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1、第 3 章张量函数及其导数 研究的是空间中的一点张量与另一个空间中的另一点张量间关系， 不涉及各个张量随空间点位（坐标）的变化，也不涉及同一个坐标 中基矢量随空间点位的变化。 3.1 张量函数、各向同性函数的定义 1 12 12 12 2 012 012 12 , , ( ) ( ) ( ) (1) N n n N N mmiiimi jjmjNmmj fcccc HccTc T Tc T TT fuu =+ =+ =+ HT TT HT TT HTGTTT T u ? ? ? ? 张量取决于另一些张量而变化， 或者的分量是 分量的函数。 举例 矢量的标量函数： 如： 3.1.1 张量函数 2
2、1 ( ) 2 ( , ) f f = = vv f vf v 1 1 2 (2) (3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ikT kj k fT fT T f = = = = = uf uu uF vK v T TT T 矢量的矢量函数： 张量的标量函数： 123 123 1 2 0 (4)( ): , ( )2 ( ) ( )( i i ijijklkl C g a g =+ = =+ = = F C F G HF TT HF T 张量的张量函数： 1 )()() ( , ): TTTn iini Ga gag TT + =+ TT F EC B EA ? ()() 1212 ()
3、() 1212 ()() ( )(,) ( )(,)cossinsincos RR RR ffu uuu ffuuuu =+ =+ u u 张量的分量一般是随坐标转换而变化的，同一个函数在不同坐标系中 可能有不同的形式。例如： 3.1.2 各向同性张量函数 11 : ()( = = = , T T nn f f XXf XX XX XX XX = = = = uuQ uu Q TTQ T Q ? ? ? ? ? ? ? ? 旋转定义：为标量，则 为矢量，则 为矢量，则 各向同性函数 自变量旋转后，函数作相应的旋转，使其之间的对应关系不变， 即函数 的表达形式不变。函数关系表达不依赖坐标系。 1
4、23 123 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ):( )2 ( ) i i ikT kj n f fT T fk =+ = = = =+ = TT T uvv uF vK v F C F G HF TT 例如： 3.2 矢量的标量函数 112 Cauchy Cauchy( ) () ( ,) 1 ij mm f f f f = vv vv v vvv vv?基本定理：矢量的标量函数为各向同性的 必要充分条件为 可表为内积 的函数。 基本定理特例：矢量 的标量函数 为各向同性的 必要充分条件为 。 , ,， 定理 ： 3.3 二阶张量的标量函数 123 ( )() () ()(,
5、) ( ) (,) ij NNN ij kl ff T f ff ggg f f Tg = = = = = T NN N TT T ： 定量2：二阶张量 的标量函数 为各向同性的必要且充分条件 为 是仅由 及度量张量的分量决定： 推 论为各向同性的必要且充分条件为在正交标准化基中 定量3：对称张量 的标量函数 为各向同性的必要且充分条件为 3.4 二阶张量的二阶张量函数 ()()() 1212 2 01 01 2 111 ( ) 1!2! ( ) ( ) n n ni TTT jjnj e n aaaa agagag eee eee + =+ =+ =+ = T TTT TTTT TGTTT
6、HTGTT HTGTT ? ? ? 指数函数定义： 解析函数定义：均为常数。(各向同性的) 推广： 3.4.1 二阶张量的解析函数 ， ( ) 323 123 ( ) (2 ) HamiltonCayley n ii TTT ggg = =+= TgHTg TTTTG0TT 也各向同性张量函数 性质：二阶 在某组基 下能化为对角标准型，则在 下也能 化为对角标准型 可以由 的 次多项式表示 3.4.2 等式 22 012012 ( )() () 1) 2) 3) ( )()()()()()() ij j NNN jjjjjj f fkgk gkghhh = =+=+ HTHT HT HTGTT
7、GTT 为同时化为对角标准形函数，且 的特征根为 的特征根 的函数，则可以化为二次多项式： 将张量函数最终化为张量的二次多项式 对角标准形不一定正交； 是 的各向同性函数； 对称，也对称；反对称，不一定反对称 3.4.3 同时化为对角标准型的函数 2 012 () ()()()() 12 NNN jjj f fkgk gkg = =+ NHN HNGNN 定理：对称张量 的对称张量函数 为各向同性的 例 ：各向同性线弹性材料仅有 个独立的弹性常数 3.4.4 对称张量的对称张量函数 3.5 张量场函数对矢径的导数、梯度 3.5.1 有限微分、导数、微分 方向导数（有限微分）的定义 有限微分：T
