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1、结构动力学,结构动力学,第三章: 单自由度体系的自由振动,第3章 单自由度体系的自由振动,自由振动:结构受到扰动离开平衡位置以后, 不再受任何外力影响的振动过程。 运动方程: 扰动的表现:,第3章 单自由度体系的自由振动,3.1 无阻尼自由振动 无阻尼:c=0 自由振动:p(t)=0 运动方程: 初始条件:,3.1 无阻尼自由振动,设无阻尼自由振动解的形式为: 其中:s 为待定系数; A 为常数 系数方程: 两个虚根:,3.1 无阻尼自由振动,运动方程的通解为: 指数函数与三角函数的关系: 运动方程的解: A,B待定常数,由初始条件确定。,3.1 无阻尼自由振动,将位移 和速度 带入初始条件:
2、 得待定常数为:,3.1 无阻尼自由振动,体系无阻尼自由振动的解 其中 无阻尼振动是一个简谐运动(Simple harmonic motion) n自振频率。,3.1 无阻尼自由振动,图3.1 无阻尼体系的自由振动,3.1 无阻尼自由振动,结构自振频率和自振周期 自振频率:Natural frequency (of vibration) 自振周期:Natural Period (of vibration) 结构的重要动力特性,3.1 无阻尼自由振动,结构自振频率和自振周期及其关系 自振圆频率: (单位:弧度/秒, rad/s) 自振周期: (单位:秒, sec) 自振频率: (单位:周/秒,
3、赫兹, Hz),第3章 单自由度体系的自由振动,3.2 有阻尼自由振动 运动方程: 初始条件:,3.2 有阻尼自由振动,令u(t)=est,代入运动方程 得:,3.2 有阻尼自由振动,u(t)=est 当: 体系不发生往复的振动 当: 体系产生往复的振动 使: 成立的阻尼c称为临界阻尼 临界阻尼记为ccr:,3.2 有阻尼自由振动,图3.2 临界阻尼体系的自由振动,3.2 有阻尼自由振动,1. 临界阻尼和阻尼比 临界阻尼:体系自由振动反应中不出现往复振动 所需的最小阻尼值。 临界阻尼完全由结构的刚度和质量决定的常数。 阻尼比:阻尼系数c和临界阻尼ccr的比值, 用表示,3.2 有阻尼自由振动,
4、1. 临界阻尼和阻尼比 (1)当1时,称为低阻尼(Under damped), 结构体系称为低阻尼体系; (2)当1时,称为临界阻尼(Critically damped); (3)当1时,称为过阻尼(Over damped), 结构体系称为过阻尼体系。 对于钢结构: 钢筋混凝土结构:,3.2 有阻尼自由振动,临界阻尼和阻尼比 图3.3 低阻尼、临界阻尼和高阻尼体系的自由振动曲线,3.2 有阻尼自由振动,2.低阻尼体系(Underdamped Systems) 将: 代入: 得: 低阻尼体系满足初始条件的自由振动解: 其中: D阻尼体系的自振频率,3.2 有阻尼自由振动,2.低阻尼体系(Unde
5、rdamped Systems) D阻尼体系的自振频率 TD阻尼体系的自振周期 n和Tn分别为无阻尼体系的自振频率和自振周期 (1) 阻尼的存在使体系自由振动的自振频率变小 (2) 阻尼的存在使体系的自振周期变长。 当1时,自振周期TD=。,3.2 有阻尼自由振动,2.低阻尼体系(Underdamped Systems) 现场实测:D 和 TD 理论计算:n 和 Tn 工程中结构的阻尼比 在15%之间, 一般不超过20%, 因此可以用 有阻尼与无阻尼 计算结果接近。,图3.5 阻尼对自振频率和自振周期的影响,3.2 有阻尼自由振动,(1) 低阻尼体系的阻尼对结构自由振动的影响很大,因而,合理地
