《高中数学2014一轮复习课件 第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学2014一轮复习课件 第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性（65页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、函数的奇偶性,任意一个,f(x)f(x),任意一个,f(x)f(x),y轴,原点,1奇(偶)函数的定义域有何特点？ 提示：若函数f(x)具有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点对称反之，若函数的定义域不关于原点对称，则该函数无奇偶性,二、奇偶函数的性质 1奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相同”、“相反”) 2在相同的定义域内 (1)两个奇函数的和是 ，两个奇函数的积是 (2)两个偶函数的和、积是 (3)一个奇函数，一个偶函数的积是 3若f(x)是奇函数且在x0处有定义，则f(0)0. 4若f(x)是偶函数，则有f(x)f(x)f(|x|),
2、相同,相反,奇函数,偶函数,偶函数,奇函数,2若f(x)是偶函数且在x0处有定义，是否有f(0)0? 提示：不一定，如f(x)x21，而f(0)1.,三、周期性 1周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT) ，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 2最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 的正数，那么这个 正数就叫做f(x)的最小正周期,f(x),存在,一个最小,最小,3对称性与周期性的关系 (1)若函数f(x)关于直线xa和直线xb对称，则函数f(x)必为周期函数，2|ab|是它的一个周期； (2)若函数f(x
3、)关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|ab|是它的一个周期； (3)若函数f(x)关于点(a,0)和直线xb对称，则函数f(x)必为周期函数，4|ab|是它的一个周期,3一个函数若具有周期性，其周期唯一吗？ 提示：若T为函数yf(x)的周期，则kT(k0)也为函数的周期，故周期不唯一,1设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) Af(x)|g(x)|是偶函数 Bf(x)|g(x)|是奇函数 C|f(x)|g(x)是偶函数 D|f(x)|g(x)是奇函数,解析：函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数， f(x)f(x
4、)，g(x)g(x) 令F(x)f(x)|g(x)|， F(x)f(x)|g(x)| f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|F(x) 故F(x)为偶函数，即f(x)|g(x)|是偶函数 答案：A,2若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的取值范围是( ) A(，2) B(2，) C(，2)(2，) D(2,2),解析：f(x)是偶函数且在(，0上是减函数，且f(2)f(2)0，可画示意图如图所示，由图知f(x)0的解集为(2,2) 答案：D,3(2013长沙模拟)函数f(x)的定义域为R，且满足：f(x)是偶函数，f(x1)是奇函数若f(0.5
5、)9，则f(8.5)等于( ) A9 B9 C3 D0 解析：f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，f(2x)f(x)f(x)，则f(4x)f(x2)f(x)，即4是函数f(x)的一个周期，f(8.5)f(0.5)9，故应选B. 答案：B,5设f(x)是(，)上的奇函数，且f(x2)f(x)，下面关于f(x)的判定，其中所有正确命题的序号为_ f(4)0； f(x)是以4为周期的函数； f(x)的图象关于x1对称； f(x)的图象关于x2对称,解析：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)， f(x)的周期为4，f(4)f(0)0. 又f(x2)f(x)f(x)， f(x)的图象关于
6、x1对称 综上正确 答案：,【考向探寻】 1运用函数奇偶性的定义判断 2运用函数图象判断 3抽象函数的奇偶性的判断，注意挖掘函数“原形”，常采用“赋值”等策略,(1)令xy0，得f(0)；然后令yx，判断f(x)与f(x)的关系即可 (2)首先判断函数的定义域，若可能具有奇偶性，则在定义域的条件下对函数式进行适当的化简；最后判断f(x)与f(x)间的关系(相等还是互为相反数),(1)解析：显然f(x)的定义域是R，关于原点对称 又函数f(x)对一切x、yR都有f(xy)f(x)f(y)， 令xy0，得f(0)2f(0)，f(0)0. 再令yx，得f(0)f(x)f(x)， f(x)f(x)，f
7、(x)为奇函数 答案：奇,【互动探究】 在本例(1)中增加条件“若x0时，f(x)x1，则 f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1) f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1) x2x1，x2x10， f(x2x1)0，f(x2)f(x1)， 函数f(x)为减函数,(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：,(2)分段函数奇偶性的判定步骤 分析其定义域是否关于原点对称； 对x的值进行分段讨论，寻求f(x)与f(x)在各段上的关系； 综合(2)在定义域内f(x)与f(x)的关系，从而判断f(x)的奇偶性 (3)抽象函数奇偶性判定的步骤 巧妙赋值，合理、灵活变形配凑； 找出f(x)与f(x
8、)的关系，得出结论,函数的奇偶性是函数在整个定义域内的性质，其定义中要求f(x)和f(x)必须同时存在，所以函数定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提.,【考向探寻】 1利用函数的奇偶性求函数的解析式 2利用函数的奇偶性求参数的值,(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，求当x0时，f(x)_. (3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，)上是减函数，若f(a)f(2)，求实数a的取值范围,(2)解析：当x0，则f(x)(x)22(x)x22x. 又f(x)为奇函数，f(x)f(x) 故f(x)f(x)(x22x)，因此当x0时，f(x)x22x.
