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1、结构动力学,结构动力学,第三章： 单自由度体系的自由振动,第3章 单自由度体系的自由振动,自由振动：结构受到扰动离开平衡位置以后， 不再受任何外力影响的振动过程。 运动方程： 扰动的表现：,第3章 单自由度体系的自由振动,3.1 无阻尼自由振动 无阻尼：c=0 自由振动：p(t)=0 运动方程： 初始条件：,3.1 无阻尼自由振动,设无阻尼自由振动解的形式为： 其中：s 为待定系数； A 为常数 系数方程： 两个虚根：,3.1 无阻尼自由振动,运动方程的通解为： 指数函数与三角函数的关系： 运动方程的解： A，B待定常数，由初始条件确定。,3.1 无阻尼自由振动,将位移 和速度 带入初始条件：
2、 得待定常数为：,3.1 无阻尼自由振动,体系无阻尼自由振动的解 其中 无阻尼振动是一个简谐运动（Simple harmonic motion） n自振频率。,3.1 无阻尼自由振动,图3.1 无阻尼体系的自由振动,3.1 无阻尼自由振动,结构自振频率和自振周期 自振频率：Natural frequency (of vibration) 自振周期：Natural Period (of vibration) 结构的重要动力特性,3.1 无阻尼自由振动,结构自振频率和自振周期及其关系 自振圆频率： (单位：弧度/秒, rad/s) 自振周期： (单位：秒, sec) 自振频率： (单位：周/秒,
3、赫兹, Hz),第3章 单自由度体系的自由振动,3.2 有阻尼自由振动 运动方程： 初始条件：,3.2 有阻尼自由振动,令u(t)=est，代入运动方程 得：,3.2 有阻尼自由振动,u(t)=est 当： 体系不发生往复的振动 当： 体系产生往复的振动 使： 成立的阻尼c称为临界阻尼 临界阻尼记为ccr：,3.2 有阻尼自由振动,图3.2 临界阻尼体系的自由振动,3.2 有阻尼自由振动,1. 临界阻尼和阻尼比 临界阻尼：体系自由振动反应中不出现往复振动 所需的最小阻尼值。 临界阻尼完全由结构的刚度和质量决定的常数。 阻尼比：阻尼系数c和临界阻尼ccr的比值， 用表示,3.2 有阻尼自由振动,
4、1. 临界阻尼和阻尼比 （1）当1时，称为低阻尼（Under damped）， 结构体系称为低阻尼体系； （2）当1时，称为临界阻尼（Critically damped）； （3）当1时，称为过阻尼（Over damped）， 结构体系称为过阻尼体系。 对于钢结构： 钢筋混凝土结构：,3.2 有阻尼自由振动,临界阻尼和阻尼比 图3.3 低阻尼、临界阻尼和高阻尼体系的自由振动曲线,3.2 有阻尼自由振动,2.低阻尼体系（Underdamped Systems） 将： 代入： 得： 低阻尼体系满足初始条件的自由振动解： 其中： D阻尼体系的自振频率,3.2 有阻尼自由振动,2.低阻尼体系（Unde
5、rdamped Systems） D阻尼体系的自振频率 TD阻尼体系的自振周期 n和Tn分别为无阻尼体系的自振频率和自振周期 (1) 阻尼的存在使体系自由振动的自振频率变小 (2) 阻尼的存在使体系的自振周期变长。 当1时，自振周期TD=。,3.2 有阻尼自由振动,2.低阻尼体系（Underdamped Systems） 现场实测：D 和 TD 理论计算：n 和 Tn 工程中结构的阻尼比 在15%之间， 一般不超过20%， 因此可以用 有阻尼与无阻尼 计算结果接近。,图3.5 阻尼对自振频率和自振周期的影响,3.2 有阻尼自由振动,(1) 低阻尼体系的阻尼对结构自由振动的影响很大，因而，合理地
