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1、冯 西 桥 清华大学工程力学系 2006.11.09,第六章 弹性理论的微分提法 Differential Method of Elasticity,弹性理论的微分提法,弹性力学问题的微分提法 位移解法 应力解法 应力函数解法 叠加原理 解的唯一性定理 圣维南原理,Chapter 6,微分提法,Chapter 6.1,在前面几章中已经建立了一系列的弹性力学基本方程，即平衡微分方程、几何方程和应力应变关系。但在解决具体问题时，还必须给定边界条件。 本章中，将比较系统地阐明弹性力学问题的建立及其基本解法和一般原理。先将得到的基本方程综合如下：,微分提法,Chapter 6.1,平衡方程 (Navi
2、er)：,几何方程(Cauchy) ：,应变协调方程： (Saint-Venant),本构方程：,(1) 应变应力公式： (Hooke),(2) 应力应变公式： (Lam),微分提法,Chapter 6.1,当选位移作基本量时只需考虑几何方程，协调方程将自动满足； 当选应变作基本量时，只需满足协调方程，就能保证由几何方程积分出单值连续的位移场来。 两个本构方程也是等价的，于是有两组基本方程组：,第一组 基本未知量： ij (6), ij (6), ui (3) 平衡方程： (3) 几何方程： (6) 应力应变关系： (6),微分提法,Chapter 6.1,第二组 基本未知量： ij (6),
3、 ij (6) 平衡方程： (3) 协调方程： (6-3) 应变应力关系： (6),微分提法,Chapter 6.1,微分提法,Chapter 6.1,边界条件：,微分提法,Chapter 6.1,弹性理论中常见的三种边界条件： 处处给定外部作用力 的力边界条件S 。 边界条件为：域内应力场的边界值应满足柯西公式,不能消除刚体位移 要满足整体平衡条件。,微分提法,Chapter 6.1,分量形式为：,当 时称为自由表面，是力边界的特殊情况。 集中力化为作用在微小面积上的均布表面力。 集中力矩则化为非均布表面力。,微分提法,Chapter 6.1,处处给定位移 约束的位移边界Su。 域内位移场的
4、边界值应等于给定边界值： 有时也可指定边界位移的导数值(例如，转角为零)或应变值。在静力学问题中，所给的位移应足以防止物体的刚体运动。,微分提法,Chapter 6.1,在部分边界S 上给定外力，部分边界Su上给定位移的混合边界S。这时要求 对于弹性动力学问题， 还应给定初始条件。,4. 混合型边界条件 在边界同一位置，给定部分位移分量和部分面力分量。,51,chapter 3.6,微分提法,5. 弹簧类边界条件,6. 对称和反对称条件,51,chapter 3.6,微分提法,对称载荷：在对称面上，所有对称场变量的一阶导数等于零，所有反对称场变量的值等于零。 反对称载荷：在对称面上，所有反对称
5、场变量的一阶导数等于零，所有对称场变量的值等于零。,56,chapter 3.6,微分提法,6. 对称和反对称条件,微分提法,Chapter 6.1,弹性力学问题微分提法的基本思想： 从研究弹性体内的微元入手，导出描述微元静力平衡、变形几何及弹性关系的一组基本方程，加上相应的边界条件把弹性力学问题归结为求解偏微分方程组的边值问题。,微分提法,Chapter 6.1,根据所研究的弹性体的受力或约束(表面位移)情况的 不同，可将弹性力学问题分为以下三类： 已知所研究物体内部的体积力及作用在物体上全部表面上的外力。即已知表面力边界条件求物体内部的应力分布及位移的问题。 已知物体内部的体积力及全部表面
