《姜启源等编《数学模型》第四版-课件-第十一章博弈模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《姜启源等编《数学模型》第四版-课件-第十一章博弈模型（80页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十一章 博弈模型,11.1 进攻与撤退的抉择 11.2 让报童订购更多的报纸 11.3 “一口价”的战略 11.4 不患寡而患不均 11.5 效益的合理分配 11.6 加权投票中权力的度量,单一决策主体,决策变量目标函数约束条件,决策主体的决策行为发生直接相互作用 (相互影响),博弈模型,非合作博弈,合作博弈,三要素,多个决策主体,决策问题（Decision Problem）,军事、政治、经济、企业管理和社会科学中应用广泛,1944年6月初，盟军在诺曼底登陆成功. 到8月初的形势：,背景,11.1 进攻与撤退的抉择,双方应该如何决策 ？,模型假设,博弈参与者为两方（盟军和德军）,盟军有3种使
2、用其预备队的行动：强化缺口，原地待命，东进；德军有2种行动：向西进攻或向东撤退.,博弈双方完全理性，目的都是使战斗中己方获得的净胜场次（胜利场次减去失败场次）尽可能多.,完全信息静态博弈,共同知识(以上信息双方共有),双方同时做出决策,博弈模型,博弈参与者集合N=1,2(1为盟军，2为德军),用u1(a1，a2)表示对盟军产生的结果，即净胜场次，称为盟军的效用函数.,盟军行动a1 A1=1,2,3(强化缺口/原地待命/东进)； 德军行动a2 A2=1,2(进攻/撤退)。 (行动：即纯战略),支付矩阵 （Payoff Matrix）,完全竞争: 零和博弈 (常数和博弈),u2(a1，a2)对应
3、-M,博弈的解的概念：纳什均衡 (NE: Nash Equilibrium),不存在(纯)NE,(纯战略)纳什均衡,Nash: 1994年获诺贝尔经济学奖,NE: 单向改变战略不能提高自己效用，即每一方的战略对于他方的战略而言都是最优的, 称为最优反应.,(纯)NE: a*=(a1*, a2*) =(2, 2),非常数和博弈(双矩阵表示),混合战略（策略：Strategy),盟军的混合战略集,期望收益,盟军,德军,S1=p=(p1, p2, p3) | ,德军的混合战略集,S2= q=(q1, q2) | ,完全信息 静态博弈 有限博弈 矩阵博弈 (2人) 零和博弈 常数和博弈,模型求解,理性
4、推理：不管自己怎么做，另一方总是希望尽量使自己得分尽量低. （二人零和博弈，完全竞争）,盟军,德军,线性规划,从一个给定的战略中期望得到的赢得，总是采用该策略时他们可能得到的最坏的赢得！,盟军可以用min pM来衡量策略p的好坏,max U1(p) = min pM,min U2(q) = max MqT,德军可以用max MqT来衡量策略q的好坏,(p*, q*): 混合(策略)纳什均衡(Mixed NE),p2*=3/5，p3*=2/5,q1*=1/5，q2*=4/5,最优值均为2/5,占优(dominate)：盟军的行动2占优于1 （前面的非常数和博弈M类似）,混合策略似乎不太可行! 但
5、概率可作为参考. -现实：盟军让预备队原地待命（行动2），而德军没有选择撤退（行动2），结果德军大败.,模型评述,博弈规则至关重要的，如参与人决策的时间顺序、决策时拥有哪些信息等.,多人(或非常数和)博弈问题，一般不能用上面的线性规划方法求解，而通过纳什均衡的定义求解.,小结：博弈模型的基本要素,参与人,理性假设,行动顺序（静态、动态）,信息结构（完全、不完全）,行动空间（及战略空间）,效用函数,参与者完全理性(最大化效用),其他因素,纳什均衡,单向改变战略不能提高自己效用,11.2 让报童订购更多的报纸,报童模型回顾,订购价w，零售价p，处理价v（pwv0） 需求量：密度函数f(x)、分布函
