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1、材料力学,第三章 扭转,材料力学,第三章 扭转,3-2 扭转时的内力,3-3 薄壁圆筒的扭转,3-4 圆轴扭转时的应力和变形,3-5 圆轴扭转时的强度和刚度计算,3-1 工程实际中的扭转问题,31 工程实际中的扭转问题,第三章 扭转,31 工程实际中的扭转问题,以扭转为主要变形的工程构件有：传动轴、钻杆等。,一、工程中的扭转问题,汽车转向轴、机械传动轴、丝锥等,31 工程实际中的扭转问题,一、工程中的扭转问题,任意两截面绕轴线相对转动的角位移。,外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。,31 工程实际中的扭转问题,二、扭转变形,外力特点：,变形特点：,各横截
2、面绕轴线发生相对转动。,扭转角（）：,剪应变（）：,直角的改变量。,箱式截面梁的扭转,31 工程实际中的扭转问题,三、非圆截面杆的扭转,32 扭转时的内力,第三章 扭转,32 扭转时的内力,一、传动轴的外力偶矩,其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（rpm）,其中：P 功率，马力（PS） n 转速，转/分（rpm）,3 扭矩的符号规定：,二、扭矩及扭矩图,右手螺旋法则：,与外法线方向一直为正 与外法线方向相反为负,32 扭转时的内力,构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T ”。,1 扭矩：,2 截面法求扭矩,扭矩沿杆件轴线变化规律的图线。,目 的,32 扭转时的内力,4 扭矩图,已
3、知：一传动轴，n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。,解：（1）计算外力偶矩,32 扭转时的内力,例题1,检查轴在外力偶的作用下是否平衡。,解：（2）求扭矩（扭矩按正方向设）,32 扭转时的内力,1-1 截面,2-2 截面,3-3 截面,BC 段为危险截面:,9.6,32 扭转时的内力,解：（3）绘制扭矩图,第三章 扭转,33 薄壁圆筒的扭转,一、薄壁圆筒的扭转实验：,1.实验前：,1) 绘纵向线，圆周线； 2) 施加一对外力偶 m。,33 薄壁圆筒的扭转,2.实验后：,1) 圆周线不变； 2) 纵
4、向线变成斜直线。,1) 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未 改变，只是绕轴线作了相对转动。 2) 各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 3) 所有矩形网格均变成同样大小的平行四边形。,3.结论：,33 薄壁圆筒的扭转,4) 与 的关系,一、薄壁圆筒的扭转实验：,1) 在小变形下，沿杆的轴线方向无变形，即无正应力； 2) 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。,根据实验现象分析：,33 薄壁圆筒的扭转,二、理论分析,三、薄壁圆筒横截面上的切应力,A0：平均半径所作圆的面积。,33 薄壁圆筒的扭转,截面上的应力等于内力扭矩,静力学关系：
5、,单元体 边长为微量的正六面体,33 薄壁圆筒的扭转,四、切应力互等定理,截取abcd 正六面体，,纯剪切应力状态:,单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。,该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。,33 薄壁圆筒的扭转,四、切应力互等定理,剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（ p )，剪应力与剪应变成正比关系。,33 薄壁圆筒的扭转,五、剪切胡克定律,式中：G 是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量,剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质
6、的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：,33 薄壁圆筒的扭转,五、剪切胡克定律,拉压胡克定律：,第三章 扭转,34 圆轴扭转时的应力和变形,等直圆杆横截面应力,变形几何关系 物理关系 静力学关系,34 圆轴扭转时的应力和变形,分析应力的方法：,1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行线。,一、等直圆杆扭转实验观察：,34 圆轴扭转时的应力和变形,1、在dx长度上，圆柱的两端面相对转过角度d 2、若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱 3、半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，半径 越小者剪应变越小。,34 圆轴扭
7、转时的应力和变形,二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：,二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：,1. 变形几何关系：,距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。, 扭转角沿轴线方向变化率。,34 圆轴扭转时的应力和变形,T,2. 物理关系：,虎克定律：,34 圆轴扭转时的应力和变形,代入上式得：,二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：,1. 变形几何关系：,3. 静力学关系：,令,代入物理关系式得：,34 圆轴扭转时的应力和变形,极惯性矩,1） 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。,式中： T 横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。 Ip 极惯性矩，与截面形状
8、和尺寸有关的量。,34 圆轴扭转时的应力和变形,4. 公式的讨论：,圆轴扭转时横截面上任意点的切应力公式：,2） 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是极惯性矩Ip值不同。,D,d,O,34 圆轴扭转时的应力和变形,4. 公式的讨论：,O,d,34 圆轴扭转时的应力和变形,4. 公式的讨论：,3） 应力分布,实心截面,空心截面,34 圆轴扭转时的应力和变形,4. 公式的讨论：,由公式,三. 等直圆杆在扭转时的变形,34 圆轴扭转时的应力和变形,当长为 一段杆两截面间相对扭转角 为,式中：,内力扭矩（可以是x 的函数）,极惯性矩（可以是x 的函数）,剪切弹性模量,1、相对扭转角,