6、上的位移。即已知位移边界条件求物体内部的应力分布及位移的问题。,微分提法,Chapter 6.1,已知物体内部体积力及一部分表面上的外力和其余表面上的位移。即已知混合边界条件求物体内部的应力分布和位移的问题。,微分提法,Chapter 6.1,从求解的未知量方面考虑，可分为如下四类： 位移为基本未知量 应变为基本未知量 应力（应力函数）为基本未知量 混合未知量,微分提法、解法 及一般原理,弹性力学问题的微分提法 位移解法 应力解法 应力函数解法 叠加原理 解的唯一性定理 圣维南原理,Chapter 6,位移解法,Chapter 6.2,位移解法是以位移分量ui作基本未知量的解法。 即以位移分量
7、的三个未知函数作为基本未知函数。这三个位移分量所对应的应力在物体内部应满足平衡微分方程。现经过下述步骤将平衡微分方程中的应力改用位移表示，从而得出用位移表示的平衡微分方程式。,位移解法,Chapter 6.2,用位移表示的平衡方程（Lam-Navier方程）,位移解法,Chapter 6.2,具体推导如下： 先将几何关系代入广义虎克定律，可得,式中,位移解法,Chapter 6.2,位移解法,Chapter 6.2,第一个以位移表示的平衡微分方程,位移解法,Chapter 6.2,同样可得其余两个方程，即,式中,位移解法,Chapter 6.2,上式实质上是位移形式的平衡方程式，这就是位移法的
8、基本方程式。,综上,指标形式,位移解法,Chapter 6.2,边界条件 若给定的是位移边界条件，则直接用位移表示，即,若给定的是表面力的边界条件，则可将其表面力以位移表示(以x方向为例)，,位移解法,Chapter 6.2,代入,位移解法,Chapter 6.2,用位移表示的外力边界条件：,位移解法,Chapter 6.2,微分方程的解：齐次方程通解特解（易得）,齐次的Lam-Navier方程(即fi0的无体力情况 )： 将齐次方程对xi求导，并对指标i迭加后得 而,位移解法,Chapter 6.2,是非零常数，故第一应变不变量应满足调和方程,其中 称为调和算子或拉普拉斯算子。,根据 ，其中
9、K为常数。 故第一应力不变量 (或平均正应力)也满足调和方程： 上式作调和运算得：,位移解法,Chapter 6.2,位移解法,Chapter 6.2,由连续性条件及式(1)式得,其中,称为重调和算子。 上式说明位移分量ui应满足重调和方程。,位移解法,Chapter 6.2,代入,于是说明应力及应变分量也都满足重调和方程。,位移解法,Chapter 6.2,弹性力学问题解的性质,调和函数的性质（见下册p43）,调和函数的各阶导数均为调和函数 若 为调和函数，则 也是调和函数,调和函数和双调和函数的关系,若 为调和函数，则 也是双调和函数 若 为调和函数，则 是双调和函数 若 为调和函数，则
10、是双调和函数,位移解法,Chapter 6.2,综上所述，在无体力情况下，第一应变不变量、第一应力不变量和平均正应力0都是调和函数。位移分量ui，应变分量ij和应力分量ij都是重调和函数。于是弹性力学的无体力问题在数学上归结为调和方程和重调和方程的边值问题。 对于常体力情况ficonst ，不难验证这个结论同样适用。 对于变体力情况，可先找一个特解(不必满足边界条件)，然后与上述齐次解迭加，使全解满足全部边界条件。,微分提法、解法 及一般原理,弹性力学问题的微分提法 位移解法 应力解法 应力函数解法 叠加原理 解的唯一性定理 圣维南原理,Chapter 6,应力解法,Chapter 6.3,平