6、数F(x), F(0)=0,订购Q份报纸，期望销售量为,期望存货量,期望利润,最优订购量Qr, Qr(w),11.2 让报童订购更多的报纸,问题,假设报社报纸成本价为c，wcv, w*,完全信息动态博弈：常称Stackelberg Game (两阶段) 子博弈完美均衡: (w*，Qr(w),一般w*c Qr(w*) Q* 整体利润有损失,能否改善(协调)？,假设报社与报童联合，整体利润最大,价格折扣协议模型,折扣方案wd(Q) 下，报童效用(期望利润),达到协调,假设报社与报童联合，整体期望利润,关于Q的减函数(非线性),，报童利润 ，报社利润 利润的任意分配比例都可达到,模型一 回收价格协议
7、,原订货量,达到协调,整体最优,b，报童利润 ，报社利润 利润的任意分配比例都可达到,回收价b (pwbv),回收协议模型,模型二 回收数量协议,报社回收,达到协调,报童回收,，报童利润, 报社利润; 利润任意分配都可达到,按批发价回收，比例为,报童利润,回收协议模型,模型评述,协议参数的确定： 不能单方决定 双方谈判（合作博弈）,还有很多其他类型的协议，也可以达到协调,一种更简单的协议 批发价w成本c 收取一定加盟费,如何评价比较协议的优缺点？,是否能达到协调,是否能任意分配利润,协议执行成本有多高,11.3 “一口价”的战略,背景,为了节省“讨价还价”时间，考虑“一口价”模式.,双方同时报
8、价：若买价卖价，则以均价成交; 否则不成交.,问题,双方应如何报价？,双方总能成交吗？（效率估计）,“讨价还价”很浪费买卖双方的宝贵时间.,模型假设与建立,卖方知道物品对自己的价值，但买方不知道.,买方知道物品对自己的价值，但卖方不知道.,双方都知道（如猜出）对方价值的分布信息.,卖方价值vs, 买方价值vb, 均服从U0,1 (均匀分布),卖方报价ps, 买方报价pb, pb ps时成交价p (pb+ps)/2,成交效用：卖方U1=p- vs, 买方U2= vb p; 不成交: 0,双方完全理性(最大化自己的期望效用 ).,以上为双方的共同知识.,卖方报价ps ps(vs) 买方报价pb p
9、b(vb),双方战略,战略组合( ps(vs), pb(vb) 何时构成均衡？,定义在0，1区间上、取值也在0，1区间上的非减函数.,不完全信息静态博弈（静态贝叶斯博弈）,贝叶斯纳什均衡,单向改变战略不能提高自己效用.,信息非对称（不完全信息）,模型假设与建立,均衡条件,具体战略(函数)形式不同，均衡就可能不同.,单一价格战略,卖方： 买方：,双方战略互为最优反应，所以构成贝叶斯纳什均衡！,模型假设与建立,单一价格战略效率为,x(1-x)/0.50.5,x0.5 效率最大(1/2),对给定的(vs, vb)，当vsvb时称为交易是有利的.,在给定的战略组合下，有利的全部交易中能够 实际发生交易
10、的比例称为该战略的交易效率.,单一价格战略,线性价格战略,卖方报价ps(vs) as+csvs; 买方报价pb(vb) ab+cbvb,双方战略互为最优反应， 构成贝叶斯纳什均衡！,买方：,买方: (同理),不成立时也适用（不唯一）,线性价格战略,评述,效率（线性价格战略）,效率为 1/4*3/4 =9/16,可以证明，线性均衡效率最大.,不存在使所有有利的交易都成交的均衡战略组合.,信息的不完全（非对称信息）降低了交易效率.,包含了交易价值(交易给双方带来的效用之和，即vbvs) 大于1/4的所有有效交易.,11.4 不患寡而患不均,最后通牒博弈(Ultimatum Game),问题,甲乙两
