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1、第五章 控制系统的频域分析,第一节 引言 第二节 频率特性的基本概念 第三节 频率特性的极坐标图 第四节 频率特性的对数极坐标图 第五节 控制系统的奈氏图分析 第六节 控制系统的伯德图分析 第七节 闭环系统频率特性分析,第一节 引言 频率特性是指一个系统对不同频率的正弦波输入时的响应特性。系统的频率特性与其性能有密切关系。通过研究频率特性可掌握系统性能。用研究频率特性的方法研究控制系统称为控制系统的频域分析方法。它是经典控制理论的一个重要组成部分。频率特性的方法对一切工程上的系统都适用，如光学，电子，机械等系统。,第二节 频率特性的基本概念 对线性定常系统,其系统频率特性函数 1. 极坐标形式
2、： 幅频特性： 相频特性：,2.直角坐标形式：,4. 求取频率特性函数： 据频率特性函数,3. 两种形式间的转换：,例5-1 求一惯性环节的频率特性。 设这个惯性环节为,解：,若换一种方式，设输入 ，则用拉氏反变换可求出输出y(t)为,在稳态时（即t ）,，输出y(t)中的第一项（系统的瞬,态响应）将等于零。所以有,将输入 也用复数的指数形式表示,第三节 频率特性的极坐标图 一.基本概念 频率特性分析法图解法方便迅速求出近似解 两种图示法： 极坐标图示法和对数极坐标图示法。 端点A形成轨迹曲线，称为Gj的极坐标图（幅相特性曲线）。 极坐标图,极轴,0,A,若用直角坐标表示：,在直角坐标上表示的
3、曲线也称为极坐标图,二. 典型环节频率特性的极坐标图 1. 比例环节,2. 积分环节,3. 微分环节,4. 惯性环节：,曲线为一个半圆,5. 二阶振荡环节：,6. 迟延环节：,三.开环系统频率特性极坐标图奈氏图 奈氏图非常有用，它是用开环频率特性分析闭环控制系统性能 主要是稳定性。 开环系统频率特性,开环传函的求法：打开闭环求通路之积 Gi,开环传函的表示：,奈氏图绘制：取 逐点计算M、或R、I，描点绘线成图。,手工绘制；用计算机绘制 例5-2 绘制 频率特性极坐标图 解：,四.典型系统奈氏图 1) 0 型系统的奈氏图,其频率特性,2) 1型系统的奈氏图,3) 2型系统的奈氏图,小结： 0，1
4、，2型系统的奈氏图曲线在下都终于原点，终点切线为nm。 但起点不同，顺时针在s平面上旋转。 系统类型 (0) () () 0 0 -(n-m)90 1 -90 -(n-m)90 2 -180 -(n-m)90,第四节 频率特性的对数坐标图 一.基本概念 1. 对数坐标图比普通极坐标图优越。 因为取对数后乘除变加减，指数曲线变直线。 2. 常见两种对数坐标图伯德(Bode)图和对幅相频率特性图。 伯德图由两个图组成：对数幅频特性图；对数相频特性图，都以频率为横轴变量。 对数幅相特性图以对数幅值为纵轴,相角为横轴。,伯德图图示法：,互为倒数的对数频率特性图的性质： 图形关于实轴对称，因为互为倒数的
5、对数频率特性的L、是大小相等，符号相反。 证明：,对数幅相图图示法： 作法：可先作伯德图得L、 ，在作对数幅相图,二.典型环节频率特性的伯德图 1. 比例环节：,1 2 5 10 20 50 100,1 2 5 10 20 50 100,0,0,10,20,90,45,-45,-90,L() (db),() (),K1,K=1,积分环节,微分环节,2. 积分环节 和微分环节s：,3.惯性环节 和比例微分环节(Ts+1)：,1）惯性环节,分析：, 渐近线与原曲线的误差,2）比例微分环节 与 互为倒数，根据互为倒数的频率特性图的性质,4. 二阶环节,1）当时成为二阶惯性环节和二阶微分环节,2）当时
6、为二阶振荡环节sns(n) （现主要讨论二阶振荡环节，其倒数环节不常用）,分析： i n 低频渐近线L； ii n高频渐近线,iii 对L曲线影响很大，主要集中在 处 。 n为转角频率。,iv 谐振频率与谐振幅值,v 渐近线与精确曲线之间的误差见下图5-1。,图5-1 二阶振荡环节幅频特性误差曲线,5. 延迟环节,三.开环系统频率特性对数坐标图 伯德（Bode）图 绘制Bode图的步骤： 1. 将整理成典型环节乘积形式； 2. 找出各环节的转角频率，并从大到小排列； 3. 画L渐近线，从左至右，每遇一个转角频率便改变斜率，如遇一阶惯性 则dBdec，遇 ，为4dBdec。,4. 画精确曲线：即
7、在转角频率处对渐近线修正对一阶环节：在转角频率处-3db，在左右一倍频处-1db。 对二阶环节按图5-1修正 5. 计算相频特性值： 取若干点，N。计算各i值 i ：分子因式相角和; :分母因式相角和 6. 连接各i，描成曲线。,2）转角频率 3）画渐近线 从环节至环节 4）修正曲线 在转角频率处-3db 5）计算 画， 如1=-210,解： 1）,四. 最小相位系统和非最小相位系统 定义： 最小相位系统开环传函零极点不在右半平面。 非最小相位系统 有开环传函零极点在右半平面。 之所以称最小相位系统，顾名思义相位变化最小。 例： 两者幅频特性相同，但相频特性不同。,-90,0,0,-180,L
