第4章交流同步电机的数学模型

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1、第4章交流同步电机的数学模型,4.1同步电机的电压、磁链和电感,4.1.1理想同步电机 同步电机分为：隐极机和凸极机。讨论以凸极为对象，所得结论可推广到隐极机。 理想同步电机： （1）电机铁芯不饱和。磁场和各绕组电流间有线性关系，在确定气隙合成磁场时有可能运用叠加原理。 （2）电机有完全对称的磁路和绕组。定子三相绕组完全相同，空间位置彼此相隔 电弧度；转子每极的励磁绕组完全相同。 （3）定子绕组的自感磁场、定子与转子绕组间的互感磁场，沿气隙按正弦分布。即忽略所有谐波磁势、磁通、电势及电磁转矩。 实践证明，按理想电机条件的分析、计算所得，误差在允许范围内。,4.1.2同步电机的电压和磁链,图4-

2、1同步电机各绕组轴线的正方向,仅列出理想同步电机的假设而不给定磁链、电流、电压的正方向，无法单一的列出同步电机的基本关系式，因为这些电磁量的取向不同，它们将有不同的书写方式。 取定子各相绕组轴线及其磁链的正方向，转子正、交轴线（或d 、 q轴线，或纵、横轴线的正方向），励磁绕组以及正、交轴阻尼绕组磁链的正方向，如图4-1所示。定子各相绕组电流产生的磁通方向与各该相绕组轴线的正方向相反时，这些电流为正值。即定子各相正值电流将产生各该相负值磁链。转子各绕组电流产生的磁通方向，与正轴或交轴正方向相同时，这些电流为正。也即，正值转子电流将产生正值转子绕组磁链。图4-1中标注了各绕组电流的正方向。定子各

3、相端电压和励磁电压的正方向，则如图4-2所示。在定子回路中，向负荷侧观察，电压降的正方向与定子电流的正方向一致。在励磁回路中，向励磁绕组侧观察，电压降的正方向与励磁电流的正方向一致。阻尼绕组为短接回路，电压为零。 按如上的电磁量取向即可列出如下同步电机电压方程和磁链方程。 电压方程,式中 各绕组端电压； 各绕组电流； 各绕组合成磁链； 各绕组电阻； ；,考虑理想电机的第二个假设条件，取,图4-2同步电机各回路电路图,磁链方程,式中：系数矩阵的对角元为各绕组的自感系数，非对角元为两绕组间的互感系数。互感系数对应可逆，即应有,4.1.3同步电机的电感,对凸极式同步电机，上式中系数矩阵的多数元素随转

4、子的位置即时间作周期性变化，下面讨论各类电感系数的变化规律。,1.定子各相绕组的自感,某一绕组的自感正比于该绕组电流产生磁通路径上的磁导。由图1-4见，转子正轴与某相绕组的轴线重合时，该相绕组的自感最大；交轴与某相绕组的轴线重合时，该相绕组的自感最小。以 表示转子正轴顺转子旋转方向超前于a相轴线的角度，则a相绕组的自感 将是 角的周期函数，其变化周期为 ；而且是 角的偶函数，因转子正轴处于 位置时， 的大小相同。,周期性偶函数进行傅氏分解时只含余弦项，当函数的变化周期为 时，只有偶次项。考虑到理想电机忽略谐波分量的假设条件。自感 与 角的关系式中将只有两项，即,同理可列出b、c相绕组自感与角

5、的关系式,2.定子各相绕组间的互感,相似于各相绕组自感与 角的关系，可列出各相绕组互感与 角的关系式如下,可以证明：,3.定子绕组与励磁绕组间的互感,定子绕组与励磁绕组间的互感与 角的关系式如下,4.定子绕组与正轴阻尼绕组间的互感,5.定子绕组与交轴阻尼绕组间的互感,6.转子绕组的自感和互感,转子绕组的自感，励磁绕组和正轴阻尼绕组间的互感不因转子旋转而变化，都是常数，励磁绕组或正轴阻尼绕组与交轴阻尼绕组间的互感为零。,4.2同步电机基本方程式,1、磁链方程,4.2.1运用派克分量表示的磁链方程和电压方程,上式有以下几个特点： （1）式中所有感抗都是非时变参数。 （2）式中、三组变量互不相关，或