11、衡方程： (3) 协调方程： (6-3) 应变应力关系： (6),应力解法是以应力分量作基本未知量的解法。,应力解法,Chapter 6.3,Beltrami-Michell方程：,本构关系,代入协调方程,利用平衡方程,思路：消掉其余基本量，仅用应力表示：,这就是应力解法的定解方程，称为应力协调方程或贝尔脱拉密-密乞尔方程，简称B-M方程，共含六个二阶椭圆方程。,E. Beltrami (1835-1900),应力解法,Chapter 6.3,分 量 形 式,应力解法,Chapter 6.3,前面曾指出，六个应变协调方程并不完全独立，不能由它们独立解出六个应变分量。以此类推，六个应力协调方程也
12、不可能完全独立，所以用应力解法解题时通常要求在域内同时满足六个B-M方程和三个平衡方程，且在边界上满足三个力边界条件。 对于全部边界给定外力的边值问题，应力解法可以避开几何关系直接解出工程中关心的应力分量。但应力解法处理位移边界条件相当困难。应力解法涉及六个二阶B-M方程，三个一阶平衡方程和三个力边界条件，对于几何形状或载荷分布较复杂的问题求解比较困难。,应力解法,Chapter 6.3,对于动力学问题，应把惯性力纳入体力项，B-M方程中的fi,j应改为,于是应变协调方程变为：,应力解法,Chapter 6.3,最后提一下以应变分量ij作基本未知量的应变解法。由于应力与应变间的虎克定律是代数方
13、程，应变解法的求解难度不会比应力解法有实质性的改善，而边界条件用应力表示则方便得多，所以很少采用应变解法。,微分提法、解法 及一般原理,弹性力学问题的微分提法 位移解法 应力解法 应力函数解法 叠加原理 解的唯一性定理 圣维南原理,Chapter 6,应力函数解法,Chapter 6.4,在位移解法中，引进三个单值连续的位移函数，使协调方程自动满足，问题被归结为求解三个用位移表示的平衡方程。应变分量可由位移偏导数的组合来确定。与此类似，在应力解法中也可以引进某些自动满足平衡方程的函数，称为应力函数，把问题归结为求解用应力函数表示的协调方程。应力分量可由应力函数偏导数的组合来确定。,应力函数解法
14、,Chapter 6.4,应力解法比较复杂 与应力解法相比，此方法独立的应力分量只有3个,事先满足几何方程，只需满足平衡方程：,事先满足平衡方程，只需满足协调方程：,几何方程,本构方程,满足平衡方程（3个）,？方程,满足应力协调方程（3个）,满足平衡方程的,Bianchi恒等式： 无体力平衡方程：,引进Beltrami应力函数张量：,应力函数解法,Chapter 6.4,可见两者形式上相似。,只有3个独立分量 定义应力分量：,应力函数解法,Chapter 6.4,通过定义上述应力分量，可验证平衡方程将自动满足。上式便是用应力函数mn表示的应力公式。 将上式代入应力协调方程，并考虑无体力情况得：
15、 这是应力函数解法的定解方程，称为应力函数协调方程。,应力函数解法,Chapter 6.4,对于三维弹性力学问题，可选mn六个分量中的三个作为应力函数，共有17种选择方案，其中最常用的是： Maxwell应力函数：,应力函数解法,Chapter 6.4,对协调方程作如下替换：,于是可以写出用麦克斯韦应力函数表示的应力公式：,应力函数解法,Chapter 6.4,分量形式,应力函数解法,Chapter 6.4,Morera应力函数：,对协调方程作如下替换：,应力函数解法,Chapter 6.4,用莫雷拉(Morera)应力函数表示的应力公式：,应力函数解法,Chapter 6.4,分量形式,则 就是平面问题中的艾瑞(Airy,G.B.)应力函数。 若令莫雷拉应力函数为 则(x,y)就是柱形杆扭转问题中的普朗特应力函数,应力函数解法,Chapter 6.4,对于二维弹性力学问题，可进一步简化。若令麦克斯韦应力函数为,应力函数解法,Chapter 6.4,综上所述，应力函数解法既保留了应力解法的优点(能直接求解应力分量)，又吸收了位移解法的思想(能自动满足平衡方程，基本未知量降为3个)，所以是弹性理论中最常用的解法之一。,几何方程,本构方程,应力公式,平
