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1、1,第二章 考虑材料塑性的极限分析,21 塑性材料简化的应力-应变曲线,22 拉压杆系的极限荷载,23 等直圆杆扭转时的极限扭矩,24 梁的极限弯矩 塑性铰,2,21 塑性材料简化的应力应变曲线,图a所示为低碳钢拉伸时的应力应变曲线，bc表示卸载规律。工程中有时要考虑材料塑性来计算构件的承载能力，低碳钢等塑性材料在应力超过比例极限后，应力和应变为非线性关系，使分析极为复杂。为了简化计,3,算，工程中把低碳钢等塑性材料的拉伸、压缩时的应力应变关系简化为图b所示的曲线。即认为材料屈服前服从胡克定律，屈服后不考虑强化，拉伸和压缩时材料的屈服极限和弹性模量分别相等。该曲线称为弹性理想塑性模型，这种材料
2、称为弹性 理想塑性材料(通常简称为理想弹塑性材料)。同样，也可将塑性材料的tg曲线简化为图c所示的曲线。,4,22 拉压杆系的极限荷载,图a所示的静定结构中，各杆的材料相同，其应力应变关系如图b所示。随着载荷增加，当其中任一杆横截面上的应力达到屈服极限时，该结构成为几何可变的机构，丧失承载能力。可见静定拉压杆系结构，考虑材料的塑性，也不能提高结构的承载能力。超静定杆系结构见下例。,5,例21 图a所示超静定杆系结构中，三杆的材料相同，se关系如图b所示，弹性模量为E。三杆的横截面积均为A。试分析当荷载F逐渐增加时三杆的应力和结点A位移的变化情况。,(b),6,解： (1) 应力,1. 当F 较
3、小时，三杆均处于弹性工作状态，解此超静定结构，得到三杆的轴力，除以其横截面面积后得三杆的应力分别为,可见,7,由于FN3=sA，使超静定结构成为静定结构，荷载还可以继续增加，由结点A的平衡方程，得1、2杆的轴力为,2. F增加到Fs时，3杆首先屈服，1、2杆仍处于弹性工作状态。 Fs 称为屈服载荷。令s3ss，F =Fs。由(2)式得,8,极限荷载和屈服荷载的比值为,当a45时，Fu/Fs1.41，即考虑材料塑性将使结构的承载能力提高1.41倍。,3. 继续增加荷载，3杆的应力保持s3ss不变，1、2杆的应力增加，直到1、2杆也发生屈服(s1=s2=ss)，整个结构屈服，从而丧失承载能力。这种
4、状态称为极限状态，相应的荷载为极限荷载，用Fu表示。令FN1= FN2 = FN3 =ss A，由结点A的平衡方程得,9,(2) A点的位移,1. F=Fs时，s3ss ，3杆屈服，1、2杆仍处于弹性工作状态，由图d可得A点的位移为,2. 继续增加荷载，3杆的应力s3ss保持不变，增加部分的荷载将由1、2杆承担，使1、2杆的弹性变形不断增加，直到1、2杆刚刚出现塑性变形，A点的位移为,10,外力F和A点位移之间的关系，如图e所示。FFs时，结构的刚度由三根杆组成， FFs时，3杆屈服，结构的刚度由1, 2杆组成，所以Oa和ab的斜率不同。,(7),11,由于一次超静定杆系结构中，存在一个多余约
5、束的杆(例如，例21中的3杆)当某一杆发生塑性变形时，结构成为静定结构，还可以继续承载，直到结构中另外的杆发生塑性变形，使结构丧失承载能力，达到极限状态。,12,23 等直圆杆扭转时的极限扭矩,图a所示圆截面杆，其t g 的关系如图b所示。本节讨论等直圆杆极限扭矩及扭转残余应力问题。,13,. 极限扭矩,(1) 由塑性材料制成的受扭圆截面杆，一般把tmax=ts(图c)作为破坏条件，并以此建立强度条件。边缘屈服时的扭矩称为屈服扭矩，并用Ts表示，其值为,仅当tmax=ts时，圆杆不会发生明显的屈服变形，扭矩还可以继续增加。,14,(2) 若扭矩增加到某个值 时，圆杆进入弹塑性工作状态，根据平面
6、假设，其g 的变化规律如图d所示。根据图b所示的tg关系，t 的分布规律如图e所示，即靠近边缘处已进入塑性状态，其余部分仍处于弹性状态。设弹性区的直径为ds。取dA=2prdr，扭矩为,15,单位长度的扭转角为,(3) 当扭矩增加到T=Tu时，横截面上各点的切应力均达到ts(图f)，圆杆进入完全塑性状态，即为极限状态， Tu称为极限扭矩，其值为,式中，右边第一项 为弹性区的扭矩，第二项 为塑性区的扭矩。,16,由(1)式和(4)式可得,可见，Tu=4Ts/3。若采用极限状态为破坏条件，将使承载能力提高4/3倍。,17,. 残余应力,扭矩达到Tu时，卸去全部荷载，即反向加Me=d3s/12，由于