6、相互解耦。 （3）式中所有互感抗都可逆。,在以标幺值表示的磁链方程中，可以直接用相应的电抗替换电感，所以用标幺值表示的磁链方程有如下形式,2、电压方程,由上式可见，经派克变换后的电压方程由三部分组成。 第一部分：降落在各该绕组电阻中的电压； 第二部分：因各该绕组合成磁链变化而感生的电势； 第三部分：是新增加的，它是由于将静止不动的参考坐标转换为随转子一同旋转的参考坐标而引起的。,简化电压方程：当不需要分析电机转子侧情况时，可将磁链方程中的转子电流消去，获得更简明的表达式,简化磁链方程,简化电压方程,正轴运算电抗：,交轴运算电抗：,运算电导：,4.2.2 运用派克分量表示的空间状态方程,由派克分

7、量表示的磁链方程和电压方程消去磁链即可得到用派克分量表示的交流同步电机的空间状态方程。其空间状态方程具有如下的形式,式中： 、 、 分别为同步电机定子的正、交轴同步电抗和零序电抗。 、 分别为同步电机转子的正、交轴同步电抗。 、 、 分别为同步电机转子正轴方向的互感电抗。 、 分别为同步电机定、转子电阻。 、 分别为同步电机转子的正、交轴电阻。,以磁链的派克分量为状态变量的状态空间方程,设,令,同步电机有如下参数： 试列出以电流和磁链的派克分量为变量的状态空间方程。,同步电机三相瞬时输出功率的有名值为,若令,则有,式中U、I分别为相电压、相电流的有效值。 由于采用标幺制时取定子额定电压、相电流

8、的幅值为基准值，为使电机在额定电压、额定电流、功率因数为1的条件下运行时，输出功率的标幺值为1，以标幺值表示的三相瞬时输出功率应为,4.2.3 电磁功率、转矩方程式,运用派克逆变换矩阵P-1对上式作坐标变换,上式中，等号右侧第一项为经气隙传递的功率；第二项为等值定子绕组磁场储能的减少率；第三项为等值定子绕组电阻中损耗的功率。因此上式表示，由转子侧越过气隙传递至定子侧的功率，与定子磁场储能的减少转换而得的功率之和，再扣除定子电阻中损耗的功率后，就是定子端输出的功率。,第一项既是经气隙传递的功率，而功率又是转矩与转速的乘积，所以用派克分量表示的电磁转矩为,转子机械运动方程式,J 机组转子的转动惯量

9、； 机组转子的机械角速度； TM机组转子承受的机械转矩； T 机组转子承受的机械转矩；,用标幺值表示为,上式中略去标幺值符号“*”，TJ：机组惯性时间常数（s）。,在研究转子的机械运动时，不仅相对于在空间静止不动参考轴的转子角位移 是一个重要的状态变量，而且相对于在空间以同步角速度转动参考轴的转子角位移 更是一个重要的状态变量，由右图可见,用标幺值表示为,机械运动方程式（摇摆方程式）,静止不动参考轴线 （a相）,转子轴线 （正轴）,同步速转动 参考轴线,将摇摆方程与分析电磁暂态过程时的状态空间方程合并，可得到同时计及电磁暂态过程和机械暂态过程的状态空间方程。,考虑到相应的电磁转矩为,同步电机的

10、暂态过程分析中，往往需运用一系列次暂态、暂态参数 。,4.2.3 同步电机的次暂态、暂态参数,定义如下一组时间常数和漏磁系数,再定义如下一组时间常数,则有,1.次暂态电抗 、 和暂态电抗 、,在物理意义上，同步电机的次暂态电抗 、 ，是运行情况突变瞬间，从定子侧观察到的有阻尼绕组电机正、交轴定子等值漏抗；而暂态电抗 、 则是相应的无阻尼绕组电机正、交轴定子等值漏抗。可近似表示为,或,2.次暂态时间常数 和暂态时间常数,（1）正轴次暂态 、暂态时间常数,定子绕组开路时，励磁绕组和阻尼绕组漏磁通变化的时间常数 和互磁通变化的时间常数 。,定子绕组短路、阻尼绕组开路时，励磁绕组的时间常数：,定子绕组

