第6章iir数字滤波器设计

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1、1,第6章 IIR数字滤波器的设计,6.1 引言 6.2 模拟滤波器的设计 6.3 脉冲响应不变法 6.4 双线性变换法 6.5 数字低通滤波器的设计 6.6*频率变换与数字高通、带通和带阻滤波器的设计,2,6.1 引言,滤波器，是指能够使输入信号中某些频率分量充分地衰减，同时保留那些需要的频率分量的一类系统。 根据对不同信号的处理，滤波器可分为： 模拟滤波器由硬件电路来实现；,数字滤波器把输入序列通过一定的运算变换成所要求的输出序列，实质上就是一个离散时间系统。,3,(1)IIR和FIR滤波器,线性时不变系统的系统函数 若上式中，除a0外，其余ak均为零，则 其z反变换, 长度为M+1的有限

2、长序列,6.1.1 滤波器的分类,4,此时的系统称为有限长单位脉冲响应（FIR，Finite Impulse Response）系统。 反之，h(n)是无限长序列，系统称为无限长单位脉冲响 应（IIR，Infinite Impulse Response）系统。,(2) 低通、高通、带通、带阻滤波器 从功能上，数字滤波器可分为低通（LP，Low Pass）、高通（HP，High Pass）、带通（BP，Band Pass） 和带阻（BS，Band Stop）四种类型。,5,6,AF DF,7,7,6.1.2 性能指标描述 滤波器的指标通常在频域给出。数字滤波器的频响一般 为复函数，表示为： 其中

3、， 称为幅频响应，表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况。 称为相频响应，反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。,通带（允许的）最大衰减,(1)低通滤波器的性能指标, 通带截止频率 阻带截止频率 通带 阻带,阻带（应达到的）最小衰减,均匀过渡,通带下限、上限截止频率 、 ； 阻带截止频率（ 、 ）； 通带频率处的衰减 和阻带频率处的衰减 。,13,(2)带通滤波器的性能指标,均匀过渡,用幅度衰减 所表示的数字低通滤波器的技术指标要求记为：,该频率处的幅度衰减：,是数字滤波器设计中的重要指标 ！,需要注意,数字高通、带通和带阻滤波器的技术指标要求与低通滤波器相似；,通带和阻带内的幅频响

4、应不一定是单调变化的，可以有波纹,16,6.1.3 设计方法,设计一个数字滤波器一般包括三个基本步骤： (1) 确定所设计滤波器的技术指标。 (2).设计一个H(z)，使 (3).用一个有限精度的算法去实现这个系统函数。,满足给定的技术要求,没有考虑相位,？,如何设计,零极点位置累试 利用模拟滤波器的理论 最优化设计,直接法和间接法,6.1.4 IIR数字滤波器设计方法,数字IIR滤波器设计的具体步骤：,给定数字滤波器的技术指标 （更多）,转换成模拟滤波器的技术指标 （更多）,转换成模拟低通滤波器的技术指标,得到模拟低通、高通、带通、带阻滤波器,得到数字低通、高通、带通、带阻滤波器,设计模拟低

5、通滤波器,？,？,？,？,？,归一化（原型）滤波器,21,第6章 IIR数字滤波器的设计,6.1 引言 6.2 模拟滤波器的设计 6.3 脉冲响应不变法 6.4 双线性变换法 6.5 数字低通滤波器的设计 6.6*频率变换与数字高通、带通和带阻滤波器的设计,22,6.2 模拟滤波器的设计,6.2.1 为何要设计模拟低通滤波器？ 由模拟滤波器设计数字滤波器，必须先将数字滤波器的 设计技术指标转换成模拟低通滤波器的设计指标，设计出模 拟低通滤波器的原型，然后进行映射（原型变换）。,模拟滤波器在理论上和设计方法上已经相当成熟，并且有一些典型类型可供选择 ;,23,（1）巴特沃斯（Butterwort

