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1、第一章几何光学基本原理 1. 作图分析下列光学元件对波前的作用： (1) 图 1.1 中（a） 、 （b）中所示，各向均匀同性介质中的点光源P发出球面波， P 为其共轭 理想像点.假设在相同时间间隔内形成的球面波前间距为d.求该波前入射到折射率大于周 围介质的双凸透镜或凹透镜上，波前在透镜内和经透镜折射后的波前传播情况. (2) 图 1.1 中（c）所示，各向均匀同性介质中的无限远点光源发出平面波，求该波前入射到 折射率大于周围介质的棱镜上，波前在棱镜内和经棱镜折射后的波前传播情况. P d P 图1.1(b) 图1.1(c) d P P 图1.1(a) 解：(1) P d d d d P d
2、 (2) 2. 当入射角很小时，折射定律可以近似表示为 ni=ni，求下述条件的结果： (1) 当 n=1，n=1.5 时，入射角的变化范围从 065 .表格列出入射角每增加 5 ，分别由 实际与近似公式得到的折射角， 并求出近似折射角的百分比误差.请用表格的形式列 出结果. (2) 入射角在什么范围时，近似公式得出的折射角 i的误差分别大于 0.1%，1%和 10%. 解：(1) 当1n，1.5n时， 由折射定律：sinsinnInI，得： 11 sinsin sinsin 1.5 nII I n 由折射定律近似公式：nin i ，得： 1.5 nii i n 入射角在 065 范围内变化时
3、， 折射角和折射角近似值以及近似折射角的百分比误差如下表 所示： I I i /iII 0 0 0 0 5 3.331 3.333 7.064*10-4 10 6.648 6.667 2.808*10-3 15 9.936 10 6.441*10-3 20 13.180 13.333 0.012 25 16.364 16.667 0.018 30 19.471 20 0.027 35 22.481 23.333 0.038 40 25.374 26.667 0.051 45 28.126 30 0.067 50 30.710 33.333 0.085 55 33.100 36.667 0.10
4、8 60 35.264 40 0.134 65 37.172 43.333 0.166 (2) /=0.1%iII时，=5.7I；/=1%iII时，=18.2I；入口 出 口时， =53.3I. 3由一玻璃立方体切下一角制成的棱镜称为三面直角棱镜或立方角锥棱镜，如图 1.2 所示. 用矢量形式的反射定律试证明： 从斜面以任意方向入射的光线经其它三面反射后， 出射光线 总与入射光线平行反向.同时，说明这种棱镜的用途. 解： （法一）如下图所示，设光线沿ST方向入射经T、Q、R 点反射后， 由 RS 方向出射， 设 1 A、 2 A、 3 A、 4 A分别为ST、 TQ、QR和RS的单位矢量， 射
5、向反射面AOB的入射光线 1 A 的单位矢量可表示为 1= Alimjnk，式中l、m、n为光 线 1 A在x、y、z轴上的方向数， 222 1lmn，光线 1 A经 AOB面反射后，射向反射面BOC，反射面AOB的法线单位 矢量为 1 nk ， 则反射光线 2 A单位矢量可由矢量反射定律决 定，即 211 2()2()AAA k klimjnklimjnkk klimjnk 反射面BOC的法线方向单位矢量为 2 ni ， 光线 2 A射向BOC后的反射光线 3 A的单位矢 量为 322 2()2()AAA i ilimjnklimjnk i ilimjnk 反射面COA的法线方向单位矢量为
6、3 nj ，光线 3 A射向COA反射后的光线经 4 A的单位 矢量为 433 2()2()+AAA j jlimjnklimjnkj jli mjnk 对光线 1 A和 4 A作点积，得 222 14 () ()()1A Alimjnklimjnklmn 说明入射光线 1 A和出射光线 4 A在空间上是平行的，而且方向相反，即有180夹角. （法二）如下图所示，入射光线从斜面进入棱镜后的折射光线方向为 1 A，且 1=( , , )Al m n， 然后经过 AOB 面的反射后的折射方向为 2 A， 再依次经过 BOC 反射面、 COA 反射面后的方 向分别为 3 A、 4 A.其中， 反射面
7、 AOB、 BOC、 COA 的法线单位矢量分别为1=N（0,0,1）， 2=N（1,0,0），3=N（0,1,0）.这样由矢量形式的反射定律，有 图 1-2 A 1 A R Q T S (0,0, )Ca (0, ,0)Ba 3 A 4 A 2 A S x z y ( ,0,0)a O 第一次 AOB 面反射式， 211 11 =-2()( , ,)AAN NAl mn 第二次 BOC 面反射式， 322 22 =-2()(, ,)AAN NAl mn 第三次 COA 面反射式， 4331 33 =-2()(,)AAN NAlmnA 说明入射光线 1 A和出射光线 4 A在空间上是平行的，而
