《2019_2020学年高中数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系学案含解析新人教a版必修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019_2020学年高中数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系学案含解析新人教a版必修（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.2.1直线与圆的位置关系知识导图学法指导1.比较判断直线与圆的位置关系的两种方法代数法与几何法2体会利用代数方法解决几何问题的思想，利用数形结合的思想方法解决一些综合问题高考导航判断直线与圆的位置关系、直线与圆相切的问题及弦长问题是高考考查的热点题型，一般以选择题、填空题的形式出现，分值5分.知识点直线AxByC0(A2B20)与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离ddr代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为000图形判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何
2、法则较简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法小试身手1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切()(2)直线x2y10与圆2x22y24x2y10的位置关系是相交()答案：(1)(2)2直线x3y10与圆x2y2的位置关系是()A相离B相切C相交且过圆心 D相交但不过圆心解析：圆心(0,0)到直线x3y10的距离d0时，即m0或m时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当0时，即m0或m时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当0时，即m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点方法二已知圆的
3、方程可化为(x2)2(y1)24，即圆心为C(2,1)，半径r2.圆心C(2,1)到直线mxym10的距离d.(1)当d0或m2时，即m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.(1)两方程联立，消元后根据根的判别式的取值情况列等式或不等式(相切0，相离0)；(2)根据圆心到直线的距离d与半径r的关系列等式或不等式(相切dr，相离dr，相交d1，所以点P在圆外(1)若直线l的斜率存在，方法一设l：y3k(x2)，即kxy32k0，因为直线l与圆(x1)2(y2)21相切，所以1，所以k.所以直线l的方程为y3(x2)，即12x5y90.方法二设l：y3k(x2)，即yk(x2)3，与圆的方程联
4、立消去y得(x1)2k(x2)3221，整理得(k21)x2(4k210k2)x4k220k250，所以(4k210k2)24(k21)(4k220k25)0，所以k.此时直线l的方程为y3(x2)，即12x5y90.(2)若直线l的斜率不存在，则直线l：x2也符合要求所以直线l的方程为12x5y90或x2.(1)直线和圆相切，则过圆心和切点的直线与切线垂直(2)求过一点的圆的切线方程时，要先检验此点在圆上还是圆外，防止漏解若此点在圆上，则切线只有一条；若此点在圆外，则切线一定有两条方法归纳求切线方程的常用方法1求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法先求切点与圆心的连线所在直线的斜率k
5、，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程若k0或k不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为xx0或yy0.2求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法(1)几何法设切线方程为yy0k(xx0)，即kxykx0y00，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得k，切线方程即可求出(2)代数法设切线方程为yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由0，求得k，切线方程即可求出注意：过圆外一点的切线必有两条，当几何法或代数法求得的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出跟踪训练2已知圆O：x2y25和点A(1
6、,2)，求过点A且与圆O相切的直线方程解析：因为12225，所以点A(1,2)在圆x2y25上，圆心O(0,0)与A(1,2)连线的斜率为kOA2.设切线斜率为k，则k，所以过点A且与圆O相切的切线方程为y2(x1)，即x2y50.先判定点A在圆上，求出OA的斜率和切线的斜率，然后求切线的方程类型三直线被圆截得的弦长问题例3求直线l：3xy60被圆C：x2y22y40截得的弦长【解析】方法一设直线l与圆C的交点分别为A，B，则由直线l与圆C的方程，得解得所以交点的坐标为A(1,3)，B(2,0)故直线l：3xy60被圆C：x2y22y40截得的弦长|AB|.方法二圆C：x2y22y40可化为x
7、2(y1)25，其圆心坐标为(0,1)，半径长r，圆心到直线l的距离d.设直线l与圆C的交点为A，B，则，所以弦长|AB|.弦长问题时常用的方法有两种：一是几何法，即利用圆心到弦的垂线段、半径及半弦构成的直角三角形并结合勾股定理来计算；二是代数法，即利用根与系数的关系和弦长公式来计算方法归纳求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2d2r2，即|AB|2.图1图2(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两个交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|(
8、直线l的斜率k存在)几何法比代数法运算量小，也比较直观、简单，故通常采用几何法解决圆的有关弦长问题跟踪训练3过点(4,0)作直线l与圆x2y22x4y200交于A，B两点，如果|AB|8，求直线l的方程解析：将圆的方程配方得(x1)2(y2)225，由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d3.当直线l的斜率不存在时，x4满足题意；当直线l的斜率存在时，设l的方程为yk(x4)，即kxy4k0.由点到直线的距离公式，得3，解得k，所以直线l的方程为5x12y200.综上所述，直线l的方程为x40或5x12y200.解答本题时可设直线的点斜式方程，利用弦心距、半径长、半弦长构成的直角三角形来求解.基础
9、巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)12019衡水检测直线yx1与圆x2y21的位置关系是()A相切 B相交但直线不过圆心C相交且直线过圆心 D相离解析：圆心到直线的距离d1，直线yx1不过圆心(0,0)，直线与圆相交但直线不过圆心答案：B2平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy0解析：设所求直线为2xyc0，则，解得c5，故选A.答案：A32019山东校级检测直线xy30被圆(x2)2(y2)22截得的弦长等于()A. B.C2 D.解析：圆心(2,2)到直线xy3
10、0的距离d，圆的半径r，解直角三角形得，半弦长为，所以弦长等于.答案：D4过点(2,1)的直线中被圆(x1)2(y2)25截得的弦长最大的直线的方程是()A3xy50 B3xy70Cx3y50 Dx3y50解析：过点(2,1)的直线中被圆(x1)2(y2)25截得的弦长最大的直线经过圆心由题意得所求直线过点(2,1)和圆心(1，2)，其方程为，整理得3xy50.答案：A5圆x2y24x4y100上的点到直线xy80的最大距离是()A18 B6C5 D4解析：由题意得，圆的标准方程为(x2)2(y2)218，则其半径r3，圆心(2,2)到直线xy80的距离d2，故圆上的点到直线的最大距离是325.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_解析：以原点O为圆心的圆过点P(1,2)，圆的方程为x2y25.kOP2，切线的斜率k.由点斜式可得切线方程为y2(x1)，即x2y50.答案：x2y507设直线yx2a与圆C：x2
