高等数学俯视中学数学落000

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1、第 1 页（共 9 页）高等数学俯视中学数学作 者：罗森丽指导老师：王保军(南阳师范学院 数学与统计学院 2003 级 02 班)摘 要 从大学所学的微积分，高等代数，空间解析几何等方面着手联系中学的数学知识，把这些高等数学的知识与中学现行教材结合起来，以几个例子入手来说明问题，以便深刻理解中学数学知识，提高学生学习这些内容的情趣，并学以致用.关键词 微积分；不等式；高等代数；指导；应用在高等数学学习中，如何把高等数学知识应用于中学数学，用高等数学的思想理解中学数学，对师范专业的学生有特殊的意义。有许多大学生，别是师范类大学生，一入学就发现，他们面临的问题好像同中学里学过的东西一点联系也没有，

2、当然也很快就完全忘了中学所学的东西；但是毕业以后当了中学老师，他们又忽然发现，要按传统的教法来教中学内容，由于缺乏指导他们又很难辨明当前的中学教学内容与所学大学课程之间的联系.数学专业的大学生学到的专业知识是不少的，但许多重要的以及在中学任教中用得到的部分却往往被忽视了，如果我们在学习高等数学的过程中，注重高等数学对中学数学的渗透，注重高等数学对初等数学的直接指导作用，总之，我们注重初等数学与高等数学的融合，我们就一定能够克服上述弊端，就能平静地实现中学学习大学学习中学教学之间的过渡.一 微积分在解决中学数学问题中的应用初等数学是高等数学的基础，二者有着本质的联系。将高等数学的理论应用于初等数

3、学，使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学第 2 页（共 9 页）的教学工作，是一个值得研究的课题。微积分在不等式的证明，求函数极限，单调区间，曲线的切线，方程根的讨论，研究函数的性态与作图及解决实际问题等方面，不仅可以化繁为简，而且能使问题的研究更为深入全面。1 不等式的证明例 1 证明：当 时， 0ablnaba证明：设 ,它在区间 上满足拉格朗日中值定理的条件，lnyx,所以 ，使得 a,bl1,lnabab由于 ，故1，baba即： ln例 2 证明不等式 和1xe2xe(x0) .证明：设 ，()xf则 （ ）10e所以 递增.又 ， ()fx()f故 0e即 x 1+再设2

4、()xge则 1x由上面已证得的结果： 1+x 知 xe()0gx)(x第 3 页（共 9 页）所以 递增.()gx因 ，所以 ，0()0gx即：21xe在某邻域内，函数取得极大值或极小值，利用极值的特点也可以证明不等式，如例 3：例 3 设 ，证明：01,xp1()12ppx证明：设 ，求导可得：()()pfx11()pfx令 得 也即：0()px1x可求得 .2x在 内，可能成为极值的函数值是(,1)，1()ppf ，(0)因为 ，所以 .1p12p将 进行比较，(),()ff得： .12ppx设 是定义在 上的函数，若对任意的 和任意 ，()fa,b,xyab， (0,1)都有 成立，则

5、称 是 上的凸函数()1xyfxfy （ ） ()f反之，总有 ，则称 是 上的凹 x（ ） (1)（ ） ()f,函数如果上述不等式均改为严格不等式，则相应的函数分别称为严格凸函数和严格凹函数例 4（ 不等式）设 .有Holder,01,2,iabin 其中111nnnpqiiiabbpq第 4 页（共 9 页）证明：令 (),1,0,pfxx因为 ， 2由判定定理知： 在 上是严格凸函数，(),pfxx(0,)由 不等式，得到：Jens11pnnpiix今设 为非负实数，且 ，12,nu 10niiu在上述表达式中以 代替 ，1iniiui得到：111ppnnnpi iiuxux由题设 可

6、知 pq令 ， ，iiub1qiixa不妨设 ，10ni代入上式便得到 不等式：Holder.111nnnpqiiiabb特别地，取 时就可得到 不等式：2pqCuchy.11nniiiabb2 函数的极值，单调区间问题由导数的几何意义，可以很容易地求得曲线的切线，也可以很方便地第 5 页（共 9 页）求出函数的单调区间和极值.例 5 已知函数 ，其中 的底数，2()axfe0,e为 自 然 对 数（1）讨论函数 的单调性（2）求函数 在区间 上的最大值.()fx,1解：（1） 对 求导可得 .()2)axfxe当 时,令 ,得 .0a0f若 ,则 ,从而 在 上单调递增；x()x()fx0,

7、)若 ,则, ,从而 在 上单调递减.f当 时,令 ,得 ,故 或0a()0x(2)axx2a若 ,则, ,从而 在上 上单调递减； xff(,0)若 ,则 ,从而 在 上单调递增；2a()x)x若. ,则 ,从而 在 上单调递减.x0f(f2,)a（2）当 时, 在区间 上的最大值 .()x,1(1)f当 时, 在区间 上的最大值 ；-a0f0ae当 时, 在区间 上的最大值 .()x, 24()f3 函数的变化性态及作图函数的图像以其直观性有着别的工具不可替代的作用，特别是在说明一个函数的整体情况及其特征的时候，其作用尤为明显，这就要求我们能正确地作出函数图象.中学教材 在介绍二次函数，指