9、答案：x22x,(3)解：f(x)是定义在R上的偶函数， f(|a|)f(a)，则f(a)f(2)f(|a|)f(2)，又f(x)在0，)上是减函数，f(|a|)f(2)|a|2，解得2a2.,根据奇偶性讨论函数的单调区间是常用的方法奇函数在两个对称区间上的单调性相同；偶函数在两个对称区间上的单调性相反所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可,函数的奇偶性体现的是一种对称关系,【活学活用】 1(1)函数f(x)(a1)x2(a21)x1是偶函数，则a的值为_ 解析：由f(x)为偶函数得f(x)f(x)， 即(a1)x2(a21)x1(a1)x2(a21)x1. a2
10、10，a1. 答案：1,(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，若当x0时，f(x)log2(x1)，则f(3)_. 解析：f(3)f(3)log2(31)2. 答案：2,【考向探寻】 1求函数的周期； 2利用函数的周期性求值,【典例剖析】 (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x1)f(x)，则f(2 012)等于_ (2)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0，2时，f(x)2xx2. 求证：f(x)是周期函数； 当x2,4时，求f(x)的解析式； 计算f(0)f(1)f(2)f(2 013),(1)解析：f(x1)f(x)， f(x2)f(x1)
11、f(x) 函数f(x)的周期为2. f(2 012)f(0) 又f(x)为定义在R上的奇函数， f(0)0. 答案：0,(2)解：证明：f(x2)f(x)， f(x4)f(x2)f(x) f(x)是周期为4的周期函数 当x2,0时，x0,2，由已知得 f(x)2(x)(x)22xx2. 又f(x)是奇函数，f(x)f(x)2xx2， f(x)x22x，x2,0,又当x2,4时，x42,0， f(x4)(x4)22(x4) 又f(x)是周期为4的周期函数， f(x)f(x4) (x4)22(x4) x26x8. 从而求得x2,4时，f(x)x26x8.,f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3
12、)1. 又f(x)是周期为4的周期函数， f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7) f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0. f(0)f(1)f(2)f(2 013) 0f(2 012)f(2 013)f(0)f(1)1.,(2)如果T是函数yf(x)的周期，则kT(kZ，k0)也是函数yf(x)的周期，即f(xkT)f(x)；若已知区间m，n(mn)上的图象，则可画出区间mkT，nkT(kZ，k0)上的图象,函数的周期性通常通过函数的奇偶性得到,【活学活用】 2(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增
13、函数，则( ) Af(25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(25) Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)f(11) 解析：由函数f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是增函数可以推知，f(x)在2,2上递增，又f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(25)f(1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，f(80)f(0)，故f(25)f(80)f(11)故选D. 答案：D,(2)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(1x)f(1x)，则“f(x)为偶函数”是“2为函数f(x)的一个周期”的( ) A充分不必要条件 B必
14、要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件,解析：若f(x)是偶函数， 则f(x2)f(1(1x)f(1(1x) f(x)f(x)， 即f(x)的一个周期为2.若2是f(x)的一个周期， 则f(x)f(x2)f(1(1x) f(1(1x)f(x)， 即f(x)是偶函数，综上知“f(x)为偶函数”是“2为函数f(x)的一个周期”的充要条件 答案：C,(12分)函数f(x)的定义域Dx|x0，且满足对任意x1，x2D都有f(x1x2)f(x1)f(x2) (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明； (3)如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围,(1)令x1x21，有f(11)f(1)f(1)， 解得f(1)0.2分 (2)f(x)为偶函数，证明如下：4分 令x1x21，有f(1)(1)f(1)f(1)， 解得f(