8、且方向相反，即有180夹角. 4.已知入射光线coscoscosAijk， 反射光线coscoscosAijk， 求此时平面反射镜法线的方向. 解：反射定律为= -2 ()AAN N A , 在上式两边对 A 做标积，有 2 12() A AA N , 由此可得 1 2 A A A N , 将上式代入反射定律得 - 2- coscoscos-coscoscos = 2 1-coscoscoscoscoscos coscos(coscos)(coscos) = 2 1-coscoscoscoscos cos A A N A A ijkijk ijkijk ijk （1） （） （） （） （ 5
9、. 发光物点位于一个透明球的后表面， 从前表面出射到空气中的光束恰好为平行光如图 1.3 所示，求此透明材料的折射率的表达式.当出射光线为近轴光线时，求得的折射率是多少？ 解：设空气折射率为 0 n，透明球的折射率为 1 n，则由折射定律 01 sinsinnini ，得此透明球的折射率表达式为： 10 sin = sin i nn i 由三角关系有2ii ，那么上式可以写作 10 =2cosnni. 近轴成像时，sinsinii 、 分别被ii 、 代替，从而可得 10 22nn 6.设光纤纤芯折射率 1 1.75n ，包层折射率 2 1.50n ，试求光纤端面上入射角在何值范围 内变化时，
10、可保证光线发生全反射通过光纤.若光纤直径40mD，长度为100m，求光 线在光纤内路程的长度和发生全反射的次数. 解： 图1.3 i i 2222 0112 1 sin1.751.50.9014 64.34 nInn I 光线在光纤内路程长度 1 22222 101 1.75 100 116.7m sin1.750.9014 n L L nnI 发生全反射次数 22 22 11 2 100000 1.751.5 =1502313() 0.04 1.5 L nn N Dn 次 7.如图 1.4 所示， 一激光管所发出的光束扩散角为 7 ， 经等腰直角反射棱镜(=1.5163 n ) 转折，是否需
11、要在斜面上再镀增加反射率的金属膜? 解：由折射定律得： 1 1 sinsin3.5 sin0.000671442 1.5163 ni i n 解之得 1 0.03847i 而 1 =90=89.96153i 根据平面几何关系有 2 =89.9615345 =134.96153 9044.96153i 而第二面临界角 11 2 11 sinsin41.26175 1.5163 m Ii n 所以，不需要镀膜. 8.一厚度为 200mm 的平行平板玻璃1.5n ， 下面放一直径为 1mm 的金属片， 如图 1.5 所示. 若在玻璃板上盖一圆形纸片， 要求在玻璃板上方任何方向上都看 不到该金属片，求
12、纸片的最小直径？ 解：要使圆形纸片之外都看不到金属片，只有在这些方向上发生 全反射.由几何关系可得纸片最小直径 1tan2aLd 由于发生了全反射，所以有sin1/1/1.52/3an， 2 tan =sin / 12-sin/ 5aaa 得367.7709mmd 9.折射率为 1 1.5n ， 12 1.6nn ， 2 1n 的三种介质，被两平行分界面分开，试求当光 7 图1.4 1n 1 M2 M i i 2 i 2 i 1.5163 n n =1.5 a L 图1.5 线在第二种介质中发生全反射时，光线在第一种界面上的入射角 1 I. 解：由折射定律sinsinnInI ，光线从光密进入
13、光疏介质时发生全反射90I 由题意知 221 sin/cos m InnI 又知 222 1111112 sinsin1 cosnInInInn即 2 1 1.5sin1.61I 解得 1 56.374I 10如图 1.6 所示，有一半径为R厚度为b的圆板，由折射率n，沿径向变化的材料构成， 中心处的折射率为 n0，边缘处的折射率为 nR用物点理想成像的等光程条件推导出圆板的折 射率 nr以何种规律变化时，在近轴条件下，平行于主光轴的光线将聚焦？此时的焦距 f又为 多少？ 解：如图 1.6 所示，离轴r的光程为 22 r n bfrA 即 22 1 r n bfrfA 其中A为常数，与轴上光线
14、的光程比较，得 22 0 11 22 rR r R rR n bfAn bfn bf ff 故 2 0 2() R R f nnb 或 2 0 2() r r f nn b 22 0 00 2 () 2 R r rnnr nnn bfR 11.试用费马原理推导光的折射定律 解：设任一折射路径的光程为 OPL 22 1111 ()OPLnOPn PLnhlx 由费马原理 111111 2222 12 sinsin0 () dOPLxlx OPLnnnini dx hxhlx 故 1111 sinsinnini 12. 已知空气中一无限远点光源产生的平行光从左入射到形状未知的凹面镜上， 该光束经会 f F 图1.6 r R b O P L 1 n 1 n 1 h 1 h x l i i 聚后在凹面镜顶点的左方成一理想像点，试用等光程原理确定该凹面镜的形状. 解：如右图所示，以凹面镜的顶点为原点建立( , )z y坐标系. 由等光程原理知，光线与光线的光程相等，则 22 2 2 ()()2 4 4 fzyfzf y yfzz f 或 13. 举例说明正文中图 1.4.2 中所示四种成像情况的
