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1、山西省长治市第二中学2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试题 理【本试卷满分150分,考试时间为120分钟】第卷(选择题 60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1下列命题正确的是()A棱柱的侧面都是长方形B棱柱的所有面都是四边形C棱柱的侧棱不一定相等D一个棱柱至少有五个面2下列推理错误的是()ABCD3已知正四棱柱中,,为的中点,则异面直线和所成角的余弦值为( )ABCD 4已知的平面直观图是边长为的正三角形,那么原的面积为()ABC D5如果三点,在同一条直线上,则()ABCD6若是两条不同的直线,是三个不同的
2、平面:;若,则.则以上说法中正确的个数为()A BCD7已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上,且,则棱锥的体积为()AB C D 8圆台的两个底面面积之比为,母线与底面的夹角是,轴截面的面积为,则圆台的母线长()ABCD129已知平面平面,点,直线,直线,直线,则下列四种位置关系中,不一定成立的是() ABCD10某几何体的三视图如图所示(实线部分),若图中小正方形的边长均为1,则该几何体的体积是() ABCD11如图,在正三棱柱中,,,分别是棱,的中点,为棱上的动点,则的周长的最小值为() AB CD12如图,已知矩形中,,为边的中点,将沿直线翻折成,若是线段的中点,则在翻折过程中,下列命题
3、:线段的长是定值;存在某个位置,使; 点的运动轨迹是一个圆;存在某个位置,使得面正确的个数是()A B C D 第卷(非选择题 90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。13一个几何体的表面展开图如图,该几何体中与“数”字面相对的是“_”字面14九章算术卷5商功记载一个问题“今有圆堡壔(do),周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?”意思是:今有圆柱形土筑小城堡,底面周长为四丈八尺,高一丈一尺,则它的体积是_立方尺.(取,丈尺)15已知平面外两点到平面的距离分别是和,在平面内的射影之间的距离为,则线段的长度为_16在正三棱锥中,点是的中点,且,底面边长,则正三棱锥的外接球的表面积为
4、_三、解答题:本大题共6小题,共70分。 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17(10分)如图,是正方形,是正方形的中心,平面,是的中点。(1)求证:平面; (2)求证:平面平面。 18(12分)如图,三棱锥中,底面是边长为的正三角形,面 面。(1)求证:;(2)求三棱锥的体积19(12分)如图,长方体中,点分别在上,.过点的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值。20(12分)如图,在四棱锥中,底面,是的中点(1)求和平面所成的角的大小;(2)求二面角的正弦值 21(12分)如图,在正方
5、体中,分别是的中点。(1)求异面直线与所成角的余弦值;(2)棱上是否存在点,使得 平面?请证明你的结论。22(12分)如图,在四棱锥中,是边长为2的菱形,且,分别为的中点。(1)证明:平面;(2)若二面角的大小是,求点到平面的距离。20192020学年第一学期高二第一次月考数学答案(理科)15DCBCA 610 BADBA 1112 DB13.学 14. 2112 15. 16.12 17 (1)证明连接OE,如图所示O、E分别为AC、PC的中点,OEPA.OE面BDE,PA面BDE,PA面BDE.5分(2)证明PO面ABCD,POBD.在正方形ABCD中,BDAC,又POACO,BD面PAC
6、.又BD面BDE,面PAC面BDE.10分18. (1) 取AC的中点D,连接PD,BD. 在中,PA=PC, ,在中,BA=BC,又,.6分 ,,由(1)知,, 在中, BA=BC=4, ,又,在中, PA=PC,易知, ,= .12分19.(1)交线围成的正方形EFGH如图所示:.6分.(2)作,垂足为M,则,因为EFGH是正方形,所以EH=EF=BC=10,于是 故,.,因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为(或者 ).12分20. (1)解在四棱锥PABCD中,因为PA底面ABCD,AB平面ABCD,故PAAB.又ABAD,PAADA,从而AB平面PAD,故PB在
7、平面PAD内的射影为PA,从而APB为PB和平面PAD所成的角在RtPAB中,ABPA,故APB45.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45. .4分(2)证明在四棱锥PABCD中,因为PA底面ABCD,CD平面ABCD,故CDPA.由条件CDAC,PAACA,CD平面PAC.又AE平面PAC,AECD.由PAABBC,ABC60,可得ACPA.E是PC的中点,AEPC.又PCCDC,综上得AE平面PCD. .8分过点E作EMPD,垂足为M,连接AM,如图所示由(2)知,AE平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AMPD.因此AME是二面角APDC的平面角由已知,可得CAD30
8、.设ACa,可得PAa,ADa,PDa,AEa.在RtADP中,AMPD,AMPDPAAD,则AMa.在RtAEM中,sinAME.所以二面角APDC的正弦值为.12分21.解:(1).连接BD,因为E,G分别为AB,AD的中点,所以,又因为,所以为异面直线EG与所成角,在中,因为,所以.4分(2).在棱CD 上取点T,使得DT=DC,则 平面,.5分证明如下:延长BC,交于H,连EH交DC于K,因为 ,F为的中点,所以C为BH中点。因为,所以,且KC=,因为DT=DC,E为AB中点,所以TK/AE且TK=AE,即四边形AEKT为平行四边形,所以AT/EK,即AT/EH,又,所以 平面.12分22、(1)取BC的中点G,连接GD,GP,BD,在中,BC=CD, ,所以为正三角形,又因为G是BC中点, ,因为 ,所以,又,故,因为E,F分别为AD,PA的中点,所以,又,所以平面 ,又,故 .4分(2)因为,所以.则为二面角PADB的平面角,即,因为PD=4,所以EF=2,因为AB=2AE=2,且,所以 ,BF=1,且,因为,所以,所以,所以三棱锥PBCD的高为2.于是三棱锥PBCD的体积, .6分在中,BF=1,AB=2,所以,则在中, 所以,于是 的面积 设点D到平面PBC的距离为d,三棱锥PBCD的体积与三棱锥DPBC的体积相等。所以 ,故 .12分- 9 -