11、人就分配笔钱（如100元）进行博弈.,甲首先提出分配方案 (分给乙的钱: s).,现实中的情况果真如此吗？ 多数s总额的4050% s越小，越容易被乙拒绝,完全信息动态博弈：均衡结果是(s=0,乙接受); 如果要求严格均衡，则s=分钱.,如果乙接受，则按此分配 ；否则双方什么也得不到.,公平：利他互惠？,自私： 理性 非理性？,模型假设与建立,1. 每个参与者都喜欢对所有参与者公平的结果；,2. 每个参与者自己受到不公平对待时的“愤怒”，胜过其他参与者受到不公平对待时的“愧疚”,否则，xixj=1-xi时， i(x)xi-i (xi -xj)= i -(2i -1)xi 关于xi的系数非正 （
12、过分“愧疚” ）,效用函数,财富总额为1 接受提议：甲乙所得x1=1-s, x2= s；否则：x1=x2=0,模型求解,如果不接受，则x1=x2=0; U1(s)=U2(s)=0 .,若s1/2,则x2 x1,乙的最优反应,乙的最优反应（给定s）,如果接受，则x1=1-s, x2=s.,若s1/2,则x2x1,U2(s)0,1/20,易知,(s1/2, 两者一致),模型求解,Case 1: 甲知道乙的2,若s1/2,则x2 x1,甲的决策,s=1/2时达到最大值1/2,甲的决策(只需考虑乙接受情形),均衡: (s*,接受),s*严格小于50%; 是乙的“愤怒”系数2的增函数.,模型求解：甲的决
13、策,Case 2: 甲不知道乙的2, 但知道2知道分布F(2),若s1/2,则x2 x1,甲的决策,若s1/2,则x2 x1,U1(s)=1-s-1(2s-1) 同前,期望效用,乙接受概率,s*,模型解释,甲永远不会提出大于/的方案s,乙拒绝过小的方案s,很好地解释了实际中的最后通牒博弈,乙接受概率随s增加不减,参考文献,11.5 效益的合理分配,例,甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元， 甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元， 三人合作获利11元. 又知每人单干获利1元. 问三人合作时如何分配获利？,记甲乙丙三人分配为,解不唯一,(5，3，3) (4，4，3) (5，4，2) ,(1) Sh
14、apley合作对策, I,v n人合作对策，v特征函数,n人从v(I)得到的分配，满足,v(s) 子集s的获利,公理化方法,s子集 s中的元素数目， Si 包含i的所有子集,由s决定的“贡献”的权重, i 对合作s 的“贡献”,Shapley合作对策,三人(I=1,2,3)经商中甲的分配x1的计算,1/3 1/6 1/6 1/3,1 1 2 1 3 I,1 7 5 11,0 1 1 4,1 6 4 7,1/3 1 2/3 7/3,x1=13/3,类似可得 x2=23/6, x3=17/6,1 2 2 3,合作对策的应用 污水处理费用的合理分担,污水处理，排入河流.,三城镇可单独建处理厂，或联合
15、建厂(用管道将污水由上游城镇送往下游城镇).,Q污水量，L管道长度 建厂费用P1=73Q0.712 管道费用P2=0.66Q0.51L,污水处理的5 种方案,1）单独建厂,总投资,2）1, 2合作,3）2, 3合作,4）1, 3合作,总投资,总投资,合作不会实现,5）三城合作总投资,D5最小, 应联合建厂,建厂费：d1=73(5+3+5)0.712=453 12 管道费：d2=0.66 50.51 20=30 23 管道费：d3=0.66 (5+3)0.51 38=73,D5,城3建议：d1 按 5:3:5分担, d2,d3由城1,2担负,城2建议：d3由城1,2按 5:3分担, d2由城1担负,城1计算：城3分担 d15/13=174C(1),不同意!,D5如何分担？,特征函数v(s)联合(集s)建厂比单独建厂节约的投资,三城从节约投资v(I)中得到的分配,Shapley合作对策,计算城1从节约投资中得到的分配x1,x1 =19.7,城1 C(1)-x1=210.4, 城2 C(2)-x2=12
