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1、第五章 刚体的转动,5-1 刚体的平动、转动和定轴转动,5-2 力矩 转动定律 转动惯量,5-3 刚体定轴转动动能 力矩的功,5-4 绕定轴转动的刚体的角动量 和角动量守恒定律,一、刚体,在外力作用下任意两点间的距离保持不变,5-1 刚体的平动、转动和定轴转动,在外力作用下形状和大小都不变化的物体,形状和大小改变不显著，可视为刚体,形状改变，不能视为刚体,形状大小不变可视为刚体,刚体是一种理想模型,刚体,有许多物体在外力不甚大时，,二、刚体的平动和转动,平动,刚体作平动,质心运动轨迹,整个刚体可当作质点来处理，满足牛顿定律,其中各点的速度、加速度相等，运动轨迹相同,刚体运动时，其中任一直线的方
2、位始终保持不变,转动,放大,起重吊车,刚体中所有质点都绕着一直线作圆周运动,刚体的一般运动,平动和转动（转轴位置变）,转轴平动,绕轴转动,转轴,可以当作由一平动和一绕瞬时轴的转动组合而成,三、定轴转动,特点 刚体中任一点都在垂直于轴的平面内,转轴,转轴,转轴,转轴固定的转动,同一时刻，各质点的角速度和角加速度相等,在同一时间间隔内，各质点的角位移相等,作半径不同的圆周运动,刚体中各质点的速度和加速度，因其位置和到转轴的距离不同而不同,P,转轴,r,匀角速运动有,匀角加速运动有关系式,描写刚体绕定轴转动的物理量：,角位移 ，,角速度 ，,角加速度 。,线量与角量的关系为,例题5-1 飞轮转速为1
3、800r/min，因制动而均匀,飞轮均匀减速，为匀变速转动，角加速度为,解 (1) 设 为初角速度，由题意得,10s时飞轮边缘点的线速度和切向与法向加速度。,10s时飞轮的角速度；(3)设飞轮半径为0.5m，求在t =,始到停止转动飞轮转过的转数；(2)求制动开始后t =,地减速，经20s停止转动。(1)求角加速度和从制动开,从开始制动到停止转动飞轮的角位移q 及转数N 分,（2）t = 10s 时飞轮的角速度为,相应的切向加速度及法向加速度为,（3）t = 10s 时，飞轮边缘上一点的线速度为,别为,一、力对转轴的力矩,使物体转动的作用不仅与力的大小有关而且还,52 力矩 转动定律 转动惯量
4、,力的大小F 与力臂 d 的乘积,力臂,力矩,力的作用线与转轴的距离,与力的方向以及作用线和转轴的距离有关,力臂为,力臂为零，力矩等于零,1.力位于垂直于转轴的平面内,转轴,2.力不在垂直于转轴的平面内,转轴,将作用力分解为,垂直于转轴的平面,与转轴平行,与转轴垂直,两个分力,如果力的作用线通过转轴,一般规定：,使刚体沿反时针方向转动的力矩为正,使刚体沿顺时针方向转动的力矩为负,各个力对转轴的力矩的代数和,刚体内各质点间内力对转轴的合力矩为零。,与转轴垂直但通过转轴的力对转轴的力矩为零；,与转轴平行的力对转轴的力矩为零；,对于定轴转动的刚体：,刚体所受的合力矩,二、转动定律,刚体可看成由无数质
5、点组成,转轴,与转轴垂直的截面,外力,内力,质点Pi的切向运动为,两边乘以,对所有质点求和，得,每个质点绕定轴作半径不同的圆周运动,内力成对出现，内力产生的力矩和等于零，即,对一定的转轴，刚体的转动惯量表示为,得刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，,外力产生的力矩的代数和为,与刚体的转动惯量成反比，即,三、转动惯量,转动惯量是物体的转动惯性大小的量度,根据转动惯量的定义,决定刚体的转动惯量大小的因素为,刚体的总质量,刚体的质量分布,刚体的转轴的位置,转轴I,转轴II,总质量 m,反之，转动状态容易改变,转动惯量越大，欲改变其转动状态越困难,质点组成的系统的转动惯量,1. 转动惯量的计算,质