11、短路、励磁绕组开路时，阻尼绕组的时间常数：,定子绕组短路时，励磁绕组和阻尼绕组间的互感抗：,定子绕组短路时，励磁绕组和阻尼绕组间的漏磁系数：,分别是定子绕组短路时，转子正轴方向两个磁耦绕组励磁绕组和阻尼绕组漏磁通变化的时间常数 和互磁通得便化的时间常数 。,近似的表示：,粗略的表示：,（2）交轴次暂态、暂态时间常数,有阻尼绕组电机交轴方向上的两个时间常数,称为定子绕组开路或短路时的交轴次暂态时间常数。,交轴暂态时间常数：,（3）定子绕组时间常数,有阻尼绕组电机,无阻尼绕组电机,3.次暂态电势 和暂态电势,与上述次暂态、暂态电抗以及暂态、暂态时间常数相关联，还有一组次暂态电势、暂态电势，也常用于

12、分析同步电机的暂态过程，一并介绍如下。,(1)次暂态电势,根据磁链方程，可分别绘制有阻尼绕组电机正、交轴方向的有源等效电路。,(a)正轴方向,(a)正轴方向（ ）,（b）交轴方向,其中消去 、 或 可得：,（b）交轴方向,(c)正轴方向（ ）,令 则有,这两个电势就是所谓的次暂态电势。其中 是同步角频率下正轴等值磁链 产生的交轴方向的旋转电势，称交轴次暂态电势； 是同步角频率下交轴等值磁链 产生的正轴方向的旋转电势，称正轴次暂态电势。,将上述关系式代入以磁链表示的空间状态方程可得,略去脉变电势后则为,再略去定子绕组电阻则为,由图b还可得 时 的近似表达式,(2)暂态电势,参照标幺值表示的磁链方

13、程，及有阻尼绕组电机的等值电路，可得到无阻尼绕组的等值电路，如下图所示,（a）正轴方向 （b）交轴方向,（a）正轴方向 （b）交轴方向,有源等效电路,简化有源等效电路,消去 后可得,仿照次暂态电势推导可得,定子绕组电压方程,略去脉变电势后,再略去定子绕组电阻后,电机参数为,试计算其次暂态、暂态参数,解：1. 的计算,2. 的计算,3. 的计算,4. 的计算,5. 的计算,6. 的计算,4.3 同步电机的稳态运行方式,此处所谓的稳态运行，是指三相平衡、对称、同步、稳态，并且作发电机运行的方式。,4.3.1稳态运行时的磁链、电压和状态空间方程,按前面规定的各电磁量的正方向，电机三相空载电势的瞬时值

14、为,设电机端电压滞后空载电势功率角，定子电流又滞后电压功率因素角，则三相端电压和定子电流的瞬时值将分别为,对上列三相电势、电压、电流进行派克变换后，得,在这种运行方式下，励磁绕组电流只取决于励磁电压，而励磁电压又为定值，因此励磁绕组电流也为定值直流，即,励磁绕组和正、交轴定子绕组电流既都为定值直流电流，它们产生的磁场就都属恒定磁场，与这些绕组相对不动的正、交轴阻尼绕组中也就不会产生感生电流，即这种运行方式下运行方式下有,由上可见这时电势、电压、电流的所有派克分量，全部属于定值直流分量，而且其中的零轴分量全为零。,计及上列情况，可列出稳态运行时的磁链方程如下,于是，稳态运行时的电压方程空间状态方

15、程为,由于 、 、 为定值直流， ，电压方程中的脉变电势都为零，再计及同步运行时，可列出稳态运行时的电压方程如下,由于稳态运行时， 由上式可得,4.3.2稳态运行时的相量图,定义虚构电势,则有,将第二式乘j，并与第一式相加，整理得,定义一组相量,则有,该式所示是同步电机稳态运行时电压、电流和虚构电势间的相位关系，运用通常已知的电机端电压、定子电流和运行功率因数，可作出相量图以确定虚构电势的大小和方向。 的方向就是虚轴正方向，滞后它90度的是实轴的正方向。电机实际的空载电势相量 与 的方向相同。,Re,Im,同步电机稳定运行时的相量图,4.3.3稳态运行时的电磁功率和转矩,三相瞬时输出有功功率，在稳定运行方式下有,这一表示可看作下式表示的复功率的实数部分,即,相应的虚部就是三相瞬时无功功率,由,解得,略去定子绕组电阻，则有,或,代入,整理后得稳态运行时输出有功功率为,稳态运行时输出无功功率为,略去定子绕组电阻，进一步简化为,由上式可作出相应的功角关系曲线如右图所示