《第 9 章 弯曲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第 9 章 弯曲（155页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 9 章 弯 曲,梁：在外力作用下主要发生弯曲变形的杆件。,9-1 剪力和弯矩. 剪力和弯矩图,由上图可知，其横截面上的内力根据截面一边分离体的平衡条件有：位于横截面平面内的剪力FS 和位于纵向平面内的弯矩M。,现分析如何求解剪力FS和弯矩M。,分析梁左段任意横截面mm上的剪力，由,Fy = 0 ，FA - FS = 0,也可取横截面的右边一段梁作为分离体计算，结果相同，但稍复杂。,试求下图所示悬臂梁之任意横截面m-m上的剪力和弯矩。,思考题9-1,思考题9-1参考答案：,试求图示截面上（1-1、2-2、3-3）的剪力和弯矩。,解：本题可从右边开始求解，也可从左边开始求 解。从右边开始可先不
2、求支座A处的反力。,取右段分析，考虑1-1截 面，有,Fy=0，FS1 - 2 =0，FS1 = 2 kN,例题 9-1,取右段分析，考虑2-2截面，有,Fy=0， FS2 - 2 =0， FS2 = 2 kN,MC2（F）=0， -M2 - 2 - 21= 0 M2 = - 4 kNm,例题 9-1,取右段分析，考虑3-3截面，有,Fy=0， FS3 - 2 =0， FS3 = 2 kN,MC3（F）=0， -M3 - 2 - 22= 0 M3 = - 6 kNm,例题9-1,为了验证结果的正确性，可从左边开始进行分析。,先求A处的支座约束力，有,Fx=0，FAx= 0,下面以左段为研究对象
3、，分析3-3截面上的剪力和弯矩。,Fy=0，FAy - 2 = 0,FAy = 2 kN,MA（F）=0， MA - 2 - 22= 0 MA = 6 kNm,例题 9-1,此结果与取右段分析的结果相同。, Fx=0，FAx= 0,Fy=0，FAy FS3 = 0,FS3=FAy = 2 kN,MA（F）=0， MA +M3= 0 M3=-MA = - 6 kNm,例题 9-1,从上例看到，梁的横截面上的内力，一般而言，在不同的横截面上有不同的数值。因此有必要作出梁的内力图剪力图和弯矩图，以直观地表示这些内力随横截面位置变化的情况。,解：取轴x与梁的轴线重 合，坐标原点取在梁的左端。以坐标x表
4、示横截面的位置。只要求得x处横截面上的剪力方程和弯矩方 程，即可画出其内力图。,试作图示梁的剪力图和弯矩图。,例题 9-2,根据左段分离体的平衡条件便可列出剪力方程和弯矩方程。有,FS(x)=-qx (0xl),M (x)=-q x2/2 (0xl),由此可根据方程作图，剪力为x的一次函数，即剪力图为一斜直线，而弯矩则为x的二次函数，弯矩图为二次抛物线。,例题 9-2,右图所示为一受满布均布荷载的简支梁，试作剪力图和弯矩图。,解：此梁的支座约束力根据对称性可知：,FA=FB=ql/2,梁的剪力方程和弯矩方程分别为,FS(x)=ql/2-qx (0xl),M(x)=qlx/2-qx2/2 (0x
5、l),例题 9-3,例题 9-3,图示为一受集中荷载F作用的简支梁。试作其剪力图和弯矩图。,解：根据整体平衡，求得支座约束力,FA=Fb/l, FB=Fa/l,梁上的集中荷载将梁分为AC和CB两段，根据每段内任意横截面左侧分离体的受力图容易看出，两段的内力方程不会相同。,例题 9-4,AC段：,CB段：,例题 9-4,AC段：,CB段：,例题 9-4,从剪力图上看到，在集中力作用处剪力发生突变，突变的值等于集中力的大小。,发生这种情况是由于把实际上分布在很短区间内的分布力，抽象成了作用于一点的集中 力。,如下图所示。,例题 9-4,若将集中力F看为Dx区间上均匀的分布荷载，如左图所示，则在Dx
