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1、,第四节,基本积分法 : 直接积分法 ;,换元积分法 ;,分部积分法,初等函数,初等函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容:,第五章,一、 有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式 + 真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 将下列真分式分解为部分分式 :,解:,(1) 用拼凑法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 用赋值法,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 混合法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
2、原式 =,四种典型部分分式的积分:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,变分子为,再分项积分,例2. 求,解: 已知,例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求,解: 原式,思考: 如何求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示:,变形方法同例3,并利用 第三节例9 .,例4. 求,解: 首先将分母分解因式:,比较上式两端同次项系数得,分项积分得:,例5. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,例6. 求,解: 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 求
3、,解: 作代换 t = x5 + 1 ,则 dt = 5x4 dx .于是,常规 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 求,解: 原式,(公式21),注意本题技巧,按常规方法较繁,按常规方法解:,第一步 令,比较系数定 a , b , c , d . 得,第二步 化为部分分式 . 即令,比较系数定 A , B , C , D .,第三步 分项积分 .,此解法较繁 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二 、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式 ,令,万能代换,t 的有理函数的积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 三角函数有理式的积分,则,例9. 求,解: 令,则,机动
4、目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10. 求,解:,说明: 通常求含,的积分时,(即R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx),往往更方便 .,的有理式,用代换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11. 求,解法 1,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11. 求,解法 2,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12. 求,解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13. 求,解: 但被积函数含有sinAx cos Bx 时，用“积化和差”,首先变换 f (x):,2.
5、 简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,例14. 求,解: 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例15. 求,解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的,最小公倍数 6 ,则有,原式,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例16. 求,解: 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,简便 ,思考与练习,如何求下列积分更简便 ?,解: 1.,2. 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1.,求不定积分,解：,令,则, 故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分母次数较高, 宜使用倒代换.,2.求不定积分,解：,原式 =,前式令,; 后式配元,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