6、量连续分布的物体的转动惯量,线密度,转轴,线元,r,L,面密度,转轴,面元,r,S,体密度,r,转轴,体元,V,质量均匀分布的几种刚体的转动惯量,例题5-2 求质量为 m、长为 l 的均匀细棒对于,质量为,棒的质量线密度 ，代入上式得,解 在棒上取距轴OO为x、长为dx的一小段,根据转动惯量定义，棒对轴OO的转动惯量为,通过棒的中点而与棒垂直的轴的转动惯量。,例题5-3 求质量为 m、半径为 r 的匀质圆盘,解 在圆盘上取半径为 x，宽dx 的圆环,圆盘的质量面密度,代入上式得,对于通过圆心而垂直于圆平面的轴的转动惯量。,圆盘对通过圆心O而垂直圆平面的轴的转动惯量为,质量为,面积为,2. 转动
7、定律的应用,基本步骤：,隔离法选择研究对象；,质点受力分析和刚体受力矩分析；,对质点运用牛顿定律，对刚体运用转动定律；,建立角量与线量的关系，求解方程；,结果分析及讨论。,例题5-4 半径分别为R1、R2的阶梯形滑轮，转,解,假设,滑轮沿顺时针方向转动,对轻绳应有,受力分析,角加速度 a 及各绳中张力FT1、FT2。,为m1、m2的物体，忽略滑轮与轴间摩擦，求滑轮的,动惯量为 J ，其上反向绕有两根细绳，各悬挂质量,选取物体运动方向为坐标轴正向,滑轮边缘的切向加速度等于物体的加速度,解以上各式得,根据牛顿第二定律和转动定律可得,一、转动动能,5-3 刚体定轴转动动能 力矩的功,质量为 的质点动
8、能为,等于所有质点动能相加,转动惯量,转轴,刚体转动动能,二、力矩的功,垂直于转轴的平面,转轴,O,在外力 作用下,外力 在位移 中的功为,当刚体在力矩M作用下角位移为 时，力矩的功,如果力矩恒定不变,力的作用点位移 的大小为,角位移,根据转动定律，合外力矩为,在dt时间内刚体角位移为,则,当刚体角速度由 变为 时，合外力矩的功,合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量,例题5-5 质量为 m、长为 l 的均匀细杆可绕水,重力矩所作元功为,当杆沿升高方向有角位移d 时，,解,高度。,气阻力和轴上摩擦，求杆摆动时端点A 升高的最大,点时的速率为v0，杆的转动惯量为 ，忽略空,平光滑轴 O在竖
9、直平面内自由转动。端点A 过最低,当杆从平衡位置转到最大角位移m处，,因,平衡位置处,则得,重力矩所作总功为,，得,合外力的功等于转动动能的增量，得,转到最大角位移m处 ，,刚体对转轴的角动量为,5-4 绕定轴转动的刚体的角动量和角动量守恒定律,转轴,对转轴的角动量为,转动定律可写为,此式不但适用于绕定轴转动的刚体,刚体中质量为 的质点,也适用于绕定轴转动的任意物体和物体系,角动量守恒定律,当作用于转动物体的合外力矩 M = 0 时，得,角动量守恒定律,L = Jw = 常量,即当作用于转动物体的合外力矩为零时,J 减小w 增大,物体的角动量保持不变,系统的总角动量将保持不变,常量,合外力矩为零时有,自然界的普遍规律之一,对于物体系统,如果系统合外力矩为零时,角动量守恒定律是,例题5-6 水平放置的圆盘形转台质量为m，半,解 人和转台为一系统，系统未受外力矩作用，,常量,系统角动量守恒，则,1转动，当人走到台边后，求人与转台的角速度。,的人站在台上距转轴为R/2 处，人和转台以角速度,径为R ，可绕过中心的光滑竖直轴转动，质量为 m,即,