6、梁段内，剪力从Fb/l沿斜直线过度到 - Fa/l，不存在突变现象。,例题 9-4,简支梁如图所示。试作该梁的剪力图和弯矩图。,解：先求支座约束力,例题 9-5,分段列出剪力方程和弯矩方程：,AC段：,CB段：,例题 9-5,AC段：,CB段：,例题 9-5,由弯矩图看到，在集中力偶作用处弯矩值发生突变，突变量等于集中力偶之矩。,例题 9-5,通过以上四个例题的分析，你能否总结一些画剪力图和弯矩图的规律吗？,思考题9-2,试判别下述剪力图和弯矩图是否正确？,思考题9-3,思考题9-3参考答案：,剪力图正确， 弯矩图错误。 弯矩图改正 如图所示。,试求图示各指定的横截面上的剪力和弯矩，并作其剪力
7、图和弯矩图。,思考题9-4,思考题9-4参考答案：,FS1=0, M1=0,FS2= - qa , M2 = -qa2/2,FS3 = - qa , M3 = - qa2/2,FS4 = - qa , M4 = - 3qa2/2,思考题9-4参考答案：,求图示折杆中各指定的横截面上的内力。,思考题9-5,F2=10 kN , FS2=0 , M2= -10 kN m,思考题9-5参考答案：,1-1 截面,2-2 截面,3-3 截面,F1=10 kN,FS1=0,M1= -10 kN m,F3=0, FS3=10kN , M3= -10 kN m,作剪力图和弯矩图。,思考题9-6,思考题9-6参
8、考答案：,9-2 剪力图和弯矩图的进一步研究,载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,2. 载荷集度、剪力图、弯矩图之间的规律应用,1. 微分关系的推导,规定载荷集度q(x)向上为正。,1. 微分关系的推导,dx段载荷集度分布均匀。,载荷集度q(x)是x的连续函数。,Fy0 FS(x) + q(x) dx - FS(x) + dFS (x) = 0, (1), Mc = 0 M(x) + dM(x) - M(x) - FS (x) dx q(x) dx dx / 2 = 0, (2), (3),2. 载荷集度、剪力图、弯矩图之间的规律,归 纳：,(1) 图 形 规 律,(2) 突 变 规 律,(a
9、) 在有集中力作用处,剪力图突变,弯矩图有折转。,(b) 在有集中力偶作用处,剪力图无变化,弯矩图有突变。,(3) 绝对值最大的弯矩既可能发生在剪力为零的极值点处,也可能发生在集中力和集中力偶作用处。,3. 应用分析,思考题 9-1,下面的剪力图和弯矩图有无错误，请改正。,思考题9-1答案,思考题 9-2,下面的剪力图和弯矩图有无错误，请改正。,思考题9-2答案,9-2 弯曲正应力,9.2.1 横力弯曲与纯弯曲的概念,先观察下列各组图,某一区段内无剪力只有弯矩,整个梁内只有弯矩而无剪力,(b)、(c)图中这种梁段和这种梁的弯曲(横截面上只有弯矩而无剪力）称为纯弯曲。,(a)图中这种梁段和这种梁
10、的弯曲(横截面上 既有弯矩又有剪力）称为横力弯曲。,9.2.2 单一材料的弯曲正应力,(3) 荷载作用在纵向对称平面内。,1. 分析模型：,(1) 单一材料窄高矩形截面梁（h b） ；,(2) 细长梁（lh 10）；,平衡条件:,2. 实验研究,(1)各横向周线仍各在一个平面内，只是各自绕着与弯曲平面垂直的轴转动了一个角度；,(2) 纵向线段变弯，但仍与横向周线垂直；,(3) 部分纵向线段伸长，部分纵向线段缩短。,直梁纯弯曲时，原为平面的横截面仍保持为平面，且仍垂直于弯曲后梁的轴线，只是相邻横截面各自绕着于弯曲平面垂直的某一根横向轴中性轴作相对转动。,直梁纯弯曲时的平面假设：,3. 弯曲正应力
11、的计算,(1) 几何方程:,(1),(2) 物理方程:,(2),所以，中性轴通过截面的形心,See p72*(5-5),EIz为抗弯刚度,(a) 几何方面：平面假设； (b) 物理方面：各纵向纤维间互不挤压，材料在线弹性范围内工作，材料在拉伸和压缩时的弹性模量相等。,公式的适用条件：,等直梁纯弯曲正应力的计算,回顾：,4. 轴惯性矩（二次矩）,空心矩形的惯性矩？,圆的惯性矩？,如图所示，当梁在水平面内弯曲时，中性轴是哪个轴？截面对此轴的惯性矩表达式是什么？,思考题 9-3,小 结：,1. 线弹性, 小变形, 外力作用在纵向对称平面内;,2. 线应变和正应力在横截面上的分布规律;,3. 弯曲正应
