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1、一、 集合的相关概念1. 满足共同属性的对象的全体叫做集合，集合的研究对象叫元素. 例：军训前学校通知:8 月 15 日 8 点,高一年级学生到操场集合进行军训 .试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？每个学生与全体高一学生之间的关系？问题：世界上最高的山能不能构成一个集合？世界上的高山能不能构成一个集合？我们把研究的对象统称为“元素”, 那么把一些元素组成的总体叫 “集合”.2. 元素与集合的关系有两种：属于 ，不属于元素的特性（判断是否为集合的依据）：（1）确定性：给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性.（2）无序
2、性：即集合中的元素是没有顺序的.（3）互异性：一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性.结论：1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A ，B ，C，D ，集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a，b，c ，d，2、元素与集合的关系a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A ，记作 aA ，a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 aA 3、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 （2）元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两
3、个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。比如：book 中的字母构成的集合（3）元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。3.有限集、无限集、空集、单元素集4.常用数集及其记法:自然数集记作 ,正整数集记作 或 ，整数集记作 ,N*N有理数集记作 ,实数集记作 R.Q注意：（1） 都是单元素集)(ba（2） 的区别,0（3） 具有全体之意例 1 判断以下元素的全体是否组成集合：（1）大于 3 小于 11 的偶数；（ ） （2）我国的小河流； ( )（3）非负奇数； （ ） （4）本校
4、2009 级新生；（ ）（5）血压很高的人； （ ） （6）著名的数学家； （ ）例题 2 下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于 6 的所有整数 B.高中数学的所有难题C.被 3 除余 2 的所有整数 D.函数 y= x1图象上所有的点练习1.下列条件能形成集合的是( D )A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人C.中国的富翁 D.某公司的全体员工2下列结论中，不正确的是( )A.若 aN，则-a N B.若 aZ，则 a2ZC.若 a Q，则a Q D.若 aR，则 33、你能否确定，你所在班级中，高个子同学构成的集合？并说明理由。你能否确定，你所在班级中，最高的 3 位同学构成的集合
5、？4、 填 空 ：或用 符 号 （1） -3 N； （2）3.14 Q； （3） 1 Q； （4）0 ；（5） 3 Q； （6） 21 R； （7）1 N+； （8） R。5、下列对象能否组成集合:(1)数组 1、3、5、7;(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点;(3)满足 3x-2x+3 的全体实数 ;(4)所有直角三角形;(5)美国 NBA 的著名篮球明星;(6)所有绝对值等于 6 的数;(7)所有绝对值小于 3 的整数;(8)中国男子足球队中技术很差的队员;(9)参加 2008 年奥运会的中国代表团成员.6、说出下面集合中的元素:(1)大于 3 小于 11 的偶数;(2)平方等于
6、1 的数;(3)15 的正约数 .7、用符号或 填空:(1)1_N,0_N,-3_N,0.5_N, 2_N;(2)1_Z,0_Z,-3_Z,0.5_Z, _Z;(3)1_Q,0_Q,-3_Q,0.5_Q, _Q;(4)1_R,0_R,-3_R,0.5_R, 2_R.8、判断正误:(1)所有属于 N 的元素都属于 N*. ( )(2)所有属于 N 的元素都属于 Z. ( )(3)所有不属于 N*的数都不属于 Z. ( )(4)所有不属于 Q 的实数都属于 R. ( )(5)不属于 N 的数不能使方程 4x=8 成立. ( )二、集合的表示方法1.列举法：即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“