6、确定体系的阻尼是结构动力问题研究中的一项重要工作。 (2) 由于阻尼对体系的衰减自由振动曲线影响大,通过对体系衰减曲线的分析,可以有效地分辨出不同体系的阻尼比。,3.2 有阻尼自由振动,3.运动的衰减和阻尼比的测量 相邻振动峰值比:,3.2 有阻尼自由振动,3.运动的衰减和阻尼比的测量 对数衰减率: 阻尼比计算公式: 小阻尼时计算公式:,3.2 有阻尼自由振动,3.运动的衰减和阻尼比的测量 相隔j周的振动峰值比: 对数衰减率: 阻尼比: J50% 振幅衰减至50%所需的次数,3.2 有阻尼自由振动,4.自由振动试验 阻尼比的测量(当20%时): 用位移记录: 用加速度记录: 结构的自振周期TD
7、的测量: 用相邻振幅的时间间隔来计算:,3.2 有阻尼自由振动,4.自由振动试验 算例3.1 用自由振动法研究一单层框架结构的性质,用一钢索给结构的屋面施加P=73kN的水平力,使框架结构产生st=5.0cm的水平位移,突然切断钢索,让结构自由振动,经过2.0sec,结构振动完成了4周循环,振幅变为2.5cm。从以上数据计算: 阻尼比; 无阻尼自振周期Tn; 等效刚度k; 等效质量m; 阻尼系数c; 位移振幅衰减到0.5cm时所需的振动周数。,3.2 有阻尼自由振动,4.自由振动试验 解: 计算阻尼比 ui=5.0cm,j=4,ui+j=2.5cm 代入方程: 得: 结构属于小阻尼体系,3.2
8、 有阻尼自由振动,4.自由振动试验 解: 计算无阻尼自振周期Tn (振动周次:4;时间:2秒) 有阻尼自振周期: 无阻尼自振周期: 对于小阻尼体系,自振周期近似等于无阻尼自振周期,3.2 有阻尼自由振动,4.自由振动试验 解: 计算等效刚度k (外荷载P=73kN,静位移st=0.05m) 等效质量m,3.2 有阻尼自由振动,4.自由振动试验 解: 阻尼系数c,3.2 有阻尼自由振动,4.自由振动试验 解: 位移振幅衰减到0.5cm时所需的振动周数,3.3自由振动过程中的能量,SDOF体系中能量来源:初始位移和初始速度 体系初始时刻具有的总能量: 任意t时刻体系的总能量: 其中,质点的动能EK
9、和弹簧的应变能ES :,3.3自由振动过程中的能量,无阻尼体系中的能量: 无阻尼体系自由振动过程中的总能量守恒,不随时间变化,等于初始时刻输入的能量。,3.3自由振动过程中的能量,有阻尼体系中的能量: 在0至t时刻由粘性阻尼耗散的能量ED为: 阻尼在体系振动过程中始终在消耗能量 随着, t体系中的总能量将完全被阻尼所消耗 当t时,ED= EI,3.4 库仑(Coulomb)阻尼自由振动,图3.9 具有库仑摩擦阻尼的弹簧质点体系 (b): (c): 其中 -特解 -无阻尼自由振动频率,3.4 库仑(Coulomb)阻尼自由振动,设在初始时刻t=0初始条件为: 在第一个半周循环(0tTn/2):
10、由初始条件: 振动解: 一个余弦函数,振幅为u(0)uF,但其中轴向上偏移uF 当t=/n(=Tn/2)时,质点达到负向最大值 :,3.4 库仑(Coulomb)阻尼自由振动,在第二个半周循环(Tn/2tTn): 在时刻t=Tn/2的条件为: 由初始条件: 振动解: 振动的振幅为u(0)3uF,但其中轴向下偏移uF 当t=2/n(=Tn)时:,3.4 库仑(Coulomb)阻尼自由振动,在第三个半周循环(Tt3Tn/2): 在每一周循环中,振幅衰减了4uF :,3.4 库仑(Coulomb)阻尼自由振动,图3.10 具有库仑摩擦阻尼的弹簧质点体系的自由振动时程,3.4 库仑(Coulomb)阻尼自由振动,库仑阻尼体系的自振频率等于无阻尼体系的自振频率 库仑阻尼体系自由振动随时间变化的外包络线是直线 粘滞阻尼体系自由振动随时间变化的外包络线是按指数衰减曲线 外包络线振动峰值的连线 库仑阻尼体系可以使运动快速衰减至静止状态,