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1、函数迭代与桥函数方程关于函数迭代定义 设是定义在D上且取值相同于D上的函数，记，则称是函数在D上的n次迭代。根据定义，我们可以把函数的迭代视作以自身的n次复合。所以，函数的迭代式可以看作是函数以自身为复合函数的复合函数。简单的性质 （1）（2） 若有反函数，记作，则有（这一点也是反函数的基本性质）几个常用函数的函数迭代式根据函数迭代式的定义，我们可以对几个常用函数进行函数迭代式求解：如（1） 对函数，求得n次迭代，；（2） 对函数，求得n次迭代，（共有n个a）；（3） 对函数，求得n次迭代，；（4） 对函数，求得n次迭代，；（5） 对函数，求得n次迭代，求迭代函数和原函数的相关方法（1）已知原
2、函数和n次迭代后函数，证明该迭代成立，可使用数学归纳法求解。列出较简单的数学归纳法的步骤： 证明得到，当n=1时，该式成立； 假设当n=k时，该式成立； 证明当n=k+1时，该式仍成立。这样若是能证明得到，假设得到，和证明得到，那么由n=1和n=k及n=k+1三个基本式联合推得该式在正整数范围内成立。（类似于多米诺骨牌的倾倒）再由正整数范围内成立，推向整个实数集R，即可证得该式在整个实数集R中都成立。下面应用不动点的迭代式对数学归纳法求迭代做一个举例 ：不动点：若有一点P使得，则称为的不动点。根据不动点的定义，我们可以推得一条与关于一次函数不动点的迭代式相关的重要结论：若，则该函数的不动点满足
3、。下面对此式进行简单的证明：由，可以证得函数的不动点为下面运用数学归纳法：1. 当n=1时，2. 假设n=k成立，则有3. 当n=k+1时，由迭代函数基本性质，有化简后，所以，当n=k+1时成立，原命题在正整数范围内成立。注：对不动点的此条性质，在函数迭代中会常常使用。（2） 已知函数不动点和迭代前或迭代后的函数表达式，均可使用上述不动点的性质进行求解。举例：若已知函数为一次函数，求迭代前函数。（）分析：因为已知函数为一次函数，根据（1）中对一次函数不动点迭代式的推导，可以用不动点的性质进行求解。解：设一次函数，且由（1）已经证明：当时，不动点满足所以根据题意，有，又因为的不动点为所以 ，求得
4、再把的值代入求得迭代前函数表达式即可（3） 若函数中隐含着数列的关系（如等比数列和等差数列），不妨使用递归数列的方法求迭代关系式。利用数列求解函数迭代问题的方法：根据函数迭代关系，我们发现，存在，若对，把记作，把记作则有，再通过函数的对应法则，找到与的关系（是否满足等差数列或等比数列），再进行迭代函数的求解。举例：若，求。分析：通过函数迭代的定义，有，将记作，把记作，找到和之间关系求解。解：因为 不妨把记作，把记作，则有，则（转化为等差数列，公差为-2）即（d为公差）所以 所以（4） 若已知原函数且原函数的桥函数易求解，则运用桥函数与函数相似的方法进行求解。桥函数与函数相似：若有满足，则把称为和的桥函数。并记作，即表示和称关于相似三个关于桥函数的重要结论：1. 若，则2. 若，则3. 若，则下面对这三个基本结论进行证明：证明1：，则证明如下：由桥函数定义，有根据反函数的基本性质，上式即即，是以为桥函数即当时，证明2.若，则证明如下：由桥函数定义，有，代入后有根据桥函数的定义，函数与函数以为桥函数。即写成当，时，则证明3.若，则证明如下：由桥函数定义，有则（共有n个重复单元）即即与关于相似记为若，则易得。