12、力的计算。,5. 轴惯性矩及抗弯截面系数,对中性轴z 的抗弯截面系数,（单位为:mm3或m3）,(1) 实心矩形的惯性矩及抗弯截面系数,(2) 空心矩形的惯性矩及抗弯截面系数,(3) 实心圆截面的惯性矩及抗弯截面系数,(4) 空心圆截面的惯性矩,(b) 物理方面：各纵向纤维间互不挤压，材料在线弹性范围内工作，材料在拉伸和压缩时的弹性模量相等。,6. 纯弯曲理论的简单回顾,(1) 公式 的适用条件：,(a) 几何方面：平面假设；,(2) 等直梁纯弯曲正应力的计算见下表。,等直梁纯弯曲正应力的计算,7. 纯弯曲理论的推广,横力弯曲时，由于切应力的存在,梁的横截面将发生翘曲。此外在与中性层平行的纵截
13、面上,还有由横向力引起的挤压应力。工程中的梁,当跨高比较大时，按纯弯曲理论计算误差不大。,对于图示 T形截面梁,求横截面上的最大拉应力和最大压应力.已知:Iz=290.610-8m4,例题 9-1,解：,B 截面上：,C 截面上：,例题 9-1,例题 9-1,若例9-1中的梁截面为工字形，则横截面的最大拉应力与最大压应力是否一定在弯矩绝对值最大的横截面上？,思考题 9-4,如何快捷地计算组合图形对任意轴的惯性矩？,可利用平行移轴公式。,若图中两个矩形对其过形心的水平轴的惯性矩I1已知，它对Z轴的惯性矩I2与I1有何关系？,9-3 求惯性矩的平行移轴公式,同理可得：,例 一T形截面，求其对中性轴
14、 z的截面二次矩。,解 将T形截面视为由矩形和矩形组成。（1）确定形心和中性轴的位置。,（2）求各组成部分对中性轴z的截面二次矩,（3）T形截面对中性轴的截面二次矩为：,(1) 根据求惯性矩的平行移轴公式，是否可得如下结论：图形对于形心轴的惯性矩是图形对于与该形心轴平行的轴之惯性矩中的最小者？ (2) 求图示截面对于形心轴z的惯性矩。,思考题 9-5,9-4 弯曲切应力,横力弯曲的切应力特点：上下表面无切应力， 横截面上的切应力不是均匀分布。,假想一下切应力的分布规律,9.4.1 单一材料矩形截面梁的弯曲切应力,(3) 荷载作用在纵向对称平面内。,1. 分析模型：,(1) 单一材料窄高矩形截面
15、梁（h b） ；,(2) 细长梁（lh 10）；,2. 分离体平衡分析：,微小单元体上无分布力,3. 应力分布的合理假设:,(1) 应力与侧边方向平行；,(2) 应力沿截面宽度方向均匀分布。,(3) 对hb的截面而言，此假设为合理的。,为什么关于切应力分布的假设是合理的？,答：根据应力互等定理可知关于应力方向的假设是合理的。又对于狭长矩形应力沿宽度的变化不可能大，所以假设应力沿宽度不变是合理的。,思考题 9-6,得,问题：上式中，Sz*与图中哪个部分对应？ 该式可求什么位置的切应力？,切应力计算公式:,其中： FS 所求切应力截面上的剪力 Iz 整个截面对中性轴的惯性矩 b 所求切应力点处横截
16、面的宽度 Sz* 过所求切应力点作中性轴的平行线，将横截面分为两部分，其中任意一部分对中性轴的静矩。,注意：实际计算中直接由剪力FS的方向确定t 的方向。,4. 单一材料矩形截面梁的切应力分布与计算:,计算式：,5. 切应力分析方法小结:,横截面上的应力,9.4.2 型截面梁,对矩形截面梁所作的切应力分布假设依然适用。,1. 腹板部分,2. 顶板部分,(1) 竖直切应力分析,(b) 对顶板竖直切应力大小的判断,()根据腹板承受的剪力判断,结论：顶板部分竖直切应力分量很小。,(a) 切应力分布假设对顶板竖直切应力不再适用；,()根据切应力互等定理,(2) 水平切应力分析,3. 型截面梁的切应力分布,见李庆华编材料力学（第三版）（本校出版）,9-5 梁的强度条件,Wz 抗弯截面系数,(1) 等截面直梁，中性轴为横截面对称轴,故由sma
