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1、第一章 静电场 1. 已知真空中有三个点电荷 1 1Cq ， 2 1Cq ， 3 4Cq ，分别位于 (1,0,0) ， (0,1,0) ，( 1,0,0) 点，求 (1,1,1) 点的电场强度。 答案 ：01 1 7 1 024 x y ze e eE 2. 在直角坐标系中电荷分布为 ( , , )x yz ，试求电场强度 E ，其中 0 ,0( , , ) 0 , 0xx y z x 提示 ：本题用高斯定理 0000,02( , , ),02xxexE x y zex 3. 已知某空间电场强度 ( 2 ) x y zE yz x e xze xye ，问： (1)该电场可能是静态电场吗？
2、(2)如果是静电场，求与之对应的电位分布。 答案 ： 可能； 2x xyz C 4. 已知电场强度为 45yzE e e ，试求点 (0,0,0) 与点 (1,2,4) 之间的电压。 答案 ： -64V 5. 一点电荷 q 放在无界均匀介质中的一个球形空腔中心，设介质的介电常数为 ，空腔的半径为 a ，求空腔表面的极化电荷面密度。 答案 ：02 ()4qa 提示 ： 介质中的电场可以看成是点电荷 q 及极化电荷 在真空中产生的电场 ， 即 204qE a ， 该电场也可用高斯定理直接求得24qE a， 上两式联立可求得 6. 高压同轴线的最佳尺寸设计：一个高压同轴圆柱电缆，外导体的内半径为2c
3、m ，内外导体间电介质的击穿场强为 200kV/cm 。内导体的半径 a ，其值可以自由选定，但有一最佳值。因为若 a 太大，内外导体的间隙就变得很小，以至在给定的电压下，最大的 E 会超过电介质的击穿场强。另一方面，由于 E 的最大值mE 总是在内导体表面上，当 a 很小 时，其表面的 E 必定很大。试问 a 为何值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压值？ 答案 ： 2 2 cmRa ee ； max 1.48kVU 提示 ：内导体表面场强最大 0m ax 2ln( / )UE a R a， 由 0=0Ua 可求得 a 值 和最大电压值 。 7. 一个半径为 6cm 的导体球，要使得它在
4、空气中带电且不放电，试求导体球所能带的最大电荷量及导体球表面电位。已知空气的击穿场强为 63 10 V/m 。 答案 ： 7max 12 10 Cq ； 418 10 V 8. 一个半径为 R 介质球，介电常数为 ，球内的极化强度 ( / ) rP K r e ，其中 K 为常数。试计算 (1)束缚电荷体密度和面密度； (2)自由电荷密度； (3)球内、外的电场和电位分布。 提示， 按定义来求 束缚电荷体密度和面密度 ，注意要使用 球 坐 标关系式。P KR ，2P Kr ； 自 由 电 荷 密 度 利 用 物 性 方 程 来 求00 DD E P E P ；20 1()f K r 102 2
5、00()()()()rrKE e r RrRKE e r Rr 10 0 0200ln( ) ( )()K K R rRrRK rRr 9. 从静电场基本性质出发，证明当电介质均匀时，极化电荷密度 P 存在的条件是自由电荷的体密度 不为零，且有关系式 0(1 / )P 。 提示 ：利用物性方程 。 10. 试证明不均匀电介质 在没有自由电荷体密度时可能有极化电荷体密度，并导出极化电荷 体密度 P 的表示式。 提示 ：利用物性方程 。 11. 半径为 a 的均匀带电球壳。如图所示，电荷面密度 为常数，外包一层厚度为 d ，介电常数为 的介质，求介质内外的电场强度。 答案 ：222200,( ,
6、, ) ,rrraaE x y z e a r a drae r a dr 12. 两同心导体球壳半径分别为 a 与 b ，两导体之间介质的介电常数为 ，内、外导体球壳电位为 U 。求两导体球壳之间的电场强度和球壳面上的自由电荷面密度。 答案 ：2111rUEerab ； 2111nrr a r a r a UDE aab 2111nrr b r b r bUDE bab 13. 有一分区均匀电介质电场，区域 1( 0z )中的相对介电常数为 1r ，区域2( 0z )中的相对介 电常数为 2r 。已知 1 2 0 1 0 5 0x y zE e e e ，求 1D ， 2E 和 2D 。 答
7、案 ：因为是电介质电场 ，所以在分界面上没有自由电荷分布 。 1 1 0 1 0 1 02 0 e 1 0 e 5 0 er x r y r zD ； 2 2 0 2 0 1 02 0 e 1 0 e 5 0 er x r y r zD 1222 0 e 1 0 e 5 0 erx y zrE 14. 一个空气平行板电容器的板间距为 d ，极板面积为 S ，两板之间所加电压为0U 。如果保持所加电源不变，使两板的间距扩大到 10d 。求下面每一个量变化的倍数： 0U 、 C 、 E 、 D 、 Q 、极板面电荷密度 、电容器储存的能量 eW 。 答案 ： 0U 不变，其余量均是原来的十分之一；