6、确定体系的阻尼是结构动力问题研究中的一项重要工作。 (2) 由于阻尼对体系的衰减自由振动曲线影响大，通过对体系衰减曲线的分析，可以有效地分辨出不同体系的阻尼比。,3.2 有阻尼自由振动,3.运动的衰减和阻尼比的测量 相邻振动峰值比：,3.2 有阻尼自由振动,3.运动的衰减和阻尼比的测量 对数衰减率: 阻尼比计算公式： 小阻尼时计算公式：,3.2 有阻尼自由振动,3.运动的衰减和阻尼比的测量 相隔j周的振动峰值比： 对数衰减率： 阻尼比： J50% 振幅衰减至50%所需的次数,3.2 有阻尼自由振动,4.自由振动试验 阻尼比的测量（当20%时）： 用位移记录： 用加速度记录： 结构的自振周期TD
7、的测量： 用相邻振幅的时间间隔来计算：,3.2 有阻尼自由振动,4.自由振动试验 算例3.1 用自由振动法研究一单层框架结构的性质，用一钢索给结构的屋面施加P=73kN的水平力，使框架结构产生st=5.0cm的水平位移，突然切断钢索，让结构自由振动，经过2.0sec，结构振动完成了4周循环，振幅变为2.5cm。从以上数据计算： 阻尼比； 无阻尼自振周期Tn； 等效刚度k； 等效质量m； 阻尼系数c； 位移振幅衰减到0.5cm时所需的振动周数。,3.2 有阻尼自由振动,4.自由振动试验 解： 计算阻尼比 ui=5.0cm，j=4，ui+j=2.5cm 代入方程： 得： 结构属于小阻尼体系,3.2
8、 有阻尼自由振动,4.自由振动试验 解： 计算无阻尼自振周期Tn (振动周次：4；时间：2秒) 有阻尼自振周期： 无阻尼自振周期： 对于小阻尼体系，自振周期近似等于无阻尼自振周期,3.2 有阻尼自由振动,4.自由振动试验 解： 计算等效刚度k (外荷载P=73kN，静位移st=0.05m) 等效质量m,3.2 有阻尼自由振动,4.自由振动试验 解： 阻尼系数c,3.2 有阻尼自由振动,4.自由振动试验 解： 位移振幅衰减到0.5cm时所需的振动周数,3.3自由振动过程中的能量,SDOF体系中能量来源:初始位移和初始速度 体系初始时刻具有的总能量: 任意t时刻体系的总能量: 其中,质点的动能EK
9、和弹簧的应变能ES ：,3.3自由振动过程中的能量,无阻尼体系中的能量: 无阻尼体系自由振动过程中的总能量守恒，不随时间变化，等于初始时刻输入的能量。,3.3自由振动过程中的能量,有阻尼体系中的能量: 在0至t时刻由粘性阻尼耗散的能量ED为： 阻尼在体系振动过程中始终在消耗能量 随着， t体系中的总能量将完全被阻尼所消耗 当t时，ED= EI,3.4 库仑（Coulomb）阻尼自由振动,图3.9 具有库仑摩擦阻尼的弹簧质点体系 (b)： (c)： 其中 -特解 -无阻尼自由振动频率,3.4 库仑（Coulomb）阻尼自由振动,设在初始时刻t=0初始条件为： 在第一个半周循环（0tTn/2）：
10、由初始条件： 振动解： 一个余弦函数，振幅为u(0)uF，但其中轴向上偏移uF 当t=/n(=Tn/2)时，质点达到负向最大值 ：,3.4 库仑（Coulomb）阻尼自由振动,在第二个半周循环（Tn/2tTn）： 在时刻t=Tn/2的条件为： 由初始条件： 振动解： 振动的振幅为u(0)3uF，但其中轴向下偏移uF 当t=2/n(=Tn)时：,3.4 库仑（Coulomb）阻尼自由振动,在第三个半周循环（Tt3Tn/2）： 在每一周循环中，振幅衰减了4uF ：,3.4 库仑（Coulomb）阻尼自由振动,图3.10 具有库仑摩擦阻尼的弹簧质点体系的自由振动时程,3.4 库仑（Coulomb）阻尼自由振动,库仑阻尼体系的自振频率等于无阻尼体系的自振频率 库仑阻尼体系自由振动随时间变化的外包络线是直线 粘滞阻尼体系自由振动随时间变化的外包络线是按指数衰减曲线 外包络线振动峰值的连线 库仑阻尼体系可以使运动快速衰减至静止状态,
