统特征方程,满足必要条件,列表得,s5 1 2 5 s4 3 1 6 s3 5 9 （各系数均已乘3) s2 -11 15 （各系数均已乘5/2） s1 174 （各系数均已乘11

13、）,劳斯阵列表第一列有负数，所以系统是不稳定的。由于第一列数的符号改变了两次(511174），所以，系统特征方程有两个正实根。,39,劳斯判据的两种特殊情况：,1）、某一行第一个元素为零，而其余各元素均不为零、或部分不为零； 2）、某一行所有元素均为零。,自动控制原理,40,1）、某一行第一个元素为零,试用劳斯判据判别系统的稳定性。,例：已知系统特征方程,0,1,1,第一列系数符号改变两次，系统有两个右根，所以，系统不稳定。,2）、某一行所有元素均为零,若劳斯表中某一行数值均为零说明该方程存在虚轴上的共轭复根。 劳斯表运算方法参见自动控制原理。,4控制系统的稳态误差,在稳定的基础上，不仅要求系

14、统具有较快的动态响应速度，还应具有令人满意的稳态控制精度。稳态误差是系统控制精度的度量，它体现了系统进入稳态时，实际输出与希望输出之间的偏差。,定义在输入端的误差：,稳态误差的概念,43,误差时域表达式为e(t) = r(t)b(t)，令t 时，得 稳态误差 或 稳态误差ess可以用求s0 时sE(s)的极限替代，通常E(s) 的解析表达式比e(t) 的解析表达式更容易得到。,稳态误差的计算,误差的拉普拉斯变换为 其中，Gk(s)=G1(s)G2(s)H(s) 系统误差不仅与系统的结构、参数有关，还决定于输入 信号的形式及作用点。在参考输入和扰动输入共同作用下， 系统的误差包括参考输入引起的误

15、差和扰动输入引起的误差。,例：已知控制系统如图所示，,其中控制器为比例积分控制器，被控对象为一阶惯性系统，即：,求：）系统闭环传递函数；）判断使闭环稳定的参数关系；）系统的稳态误差。,解：,）,）,闭环特征方程为：,劳斯表,）,被控对象的特性，就是当被控对象的输入变量发生变化时，其输出变量随时间的变化规律(包括变化的大小、速度等)。对一个被控对象来说，其输出变量就是控制系统的被控变量，而其输入变量则是控制系统的操纵变量和干扰作用。被控对象输入变量与输出变量之间的联系称为通道；操纵变量与被控变量之间的联系称为控制通道；干扰作用与被控变量之间的联系称为干扰通道。通常所讲的对象特性是指控制通道的对象特性。,2.1 被控对象的特性,对于水箱液位对象,在静态条件下，单位时间流入对象的物料（或能量）等于从系统中流出的物料（或能量）；在动态条件下，单位时间流入对象的物料（或能量）与单位时间从系统中流出的物料（或能量）之差等于系统内物料（或能量）贮存量的变化率。被控对象的数学描述就是由这两种关系推导出的微分方程式。,2.1.1 被控对象的数学描述,（1） 单容液位对象 有自衡特性的单容对象 图21所示为一个简单的水槽液位被控对象，输出变量为液位H，水槽的流入量 qV1 由管路上的阀 1 来调节，水槽的流出量 qV2