8、() (db),(),L1=L2,1(),2(),对于最小相位系统的判别 看开环零极点； 看时 相角极限 若 则为最小相位系统，否若则为非最小相位系统。 上例：,含延迟环节的系统是典型非最小相位系统。 非最小相位系统含有较大相位滞后，很难控制。所以非最小相位系统是我们所不期望的。但是计算机控制系统常常是非最小相位系统，使我们不得不面对它。,第五节 控制系统的奈氏图分析 一.奈氏判据的基本原理 奈氏判据频域分析中最重要的稳定性判据。叙述见后两节。 先讨论三个重要概念： 1. 特征函数的零点和极点 2. 幅角原理 3. 奈氏轨迹及其映射,1. 特征函数的零点和极点 特征函数 对应的闭环系统,推论：
9、 Fs的极点是开环传函极点； Fs的零点是闭环传函极点，若要闭环稳定，则Fs的全部零点必须位于s左半平面。,即为闭环系统的特征方程。,2. 幅角原理 奈氏判据的理论基础是复变函数的幅角原理。应用幅角原理可导出奈氏判据的重要公式： 式中 Zs平面上被封闭曲线C包围的Fs的零点数 Ps平面上被封闭曲线C包围的Fs的极点数 N F平面中封闭曲线C包围原点的次数,s平面,F平面,j,jIm,Re,C,C,-PiI,-PiII,-ZiI,-ZiII,s,(s+ZiI),F(s),(s+ZiII),证：设封闭曲线C不通过s平面上任一零极点，且包围Z个零点P个极点，记为,未被包围的零极点记为,对于任一点s有
10、F平面映射,当变点s沿C顺时针移动一圈，则有,3. 奈氏轨迹及其映射 若选取适当的封闭曲线将s平面右半平面包围起来，则变点s顺时针方向沿虚轴和半径为的右半圈绕一周形成的封闭曲线称为Nyquist轨迹 ，简称奈氏轨迹。,奈氏轨迹在平面的映射也为一个封闭曲线， 称为奈氏曲线, 例如 ：上半虚轴映射为 ：下半虚轴映射为 右半圈映射为,，因为当,回忆幅角原理 N=PZ，F的零点即闭环极点。,若考虑 平面，则相当于 曲线左移一个单位的奈氏图，即开环幅相频率特性，原F平面原点对应于GH平面, j0点 若要系统稳定，则Z=PN=0，N为GH 映射曲线绕,j0点次数,若要稳定，闭环极点应不在s右半平面。若以奈
11、氏轨迹为封闭曲线C，则它所包围的s右半平面零点数Z=0，才有系统稳定，据幅角原理有Z=PN=0 （N为奈氏曲线包围坐标原点的次数， P为奈氏轨迹包围的开环极点数）,二. 奈氏稳定性判据一 若奈氏曲线 逆时针包围, j0点的次数N等于位于右半平面上开环极点数P。则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。 约束条件：在原点和虚轴上无零极点。奈氏轨迹不能穿过零极点。 讨论：当奈氏曲线通过,j0点，则表示闭环系统临界稳定，也归为不稳定。,应用奈氏稳定性判据一的步骤： 绘 的奈氏图，可先绘 :一段，再以实轴对称的方法添上:的一段； 计算奈氏曲线包围,j0点的次数N 由给定的Gss确定右半平面上开环极点数 P
12、计算 PN ，若 PN =0 则闭环稳定,例： 解：作奈氏轨迹如下图示: N=1， P=1 有Z=NP=0 故系统稳定,三. 奈氏稳定性判据二 若增补奈氏曲线 当:逆时针包围, j0点的次数N等于位于右半平面上开环极点数P。则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。 所谓增补就是使奈氏轨迹绕开位于原点和虚轴上的开环零极点。 增补奈氏轨迹：,增补奈氏轨迹映射出的奈氏轨迹分析：,可见增补奈氏轨迹映射为半径的圆曲线变点相角变化从M90 M90 如 M=1， -M：90090 M=2时， -M：180 0 180,一型系统的奈氏曲线 二型系统的奈氏曲线,（-M：1800 -180）,（-M：900 -90）
13、,例：设开环传函 试用奈氏判据判定系统稳定性 解：作奈氏曲线考虑增补 当:顺时针 包围,j0点2次， N=2 P=0 Z=2 不稳定,=,=,=-,GH平面,(-1,j0),试判定闭环系统稳定性 解：作增补奈氏曲线 N=0，不包围, j0点 P=0，Z=N-P=0 闭环稳定,例：,补充：实用奈氏判据 若开环系统有q个 极点位于s右半平面，则当:0时，穿越段的次数 ，则闭环稳定，否则不稳定。（化数包围圈数为穿越次数） 穿越次数的计算按下定义： 半穿越 正穿越 负穿越 记法： 统计：,GH平面,例：,解：,稳定,四.奈氏判据的应用问题 1.最小相位系统的稳定性判别 最小相位系统右半s平面无开环极点。 最小相位系统又称开环稳定系统。 奈氏判据应用于最小相位系统时 P=0 Z 才有稳定 只需判断奈氏曲线是否包围, j0点，包围则不稳定，不包围则稳定。,因奈氏曲线包围(-1, j0)点可判定系统不稳。,=,=,GH平面,(-1, j0),例6-5：,2. 利用奈氏判据确定稳定系统的可变参数取值范围 （象劳斯判据一样） 利用奈氏曲线穿过, j0点来确定。 例5-7：,求Kp的取值范围（Kp ）,解：,据奈氏判据，稳定的p：,3. 具有迟延环节的系统稳定性分析 设：,模相等, 的相角等于 的相角减去 或者说顺时针转动 。可先作