9、由公式,三. 等直圆杆在扭转时的变形,34 圆轴扭转时的应力和变形,式中：,截面上的扭矩,极惯性矩,剪切弹性模量,考虑圆轴的特点，在一定长 度上，扭矩、直径是常量：,当圆轴是阶梯轴时：,2、单位长度上的扭转角 ：,或,GIp 反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。,34 圆轴扭转时的应力和变形,三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力,?,为什么脆性材料扭转时沿45螺旋面断开？,低碳钢,铸 铁,四、等直圆杆扭转时斜截面上的应力,低碳钢试件： 沿横截面断开。,铸铁试件： 沿与轴线约成45的螺旋线断开。,因此还需要研究斜截面上的应力。,1. 点M的应力单元体如图(b)：,(a),(b),t,t
10、,(c),2. 斜截面上的应力； 取分离体如图(d)：,(d),(d),n,t,转角规定： 轴正向转至截面外法线,逆时针：为“+” 顺时针：为“”,由平衡方程：,解得：,分析：,当 = 0时，,当 = 45时，,当 = 45时，,当 = 90时，,t,由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角 = 45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。,第三章 扭转,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,当,令：,一.强度条件：,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,横截面上最大切应力公式,式中：,横截面上的扭矩,极惯性矩,35 圆轴扭转时的强度和刚
11、度计算,一.强度条件：,强度条件：,对于等截面圆轴：,强度计算三方面：, 校核强度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,二、刚度条件,或, 称为许用单位扭转角。,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500马力，输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G = 80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ；若全轴选同一直径，应为多少；主动轮与从动轮如何安排合理？,解：1)扭矩如图,T,x,7.024, 4.21,(k
12、Nm),35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,例1,由强度条件得：,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,解：2)强度条件,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,解：3) 刚度条件,综上：,全轴选同一直径时, 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。,T,x, 4.21,(kNm),2.814,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,解：4) 安排各轮,已知：P7.5kW, n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。,例题2,求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直 径D2
13、；确定二轴的重量之比。,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,解：1）计算外力偶矩,2）计算实心轴直径,解得,d20.5D2=23 mm,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,解：3）计算空心轴直径,空心轴,D246 mm,d223 mm,实心轴,d1=45 mm,长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,解：4）计算两轴的重量比,实心截面轴的重量是空心截面轴的重量1.28倍。,已知：B轮输入功率P114kW, AB轴的转速n1= 120 r/min,功率的一半通过齿轮传给C轴，另一半由H轴传出，z1=36, z3=12;d1=70mm,d2 =50mm,
14、d3 =35mm。 求: 各轴横截面上的最大切应力。,例题3,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,解：1) 计算外力偶矩,P1=14kW , P2= P3= P1/2=7 kW,n1=n2= 120r/min,已知：B轮输入功率P114kW, AB轴的转速n1= 120 r/min,功率的一半通过齿轮传给C轴，另一半由H轴传出，z1=36, z3=12;d1=70mm,d2 =50mm,d3 =35mm。 求: 各轴横截面上的最大切应力。,例题3,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,解：1) 计算外力偶矩,P1=14kW , P2= P3= P1/2=7 kW,n1=n2= 120r/min,解：
15、2）计算各轴的横截面上的最大切应力,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,例4 传动轴M1=1kNm，M2=0.7kNm，M3=0.3kNm，l1= l2=1.5m，d =50mm， G=80GPa，试求C截面相对A截面的扭转角？,解：1）扭矩,T,x,0.7,0.3,(kNm),35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,根据外力偶矩与扭矩的关系，可以直接作图。,例4 传动轴M1=1kNm，M2=0.7kNm，M3=0.3kNm，l1= l2=1.5m，d =50mm， G=80GPa，试求C截面相对A截面的扭转角？,解：2）相对扭转角,T,x,0.7,0.3,(kNm),35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,例4 传动轴M1=1kNm，M2=0.7kNm，M3=0.3kNm，l1= l2=1.5m，d =50mm， G=80GPa，试求C截面相对A截面的扭转角？,解：2）相对扭转角,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,相对扭转角,35 圆轴