8、 ad0 15. 面积为 A ，间距为 d 的平板电容器电压为 U ，介电常数为 ，厚度为 t 的介质板分别如图 (a)、 (b)所示的方式放置在导电平板之间。分别计算两种情况下电容器中电场及电荷的分布。 答案 ： (a)导体 板 之间介质的电场1 ()rUE t d t ， 其中0r 导体板之间空气的电场2 ()rr UE t d t 上 、 下导体 表面上的电荷面密度为()r Ut d t (b)导体板之间的电场为 UE d 上 、下导体板与空气 界面 上的电荷面密度为10Ud上 、下导体板与 介质 界面 上的电荷面密度为2 Ud16. 已知 空气中，某种球对称分布的电荷产生的电位在球坐标
9、系中的表达式为( ) ( / )ebrr a r (a ， b 均为常数 )，单位 V，求体电荷密度 。 提示 ： 20 ，球坐标 ， 20 ebrabr 17. 写出下列静电场的边值问题： (1) 电荷体密度分别为 1 和 2 ，半径分别为 a 与 b 的双层同心带电球体，如图 (a)所示； (2) 在两 同心导体球壳间，左半部和右半部分别填充介电常数为 1 与 2 的均匀介质，内球壳带总电荷量为 Q ，外球壳接地，如图 (b)所示； (3) 半径分别为 a 与 b 的无限长空心同轴圆柱面导体，内圆柱表面上单位长Ut d dU( b )( a )度的电量为 ，外圆柱面导体接地，如图 (c)所
10、示。 ab1 2 ab1 2Q abrz( a ) ( b ) ( c )答案 (1)边值问题 如下 ： 2 1102 2202312233120032001 0( 0 )()0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0()r a r ar b r brr a r arb rbrraa r brbrrrrrrrrrr 有 界(2)边值问题如下： 211222121212120 ( , )0 ( , )( ) ( ) 0()d d =r b r ba r ba r brrS S Qrr 左 侧 右 侧介 质 内介 质 内在 介 质 分 界 面 上 或者，由于 12 ，故可简化为： 2120
11、( )0drbSarbQSr (3)边值问题如下： 200 ( )02baaba 18. 静电场边值问题中，第一类齐次边界条件处电场强度的方向与边界成什么关系？ 答 ：第一类齐次边界条件 0S ，说明此边界面为等位面，沿边界面的切线无电势改变，所以 t 0E ，即电场强度与边界法线方向一致。 19. 静电场边值问题中，第二类齐次边界条件处电场强度的方向与边界成什么关系？ 答： 第二类齐次边界条件 0Sn ，所以 n 0E n ，即电场强度与边界切线方向一致。 20. 两个点电荷分别位于两种介质中，两种介质的分界面为无限大平面，介电常数分别为 10 和 202 ，点电荷 1q 与 2q 相对于界
12、面为镜像位置，相距为 2h 。求 (1)点电荷 1q 与边界距离一半处的电位； (2) 1q 所受的力。 提示：镜像 +叠加。 12149A qqh ； 21 1 221248q q qF h 根据叠加定理和镜像法，让 1q 与 2q 分别单独作用 。 当 1q 单独作用时 ， 其镜像电荷 1q 为 121 1 11213q q q 1 1 1000813 18 4 4 22q q qhhh 当 2q 单独作用时 ， 其镜像电荷 2q 为 12 2 2122 23q q q 1 200233 942q qhh 1204= 9qqh 21. 两同心导体球壳 半径分别为 a 、 b ，两导体之间有
13、两层介质，介电常数为 1 ，2 ，介质界面半径为 c ，求两导体球壳之间的电容。 答案 ：124 1 1 1 1 1 1QCUa c c b 22. 若将某对称的三芯电缆中三个导体相联，测得导体与铅皮间的电容为0.051F ，若将电缆中的两导体与铅皮相联，它们与另一导体 间的电容为0.037 F ，求： (1)电缆的各部分电容； (2)每一相的工作电容； (3)若在导体 1、 2之间加直流电压 100V ，求导体每单位长度的电荷量。 答案 ： 1 0 2 0 3 0 0 .0 1 7 FC C C ， 1 3 2 3 1 2 0 .0 1 FC C C ； 每 相 工 作 电 容0.047 FC； 01 2 .3 5 C2q CU 23. 图中所示为静电场情况下电介质分界面上某种矢量的场图，已知界面上没有自由面电荷，试根据电介质分界面的衔接条件，判断图中对应的矢量是电场强度和电位移矢量中的哪一个，并判断两种电介质介电常数的相对大小。 答案
