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1、材料力学 第4、5、6章 Mechanics of Materials,4-1 平面弯曲的概念(9) 4-2 梁的计算简图 4-3 弯曲内力剪力和弯矩 4-4 剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图 4-5 荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用(10) 4-6 用叠加法作弯矩图(11,含刚架),第四章 弯曲内力,一、弯曲变形,梁(beam)以弯曲变形为主的构件。,受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。 变形特点：原为直线的轴线变为曲线。,4-1 平面弯曲的概念(9),对称轴,平面弯曲：当所有外力(或者外力的合力)作用于纵向对称面内时，杆件的轴线在对称面内弯曲成一条平面曲线。 (此处称为“对
2、称弯曲”更合理）。,杆件轴线,一、构件本身的简化：通常取梁的轴线来代替梁。,二、载荷简化,计算简图：表示杆件几何特征与受力特征的力学模型。,1. 集中力(N，kN),载荷集度q：,2. 集中力偶(Nm，kN m),3. 分布载荷(N/m，kN/m),4-2 梁的计算简图,固定铰支座：2个约束,可动铰支座：1个约束,三、 支座简化,固定端：3个约束,四、静定梁的三种基本形式,简支梁 (simple beam),悬臂梁 (cantilever beam),静定梁：仅由静力平衡条件可唯一确定梁的全部支反力和内力。,外伸梁(overhanging beam),计算方法：截面法,例：求截面1-1上的内力
3、。,解：(1)确定支反力RA和RB,(2)取左段梁为分离体：,x,1,F1,a,A,B,F2,1,4-3 弯曲内力剪力和弯矩（重点）,弯曲内力,内力的正负规定:,剪力FS: 绕研究对象顺时针转为正；反之为负。,弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。或者说：使梁上侧纤维受压，下侧纤维受拉为正。,截面法计算剪力与弯矩举例（教材上的例子）,梁上某截面剪力的简便算法口诀：,如取截面左边的梁段为研究对象时， 剪力=左侧梁上外力的代数和，求和时，向上的力取正，向下的力取负； （或者说：剪力=梁左边向上的力之和梁左边向下的力之和） 如 取截面右边的梁段为研究对象时则相反。,（结论1）归纳为
4、一个简单的口诀：左上右下，剪力为正。,梁上某截面弯矩简便算法口诀：,如取截面左边的梁段为研究对象时， 弯矩=左侧梁上外力对截面中心的力矩之代数和。求和时，对截面中心为顺时针的力矩取为正，对截面中心为逆时针的力矩取为负； 或者：= 梁左边外力对截面中心顺时针方向的力偶矩之和梁左边外力对截面中心逆时针方向的力偶矩之和， 取截面右边的梁段为研究对象时则相反。,（结论2）归纳为一个简单的口诀：左顺右逆，弯矩为正。,（结论3）剪力（图）在集中力处有“突变”（即相邻两截面剪力不同）、“突变”的高度等于集中力的大小；弯矩（图）在集中力偶处有“突变”（即相邻两截面弯矩不同）、“ 、“突变”的高度等于集中力偶矩
5、的大小。,1. 内力方程：,2. 剪力图和弯矩图：表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形。,剪力方程：FS=FS（x） 弯矩方程：M=M（x）,4-4 剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图,Fb /l,Fa /l,解:(1)计算支反力：,(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、CB两段考虑，以A为原点。,(3)绘制剪力图、弯矩图：,AC段：,CB段：,A,B,F,C,Fab /l,在集中力F作用点处，FS图发生突变。,FS,列剪力方程和弯矩方程注意事项：,（结论4）在集中力、集中力偶、分布力的起始点处（称为控制面）分段列剪力方程和弯矩方程；剪力方程中x在集中力处为开区，弯矩方程中x在集中力偶处为开区，在其它区间为
6、闭区。,讨论,由剪力图可见，在梁上 的集中力(包括集中荷载和约 束力)作用处剪力图有突变， 这是由于集中力实际上是将 作用在梁上很短长度x范围内的分布力加以简化所致。若将分布力看作在x范围内是均匀的(图a),则剪力图在x范围内是连续变化的斜直线(图b)。从而也就可知，要问集中力作用处梁的横截面上的剪力值是没有意义的。,作业1： 要求：重点掌握口诀计算和内力图；其中选12个小题用截面法，作受力图，列方程求解，熟悉这一经典做法。 4-1 b f h 4-2 a,用列内力方程的方法来作梁和刚架的内力图比较复杂，有没有更好的办法？,对dx 段进行平衡分析：,q(x),剪力图上某点处的切线斜率等于该点处
7、的荷载集度。,4-5 荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系（10）,弯曲内力,FS(x)+dFS(x),FS(x),dx,A,弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。,外力,无分布力段,均布载荷段,集中力,集中力偶,Q图特征,M图特征,水平直线,斜直线,自左向右突变,无变化,斜直线,曲线,自左向右折角,与m反,（结论5）简易法作内力图的规律,（结论6）简易法作图的基本步骤：,求支座反力； 分段（分段原则同前）并计算出各段控制面（如集中力、集中力偶作用处的左右截面，分布力的起点与终点截面；以及个别特殊的截面,如最大弯曲矩所在的截面）的FS、M值。 按微分关系连线作图，确定最大FS和最大M 。,