8、(r ;u) 定义在空间质点上的张量（每一个分量）沿给定方 向变化率（分量个数同T(r)，故与 T(r) 同阶） 导数： T(r) 定义在空间质点上的张量（每一个分量）沿 3 个坐标轴方 向变化率集合（分量个数为 3 倍T(r)的分量个数，故比T(r)高1阶 ） ( )( )( )( )( )( ) ijkl klij T=T rr g r grgr g r ? ii? ? 0 1 ( ; )lim()( )( ) d ( )( () ( ) d h l i i h h x x =+= = T r uT ruT rT ru T rT r T rg r 基矢量方向的有限微分 T(r)（所有分量）
9、对坐标xi方向的 梯度（ xi方向有限微分） 0 0 1 ( ;)lim()( ) ( )1 lim( ()( () ii h l lll i i h h h x xhx xh =+ =+ T r gT rgT r T T rT r 3.5 张量函数导数的定义 0 0 1 (x)lim()( ) , ()( )(x)( ) 1 1 (x;z)lim()( ) , ( ; )(x) , ( ;1)(x) h xxxxo xhzxx zzx h =+=+ = =+= FFFFFF F FFFFFFF 自变量为标量时： 普通导数： 曲线的斜率（自变量增加单位 时，函数增量的主要部分） 单位原函数 的
10、单位/自变量的单位 有限微分： 自变量增 3.5.1 有限微分、导数、微分 0 1 ( ; )lim()( )h h = =+ F F v uF vuF v 加有限小量时，函数增量的主要部分（曲线的斜率 坐标增量） 单位原函数 的单位 自变量为矢量时： 普通导数：无定义 有限微分： ( ; ) d( ) ( )( ; )( ) d ( )( ( ; )( )( ) ( ;)( ; )( ; ) ( ; )( ;)( ; ) ii ii uu = +=+ = uF v uu F v F vF v uF vu v F vF F v uF vF v F vutF v uF v t F v uF vg
11、F v g 1) 的分量个数同 分量个数（与同阶） 2) 3) 是 分量的线性组合，可视为由 通过线性变换得到，由商法则， 这个线性变换是二阶张量，记为： 为 0 ) : ( ) 1 ( ;)lim()( )( )( ) ( ;)( ) ( ;) ( ;)( ;)( ;) h ijij ijij nm ho h h CC =+=+ = v T AAT T A CT ACT AT AC T A CT A T A CC T A CT Ag gT A g g ? ? 每个分量在三个坐标方向上梯度的集合（分量个数 3，高一阶） 自变量为张量时 设：，阶张量；阶张量。 定义有限微分： 1) 与同阶 2)
12、 为增量 的分量的线性组合 ( ;)( ;)( ;)+=+T A CDT A CT A D ( ;) ( )( ;)( ; )( ) ( )( ) ( )( ), ( )( ( ;)( ) ij n n d d mn mnp = = = = T A CC T T AT A g gT A IT A A T AT A H TG F TTFH G H TG F T A CT AC ? 所以可以用 通过线性变换（映射）得到： 定义张量导数：或： 为每个分量在三个坐标方向上梯度的集合（分量个数 3 ，阶） 阶，阶， （ ）-阶 3.5.2 张量函数导数的链规则 )( ) ( ) () ( ) ( )(
13、)( ) ( ,)( )( ;)( ;)( ) ( )( )( ):d( ):d( ) d n pmpnmn + = =+ =+ F T H TG FF T H TU TV T H T CU TV T CU T CV T H TU TV TTU TTV T ，其中 阶，阶，阶 3.5.3 张量函数乘积的导数 3.5 自变量为矢量的函数导数 ( ) ( ) 00 1 2 ( ; )( )( ) ( )() 1 lim()() 1 ( ;)lim()( ) ( ) l i k lll k h kk h l k dfdf fdfdd dd fff v f vhf v h ffhf h df v dv
14、 = = +=+= = v ufvuufvvvf vv gvv g v gvgv ，矢量 常基矢（ 是常量）， 仅是 的分量的函数 ： 自变量沿坐基矢量 方向变化 （是标量） 3.6.1 标量函数 ( ) ( )() ( ; )( ;)( ;) ( )( ) 3( ) l kkk kki ki i i fdf v ffuu fu vdv fdf ff vd = = u v v uvgv ggu vv gv v 自变量沿任意矢量 方向变化 定义梯度 （是矢量） = = ( ) 00 1 ( ; )( )( ) ( )() 11 ( ;)lim()( )lim()( ) ( l i k illil kkki hh i dd dddd dd fff v hF vhF v hh F v = = =+=+ = FF F v uF vuuFF vvvF vv gvv g F v gF vgF vg ，是二阶张量 常基矢（ 是常量）， 仅是 的分量的函数 ： 自变量沿坐基矢量 方向变化 3.6.2 矢量函数 ( ) ( ) 00 2 3 ( )( ) ( ) ) 1 ( ; )lim()( )lim()( ) ( ) ( ;)( ) i jj i jj l i k k killil kki hh il kk ki k F vv v u