8、数及三角函数等函数的时候，通常用描点法作出函数的图像.这中图像一般是粗糙的，不一定能准确地反映曲线在一点和区间上的性态.利用倒数作为工具可以有效地对函数的增减性，极值点，凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断，从而第 6 页（共 9 页）比较准确地作出函数的图像.一般来说，描绘函数的图像可以按下面的步骤进行：a. 求出函数 的定义域，确定函数范围；()fxb. 判别函数 是否具有奇偶性或周期性，缩小描绘图象的范围；c. 求函数 的不连续点，并讨论函数在不连续点的左右变化情况，()fx可能存在极限，也可能趋向无穷（此时有垂直渐近线）.如果函数定义域是无限区间，则要讨论当 x 无限增加时， 的变化

9、趋势，若存在极限，则()fx有水平渐近线，若趋于无穷则应考虑是否有斜渐近线；d. 计算函数 的一，二阶导数，并求解 和 ()0fx()f ()0fx，讨论 的单调性，局部极值，凸凹性与拐点，列表；()0fx()fxe. 在直角坐标系中，标出关键点的坐标，画出渐进线，再按讨论的性态逐段描绘.微积分在解决中学数学问题中的应用远不止这些，在其他如因式分解，化简代数式，求值与求和等方面也有广泛的应用.随着微积分等高等数学知识再次现身中学数学教材，中学数学教师除应熟练掌握各种题型的初等解法外，还应善于运用高等数学知识解决中学数学问题.二 高等代数观点下一些中学数学问题的认识现在大部分高等数学课程与中学数

10、学课程严重脱节，学生所学的高等数学与中学数学联系不上，居高而不能临下，下面就举几例谈谈如何运用高等代数的知识解决中学数学的问题.1 行列式的应用例 6 解分式方程22710xx第 7 页（共 9 页）解：方程为 =022710xx2071x2270x12,2 余数定理在因式分解中的应用多项式 有因式 的充要条件是 ， 就是 的一个有理()fx()xa()0fa()fx根.用综合除法求出 的有理根，就能得到 的一次因式.f x例 7 分解因式 .3190x解：这里常数项是 ，如果多项式有 型的因式，()xa则 必为 的因数： ，a3,23,56,10,3以这些书分别代入多项式，可得 (1)48,

11、()1,(),(),ffff()6,()0,(5),fff根据余数定理，多项式有如 的因式，235x由于多项式是三次式且首项系数等于 1，所以： =3190x()()xx三 平面向量在中学数学解题中的应用新编中学数学教材在内容上增加了平面向量，这就给中学数学增加了一个全新的解题工具与方法.在处理空间直线与平面关系问题时，若能换个角度， 用向量法来思考，往往会起到意想不到的效果.例 8 正方体 中， 分别是线段 的中点，点 分别1ABCDMN1,CB,OP第 8 页（共 9 页）是正方形 与正方形 的中点，求证： .1ABCD1ABMNOPA分析：证明线线平行，擦黑能够归方法是转化为证线面平行，

12、必须将其中一直线纳入一个平面来处理，难点在于如何做出辅助平面.若能建立空间直角坐标系，利用共线向量定理求解则很方便.证明：如图建立空间直角坐标系，设正方体的边长为 ，则有2(0,21)(,0)(1,0)MNM则，1,2BD，(,)O， 10,(,)A又，(2,)P，,OMNOP从 而 显 然 有。从 而 命 题 得 证CBADD CBAOPMN参考文献1 刘玉琏，傅沛仁 . 数学分析讲义M.北京：高等教育出版社，19922 陈昌平. 数学教育比较与研究M.上海：华东师大出版社，19943 同济大学教研室主编 . 高等数学（上册）M.北京：高等教育出版社，1988第 9 页（共 9 页）4 俞正

13、光，李永乐，詹汉生. 线性代数与解析几何M.北京：清华大学出版社，19985 方兆清. 高等代数切实地指导中学数学教学J.乐山：乐山教育学院学报，1991， （2）6 戴再平. 数学分析与解题研究 M.北京：高等教育出版社.19997 张禾瑞. 高等代数M. 北京：高等教育出版，19888 江志等.高中数学竞赛二十二讲M.北京：高等教育出版社，19839 舒湘琴等译 .高观点下的初等数学 M.郑州：河南教育出版社，1989.8310钱佩玲，邵光华 . 数学思想方法与中学数学M.北京大学出版社，1999Higher mathematics overlooks the middle school

14、mathematicsAbstract : The study from calculus, advanced algebra and analytic geometry of space of the University and other aspects linked to the math knowledge of secondary school, explains the question by several examples, The study will look different from their contacts and to a profound understanding of secondary mathematics. Keywords： Inequality; Advanced Algebra; Guidance; Application.