8、Fb /l,Fa /l,解:(1)计算支反力：,A,B,F,C,Fab /l,FS,m /l,ma /l,解：(1)计算支反力：,A,B,m,C,mb /l,FS,解:(1)计算支反力：,A,B,q,ql /2,ql /2,ql 2/8,FS,l,l,q,上述剪力图、弯矩图为请牢记在心！,（结论7）从左只右绘剪力图时，可从梁左端开始顺着横向载荷的起伏直接作剪力图,或者检查剪力图的正误。,（结论8）载荷图对称，则弯矩图对称，剪力图反对称；载荷图反对称，则剪力图对称，弯矩图反对称。,l,l,F,l,对称性与反对称性的解释,l,l,l,F,反对称,正对称,反对称,正对称,弯曲内力,作下列各图示梁的内
9、力图。,A,q,qa2,qa,A,B,C,D,作业2(放假1次课,未布置) ： 全部用简易法作内力图； 先求约束力，再分段作图，要求线条清晰、整洁。 4-2 dfl 4-12 ce,例】已知M图,求外载及剪力图。,A,B,C,D,例4 已知M图,求荷载图及剪力图。,A,B,C,D,例4-9已知Q图，求外载及M图(梁上无集中力偶)。,1m,1m,2m,2,3,1,A,B,C,D,E,(kN),1KN,3KN,2KN,例4已知Q图，求外载及M图(梁上无集中力偶)。,A,B,C,D,叠加原理：当梁上同时作用几个载荷时，梁的弯矩为每个载荷单独作用时所引起弯矩的代数和。,叠加法：应用叠加原理计算梁的内力
10、和反力的方法。 前提条件：小变形，材料服从虎克定律。,步骤： 分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； 将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。,4-6 叠加法作弯矩图（10）,例4-11 按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力F作用在梁AB的中点处）。,q,F,=,+,A,B,=,+,2a,例4-12 作下列图示梁的内力图。,F,Fl,A,B,=,+,=,+,C,F,Fl,A,B,=,+,C,=,+,*刚架：具有刚节点的杆件结构(不用列方程的方法讲）。,节点：杆件与杆件之间的连接区域。,例作图示刚架的内力图。,解：(1) 求支座反力,刚节点：不能相对转动，也不能相对移动。,铰结点：能
11、相对转动，不能相对移动。,(2) 对各杆分段求内力,A,B,C,作业3 全部用简易法作内力图；先求约束力，再分段作图，要求线条清晰、整洁。 4-2 imn 4-14 b,作业4 ： 4-5 b(简易法) 4-16 (b)（叠加法) 曲杆 4-11 a(列方程）,刚架 4-10 b(简易法),一、选择题,1、平面弯曲变形的特征是 。 （A）弯曲时横截面仍保持为平面。 （B）弯曲载荷均作用在同一平面内。 （C）弯曲变形后的轴线是一条平面曲线。 （D）弯曲变形后的轴线与载荷作用面共面。,2、在下列诸因素中，梁的内力图通常与 有关。 （A）横截面形状。 （B）横截面面积。 （C）梁的材料。 （D）载荷
12、作用位置。,D,D,本 章 习 题,弯曲内力,3、一跨度为L的简支梁，若仅承受一个集中力P，当P在梁上任意移动时，梁内产生的最大剪力FSmax和最大弯矩Mmax分别满足 。 （A） Qmax P， Mmax PL/2 （B） Qmax P/2，Mmax PL/4 （C） Qmax P， Mmax PL/4 （D） Qmax P/2，Mmax PL/2,4、一跨度为L的简支梁，若仅承受一个集中力偶M0，当M0在梁上任意移动时，梁内产生的最大剪力FSmax和最大弯矩Mmax分别为 。 （A） Qmax =0， Mmax = M0 （B） Qmax =0， Mmax = M0 /2 （C） Qmax
13、 = M0 /l ，Mmax = M0 （D） Qmax = M0 /l ，Mmax = M0 /2,C,A,弯曲内力,5、在下列说法中， 是正确的。 （A）当悬臂梁只承受集中力时，梁内无弯矩。 （B）当悬臂梁只承受集中力偶时，梁内无剪力。 （C）当简支梁只承受集中力时，梁内无弯矩。 （D）当简支梁只承受集中力偶时，梁内无剪力。,6、用叠加法求弯曲内力的必要条件是 。 （A）线弹性材料。 （B）小变形。 （C）线弹性材料且小变形。 （D）小变形且受弯杆件为直杆。,B,C,弯曲内力,7、若梁的受力情况对称于中央截面，则中央截面上的 。 （A）剪力为零，弯矩不为零。 （B）剪力不为零，弯矩为零。
14、（C）剪力和弯矩均为零。 （D）剪力和弯矩均不为零。,8、若梁的受力情况对称于中央截面，则该梁的内力图的特点是 。 （A）M图对称，FS图反对称。 （B）M图反对称， FS图对称。 （C）M， FS图均对称。 （D）M， FS图均是反对称。,A,A,弯曲内力,9、若梁的受力情况关于中央截面反对称，则中央截面上 。 （A）剪力为零，弯矩不为零。 （B）剪力不为零，弯矩为零。 （C）剪力和弯矩均为零。 （D）剪力和弯矩均不为零。,10、若梁的受力情况关于中央截面反对称，则该梁的内力图的特点是 。 （A）M图反对称， FS图对称。 （B）M图对称， FS图反对称。 （C）M， FS图均对称。 （D）M， FS图均是反对称。,B,A,弯曲内力,2、,q,FS,M,a,a,2a,2qa,2qa2,qa,5qa,2qa,3qa,qa,2qa2,2qa2,+,弯曲内力,二、作图题,3、,FS,M,qa/2,+,