7、卸载时，tg为线性关系(图a)，所以， ，切应力的分布规律如图b所示，将它与极限状态的切应力(图c)叠加，得残余应力，其分布规律如图d所示。取dA=2prdr，其扭矩为,Me=Tu,Me=Tu,(b),(c),ts,18,扭矩T0，说明残余应力是自相平衡的。,19,24 梁的极限弯矩 塑性铰,. 纯弯曲梁的极限弯矩,图a所示矩形截面纯弯曲梁，其材料的se关系如图b所示。,20,(1) 一般认为smax=ss为梁的破坏条件，把上、下边缘屈服时的弯矩称为屈服弯矩，并用Ms表示图c，其值为,仅梁的上、下边缘处屈服，梁不会发生明显的屈服变形，弯矩还可以继续增加。,21,(2) 当弯矩增加到 时，梁进入
8、弹塑性工作状态，根据平面假设，e 分布规律如图d所示。按照图b所示的se 关系，s 的分布规律如图e所示。即梁的上、下边缘附近处为塑性变形，其余部分仍为弹性变形。,22,(3) 当弯矩增加到M =Mu时，整个横截面上的应力均达到ss(图f)，梁进入完全塑性状态，也称为极限状态， Mu称为极限弯矩。,由分离体(图g)横截面上的法向内力所组成的合力等于零，即,23,式中，At和Ac分别代表受拉区和受压区的面积。由(2)式确定中性轴z的位置。对于水平形心轴为对称轴的截面(例如，矩形等)，水平形心轴即为中性轴。对于水平轴不是对称轴的截面，例如T形截面，中性轴和水平形心轴不重合。随弯矩的增加，中性轴上移
9、。到M=Mu时，中性轴位置如图所示。,24,横截面上法向微内力组成极限弯矩，即,式中，St、Sc分别表示受拉区和受压区面积对中性轴z的静矩，均取正值。,25,对于bh的矩形截面，,由(6)和(1)式，得,26,例24 求图示T形截面梁的极限弯矩，ss235 MPa。,27,解：1. 确定中性轴的位置,设中性轴z到截面底边的距离为y。并设中性轴以下为受拉区，以上为受压区，根据At=Ac，有,2. 求 St、Sc,3. 求 Mu,得,28,4. 残余应力,当矩形截面梁的弯矩达到Mu时，卸去全部荷载，即反向加Mu=bh2s/4，并注意到卸载时se成线性关系，则卸载时smax=(bh2ss/4)/(b
10、h2/6)=3ss /2(图b)，将图b和图a的应力叠加得残余应力(图c)。可以验证残余应力自相平衡。,29,. 横力弯曲梁的极限荷载 塑性铰,(1) 静定梁,图a所示梁的材料为理想弹塑性材料，Mmax=Fl/4发生在C截面处，当C截面处的smax=ss时，相应的荷载Fs为屈服荷载， C截面上的弯矩Ms为屈服弯矩， Ms的值为,30,在Fs 作用下，C 截面未产生明显的塑性变形，F 还可继续增加。,(1),31,1. 当FsFFu (Fu为整个C 截面上的sss时的荷载)时。随F的增加，smaxss(M=Ms)的截面由C截面向左、右两侧扩展，塑性区向中性轴处扩展，弹性区的高度为2ys(图b)，
11、C截面的弯矩为,M,32,式中，第一个积分为半个弹性区的弯矩，第二个积分为半个塑性区的弯矩。由上式得,2. 当F增加到F=Fu时，整个C截面上s ss，C截面发生塑性变形，Fu 为极限荷载，C 截面上的弯矩为极限弯矩Mu(图c)。C截面两侧部分将绕C截面转动。这种由于塑性变形而形成的，但可以承受弯矩Mu的抽象铰称为塑性铰。极限弯矩为,33,设在Fu作用下，塑性区的长度为ls(图c)，由,考虑材料塑性，可使梁的承载能力提高1.5倍。且Fu/Fs与Mu/Ms的比值相同。,(4),34,3. 真实铰与塑性铰的区别,真实铰不能承受弯矩。,塑性铰能承受弯矩Mu。当MMu时，塑性铰不能承受MMu的弯矩，它
12、的作用为铰。卸载时，MMu，塑性铰不起铰的作用，可以承受弯矩。,35,(2) 超静定梁,理想弹塑性材料制成的超静定梁如图所示。,1. 图a. 在弹性范围内，解此超静定梁，可知A截面的弯矩最大。Fs为屈服荷载(A截面上的smaxss时的荷载)，A截面上的弯矩为屈服弯矩Ms，即Ms=3Fsl /16。由此得,(1),36,2. 图b. F增加到F1时，A截面的弯矩首先达到极限弯矩Mu，A截面出现塑性铰。梁成为两端铰支的静定梁。C截面的弯矩为,荷载还可以继续增加。在荷载增加的过程中，A截面上的弯矩MA=Mu保持不变，增加部分的荷载将由梁的其它部分承担，使弯矩重新分配。,37,3. 图c. 当F增加大
13、Fu时，MC=Mu，C截面出现塑性铰，梁成为几何可变的机构。丧失承载能力。 Fu为极限荷载。把(2)式中的F1用Fu代换，MC用Mu代换，即,由(3) 式和(1) 得,38,即Fu/FsMu/Ms。静定梁时， Fu/FsMu/Ms。可见超静定梁可以进一步提高承载能力，因为超静定有多余约束。本例中仅A截面出现塑性铰，成为静定梁，还可以继续增加荷载。,4. 综上所述：考虑材料的塑性时，拉(压)超静定杆系、圆杆扭转、静定梁或超静定梁，均随荷载增加，使内力(或应力)重新分配，从而可以提高承载能力。而拉(压)杆横截面上的正应力均匀分布，考虑材料塑性时应力分布规律不发生变化，因而也不会提高承载能力。,第二章 完,