6、h）滤波器 通带具有最大平坦度，但从通带到阻带衰减较慢。,6.2.2 常用的模拟滤波器,主要特点：,在通带和阻带都有平坦的幅频响应；,且从通带中心向两边的幅频响应单调下降,当滤波器的阶次 N 较小时，阻带幅频响应的下降速度较慢，与理想特性相差较远；,巴特沃斯（Butterworth）滤波器,25,（2）切比雪夫（Chebyshev）滤波器,能迅速衰减，但通带或阻带有波纹。 （3）椭圆（Ellipse）滤波器 通带和阻带等波纹。,切比雪夫滤波器,主要特点：,阻带衰减特性较快 ；,在通带或阻带具有等波纹形状的幅频响应；,型滤波器的幅频响应在通带有波纹，而阻带单调下降, 型则在通带单调下降，在阻带有

7、波纹；,27,（4）贝塞尔（Bessel）滤波器,着重相频响应，通带内有较好的线性相位（滤波器对所有频率分量具有相同的时延，即：相同的群迟延）。,*群迟延频率特性就是相位频率特性对频率的导数。,29,模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数 来表 示，即 由于滤波器冲激响应 是实函数，因而 具有共轭 对称性 ，所以 由于Ha(s) 的零、极点共轭成对出现， Ha(s)Ha(-s)的零、极点必成象限对称。,6.2.3 由幅度平方函数来确定传输函数,30,由 确定Ha(s) 的方法,(1)由 得到象限对称的s 平面函数； (2)将 Ha(s)Ha(-s) 因式分解，得到各个零点和极点； 极点选择：为稳定

8、，选择左半平面的极点作为Ha(s)的 极点，右半平面作为Ha(-s)的极点； 零点选择：没有特殊要求，可将对称零点的任意一半 分配给Ha(s)；如果要求最小相位延时特性，则Ha(s)的零点 取左半平面。 (3)按照 与Ha(s)的低频特性的对比，或高频特性 的对比，确定出增益常数K0；,31,(4)由zeros、poles、K0 得,33,例6-1 给定滤波器的幅度平方函数 求具有最小相位特性的传输函数 。,34,解：由于 是非负有理函数，它在j轴上的零 点是偶次的，所以满足幅度平方函数的条件，将 代 入 的表达式，可得 其极点为 ， ；零点为 （皆为二阶，位于虚 轴上） 为了系统稳定，选择左

9、半平面极点s=2，s=3及一对虚 轴共轭零点s=j作为的零、极点，并设增益常数为K0，则,35,按照 和 的低频特性或高频特性的对比可以 确定增益常数。在这里我们采用低频特性，即由 的条件可得增益常数 ，因此,36,6.2.4 巴特沃斯低通滤波器,表达式 3dB处的截止频率 在=0处有最平响应。,巴特沃斯低通滤波器,其幅度平方函数为：,主要特点 ：, 当 ， ，无衰减；, 无论N如何变化，滤波器的幅频响应曲线在 处的衰减都是3dB；, 在 频率范围内，幅度 随频率的增大而单调衰减，而且阻带的衰减速度要比通带快 。,.幅度函数的特点,其幅度平方函数为：,可知， 没有零点，为全极点系统；,其极点为

10、：,在 s 平面上有2N个极点，是象限对称的，等间隔分布在半径为 的圆上（称为巴特沃斯圆)，间隔为/N rad。,.极点分布,.滤波器系统函数,.归一化系统函数,. 滤波器的设计步骤,56,6.2.5 巴特沃思滤波器的MATLAB实现,在MATLAB信号处理工具箱中，与Butterworth滤波器 相关的有三个函数： （1）n,wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs,s)，求出给定通带 截止频率wp、阻带截止频率ws、通带最大衰减Rp、阻带最 小衰减Rs条件下，所需要的最小Butterworth模拟滤波器阶 数n和3dB截止频率wn。 （2）模拟低通原型滤波器设计函数buttap，调用格