7、”括起来，基本形式为 ，适用于有限集或元素间存在规律的无限集.,4321a如“中国的直辖市”构成的集合，写成北京,天津,上海,重庆由“maths 中的字母” 构成的集合，写成m,a,t,h,s由“book 中的字母” 构成的集合，写成b,o,k注：（1） 有些集合亦可如下表示：从 51 到 100 的所有整数组成的集合：51，52，53，100所有正奇数组成的集合：1，3，5，7，（2） a 与a不同：a 表示一个元素，a表示一个集合，该集合只有一个元素.（3） 集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.2.描述法：用集合所含元素的共同特征来表示，即用确定的条件表示某些
8、对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法，如 |Px“中国的直辖市”构成的集合，写成 为中国的直辖市；x|“方程 x2+5x-6=0 的实数解” xR| x 2+5x-6=0=-6，13.图示法（Venn 图或数轴）4.区间法：设 ,且 ，规定Rba,ba表示),()(, 例 1.用列举法表示下列集合:(1)小于 5 的正奇数组成的集合;(2)能被 3 整除且大于 4 小于 15 的自然数组成的集合;(3)方程 x2-9=0 的解组成的集合 ;(4)15 以内的质数 ;(5)x| 6Z,xZ.例 2 已知 2,Mab, 2,Nb,且 MN,求实数 ,ab的值.例 3 下列关
9、系错误的是（ ）A. B. C. D.,CBA00练习1下列说法正确的是（ ）（A）所有著名的作家可以形成一个集合 （B） 0 与 的意义相同（C）集合 是有限集 Nnx,1（D）方程 的解集只有一个元素022下列四个集合中，是空集的是 （ ）A B3|x ,|),(2RyxyxC D0|201|23方程组 的解构成的集合是 （ ）yxA B C D .)1,(1,)1,(14已知 ， ，则 B ,02|Axy5若 ， ，用列举法表示 B= .43,|2tx6. 用列举法表示下列集合:(1)x2-4 的一次因式组成的集合;(2)y|y=-x2-2x+3,xR,yN;(3)方程 x2+6x+9=
10、0 的解集;(4)20 以内的质数 ;(5)(x,y)|x2+y2=1,xZ,yZ;(6)大于 0 小于 3 的整数;(7)xR|x 2+5x-14=0;(8)(x,y)|xN 且 1x4,y-2x=0;(9)(x,y)|x+y=6,xN,yN.7. 用列举法表示下列集合 *|x是 15的约数 ._; 2,;yy_; ,)(|Nnx_; 数字和为 5的两位数 _; 3216,yxy_;三、集合间的基本关系问题：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？（1） ,231,45AB；(2)设 A 为某中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合；(3)设 | ,
11、| ;CxDx是 两 条 边 相 等 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形(4) 2,46,2EF.1. 对于两个集合 A、B，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素，则两个集合有包含关系，称集合 A 是集合 B 的子集，记作 （或 ） ，AA读作“A 含于 B”（或“B 包含 A”）.若 ，则 集合 A 是集合 B 的子集x注意：空集是任何集合的子集，即 2. 真子集： 且 即集合 A 是集合 B 的真子集3. 集相等： 且 显然, A 的子集除 A 外都是它的真子集 . 由 个元素组成的集合,其子集个数n为 个, 真子集的个数为 个.n212n例 1 用适当的符号（ 、 ）
12、填空：4 6,40 11 Zm,34 2， 31， 65， 例 2 写出集合 的所有子集.,ba例 3 ， 列举法写出 B，并说明此时 A、B 的关系.|AxB,c例 4 设 ，集合 ，则 （ ）Rba, ,0,1baaaA. 1 B. -1 C. 2 D. -2练习：1. 设集合 ， ，则 与 的关系是_.|xA1aaA2. 用列举法 _.20|的 质 数小 于3. 用列举法表示集合 _.Zx3,|,y|24. 用描述法表示绝对值小于 4 的所有整数组成的集合：_.5. 集合 ，则 用列举法表示为_.,16|ZkxkxAA6. 写出小于 10 的正偶数集合 的所有真子集7. 已知集合 ， ，
13、则 与 的关系是_.0,|2xyBB8. 已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围21|xA0|aAa是_.9、讨论下列集合的包含关系A=本年天阴的日子，B=本年天下雨的日子；A=-2，-1，0，1，2，3，B=-1，0，1。（2）写出集合 A=1，2，3的所有非空真子集和非空子集10、用 ”、“连接下列集合对：A=济南人，B=山东人；A=N，B=R；A=1，2，3，4，B=0，1，2，3，4，5；A=本校田径队队员，B=本校长跑队队员；A=11 月份的公休日，B=11 月份的星期六或星期天11、若 A=a， b， c,则有几个子集，几个真子集？写出 A 所有的子集.12、设 A=3m, Z,B=6k， Z,则 A、B 之间是什么关系？四、集合的运算问题：(1)考察集合 A=1，2，3,B=2,3,4与集合 C=2,3之间的关系.(2)考察集合 A
