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1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系（一） 平面的基本性质1.平面无限延展，无边界1.1 三个定理与三个推论公理 1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。用途：常用于证明直线在平面内.图形语言： 符号语言：公理 2：不共线的三点确定一个平面. 图形语言：推论 1：直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言：推论 2：两条相交直线确定一个平面. 图形语言：推论 3：两条平行直线确定一个平面. 图形语言：用途：用于确定平面。公理 3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）.用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.图形语言： 符号语
2、言：形语言，文字语言，符号语言的转化：（二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系： 共 面 :ab=A,/异 面 与 异 面1.1 平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述： /,/abca1.2 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。1.3 异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线；（2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。图形语言：a AP符号语言： PAaa与1.4 异面直线所成的角：（1）范围： ；（2）作异面直线所成的角：平移法.0,9如右图，在空间任取一点
3、 O，过 O 作 ，则 所成的 角为异面直线 所成的角。/ab,a,ab特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点（如线段中点，端点等）上，形成异面直线所成的角.2.直线与平面的位置关系： /lAl图形语言： ba baO3.平面与平面的位置关系：平 行 ： /斜 交 ： =a相 交 垂 直 ：（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1.线面平行：定义：直线与平面无公共点.判定定理： （线线平行 线面平行） 【如图】/ab性质定理： （线面平行 线线平行） 【如图】/aab判定或证明线面平行的依据：（i）定义法（反证）： （用于判断） ；（ii）判定/ll定理
4、： “线线平行 面面平行” （用于证明） ；（iii） “面面平行/ab /a线面平行” （用于证明） ；（4） （用于判断） ；/ba2.线面斜交： lA直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则 平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。 【如图】 于 O，P则AO 是 PA 在平面 内的射影， 则 就是直线 PA 与平面A所成的角。范围： ，注：若 ，则直线 与平面0,9/ll或 l 所成的角为 ；若 ，则直线 与平面 所成的角为 。l903.面面平行：定义： ；/判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述： 【如下图】,/abOab
5、 ObaabOOba图 图推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行符号表述： 【如上图】,/ababab判定 2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：.【如右图】,/判定与证明面面平行的依据：（1）定义法；（2）判定 定理及推论（常用） （3）判定 2面面平行的性质：（1） （面面平行/a 线面平行） ；（2） ；（面面平行 线线平行） （3）夹在两个平行平面间的平行线段/ab相等。 【如图】（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。符号表述：若任意 都有 ，且 ，
6、则 .,alall判定定理： （线线垂直 线面垂直）,bOllalb性质：（1） （线面垂直 线线垂直） ；（2） ；,la,/aba证明或判定线面垂直的依据：（1）定义（反证） ；（2）判定定理（常用） ；（3）APOa（较常用） ；（4） ；（5） （面面垂直/ab/aaba线面垂直）常用；三垂线定理及逆定理：（I）斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中， （1）斜线相等 射PO影相等；（2）斜线越长 射影越长；（3）垂线段最短。 【如图】 ；BCPABO（II）三垂线定理及逆定理：已知 ，斜线 PA 在平面 内的射影为 OA， ，POa若 ，则 垂直射影 垂直斜线，此为三
7、垂线定理；aOA若 ，则 垂直斜线 垂直射影，此为三垂线定理的逆定理；P三垂线定理及逆定理的主要应用：（1）证明异面直线垂直；（2）作、证二面角的平面角；（3）作点到线的垂线段；【如图】3.2 面面斜交二面角：（1）定义：【如图】 ,OBlAlOBl与范围： 0,18作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用） ；（3）垂面法.3.3 面面垂直（1）定义：若二面角 的平面角为 ，则 ；l90（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直 面面垂直）a（3）性质：若 ，二面角的一个平面角为 ，MON则；90MON （面面垂直 线面垂直）
8、；aABa . aA 1平面平面的基本性质：掌 握三 个公理及推论，会说明共点、共线、共面 问题。（1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内 ，推出点在面内） ， 这样可根据公理 2 证明这些点都在这两个平面的公共直线上。（2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。（3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合2. 空间直线.（1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：
9、共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点注：两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（） （也可能两条直线平行，也可能是点和直线等）直线在平面外，指的位置关系是平行或相交若直线 a、 b 异面， a 平行于平面 ， b 与 的关系是相交、平行、在平面 内.两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.在平面内射影是直线的图形一定是直线.（） （射影不一定只有直线，也可以是其他图形）a OPAOA BCPaABaAB aA /a与在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（） （并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段
10、） 是夹在两平行平面间的线段，若 ，则 的位置关系为相交或平行或异面.ba, ba,异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）（2）. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）. （直线与直线所成角 ）90,（向量与向量所成角 )18,推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（3）. 两异面直线的距离：公垂线段的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.注： 是异面
11、直线，则过 外一点 P，过点 P 且与 都平行平面有一个或没有，但与21,l 21,l 21,l距离相等的点在同一平面内. （ 或 在这个做出的平面内不能叫 与 平行的平面）21,l L1L23. 直线与平面平行、直线与平面垂直.（1）. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2）. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行 线面平行” ）注：直线 与平面 内一条直线平行，则 . （） （平面外一条直线）aa直线 与平面 内一条直线相交，则 与平面 相交. （） （平面外一条直线）若直线 与平面 平行，则 内必存在
12、无数条直线与 平行. （） （不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （） （可能在此平面内）平行于同一个平面的两直线平行.（） （两直线可能相交或者异面） 直线 与平面 、 所成角相等，则 .（） （ 、 可能相交）l（3）. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行 线线平行” ）（4）. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 4. 平面平行与平面垂直.（1）.
13、 空间两个平面的位置关系：相交、平行.（2）. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行 面面平行” ）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.注：一平面内的任一直线平行于另一平面.（3）. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行 线线平行” ）（4）. 两个平面垂直判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直判定二：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直 面面垂直” ）注：如果两个二面角的平面分别对应互相垂直，则两个二面角没有什么关系.（5）. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.POAaPMABO