11、式 为z,p,k=buttap(n)，其中参数z、p、k分别为滤波器的零 点、极点和增益。,57,（3）Butterworth滤波器完全设计函数，调用格式为 b,a=butter(n,wn,ftype,s)，其中ftype为滤波器类型，缺省时表示低通或带通滤波器。b、a分别为滤波器传输函数 分子、分母多项式系数向量。 例6-3 利用MATLAB实现例6-2所述巴特沃斯滤波器。 解 MATLAB实现程序如下： wp=1; ws=2; Rp=3; Rs=20; %计算满足性能指标的滤波器阶数n和3dB截止频率wn n,wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs,s),58,%设计模拟低通原型滤波

12、器，传输函数为零点、极点和增益 形式 z,p,k=buttap(n) %采用另一种方法设计模拟低通滤波器，传输函数为分子、 分母多项式形式 b,a=butter(n,wn,s) %求模拟滤波器的频率响应 db,mag,pha,w=freqs_m(b,a,2*ws); %绘图 plot(w,db,k);axis(0,2*ws,-50,1);grid on;,59,仿真曲线,62,6.3脉冲响应不变法,6.3.1 变换原理 数字滤波器的单位脉冲响应h(n)模仿模拟滤波 器的冲激响应ha(t)，使h(n)等于ha(t)的采样值，即 h(n)ha(nT)。 设模拟滤波器的传输函数Ha(s)只有单阶极点

13、， 且分母的阶数高于分子阶数，则 其拉普拉斯反变换,63,对ha(t)采样，得到数字滤波器的单位脉冲响应 h(n)为 对h(n)取z变换，即得到数字滤波器的系统函数 可见，s平面的极点si映射到z平面的极点 ， 而对应系数不变。,64,例6-5 利用脉冲响应不变法将模拟滤波器 变换为数字滤波器 ，采样周期 。 解：模拟滤波器的传输函数 极点： ， 。 因此，所求数字滤波器的系统函数为,65,(1) h(n)的z变换与ha(t)的拉普拉斯变换之间的 关系 设模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)经理想采样 后的采样信号为 则,6.3.2 s平面与z平面的映射关系,比较序列h(n)的Z变换 ,可得,6

14、6,由于 ，将 代 入，得 因此,s与z的 关系,或,67,(2) 关于z=esT的讨论,令 ， 代入上式，得 因此 讨论： =0，r=1，表明s平面虚轴映射为z平面的单 位圆。,68,讨论：, 0，r1。表明s左半平面映射 为z平面的单位圆内部，而s右半平面则映射为z平 面单位圆外部。,69,讨论：,（3）由于=T ：0 /T ：0 ,s平面上每一条宽为2/T的横条，都将重叠的 映射到整个z平面上。脉冲响应不变法不是从s平面 到z平面的简单代数映射关系。,70,6.3.3 频率混叠效应,根据时域采样理论，采样序列h(n)的z变换与模 拟信号ha(t)的拉普拉斯变换之间满足如下关系 将 和 代

15、入，得数字滤波器的频率响应 数字滤波器的频响是模拟滤波器频响的周期延 拓。,71,图6-11 脉冲响应不变法中的频率混叠现象,72,只有当模拟滤波器的频响是带限的，且带限于 折叠频率以内，即 有 此时，数字滤波器的频率响应重现模拟滤波器 的频率响应而不产生混叠失真。,73,但是，任何一个实际的模拟滤波器，其频响都 不可能是真正带限的，这就不可避免的会产生混叠 失真。,答：当模拟滤波器的频响在折叠频率以上处衰 减越大时，混叠失真就越小。,问题：要求混叠 失真小，对模拟滤波 器的频响有何要求？,74,6.3.4 优缺点,优点： (1) 数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟 滤波器的冲激响应，所以时域逼近良好。 (2) 频率变化是线性关系=T，频率特性形 状基本上与模拟滤波器相同（如果混叠不严重）。 缺点： 会产生频率混叠现象。只适合带限滤波器（如 低通、带通滤波器）的设计，不适合高通、带阻滤 波器的设计。,75,例6-6 利用脉冲响应不变法设计一个数字巴特 沃思低通滤波器，通带截止频率fp=0.1kHz，通带最 大