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1、Page,1,上一讲回顾,刚性接头：受力时不变形的接头。既传力，又传力偶。,刚架：用刚性接头连接的弹性杆系结构,刚架的内力及其符号：,轴力、扭矩和剪力的符号具有坐标不变性。,弯矩图的符号坐标相关。弯矩图位置具有坐标不变性。,刚架内力图的画法： 将刚架拆为分段的梁（杆），分别绘图后再组合。,曲杆内力图的画法： 一般由内力方程绘图。,Page,2,三、曲梁,未受力时，轴线即为曲线的杆件，称为曲杆。以弯曲为主要变形的曲杆，称为曲梁。平面曲梁：,Page,3,三、曲梁,未受力时，轴线即为曲线的杆件，称为曲杆。以弯曲为主要变形的曲杆，称为曲梁。平面曲梁：,例：计算图示曲梁的内力，画弯矩图。,解：,FS，
2、FN正负符号规定同前。,M不标正负号，画在受压一侧。,曲梁内力图通常根据内力方程绘制。,Page,4,圆弧段：,例：绘制图示曲杆内力图,直线段：,Page,5,6-2 弯曲正应力,第六章 弯 曲 应 力,6-1 引言,6-3 弯曲切应力,6-4 梁的强度条件,6-5 梁的合理强度设计,6-6 弯拉(压)组合与截面核心,Page,6, 梁的弯曲正应力 梁的弯曲切应力 梁的强度分析与设计 弯拉(压)组合问题,本章主要研究：,Page,7,伽利略：关于力学和局部运 动的两门新科学的对话和数 学证明，1638.,一、 历史回顾,6-1 引言,Page,8,建立了“实验观测假设 分析与推导”的现代科学研
3、究方法,无中性轴概念受当时实验观测的局限,静力不平衡19世纪初才由L.Poinsot以静力学公理明确阐明刚体上力系的简化与平衡,伽利略开创性研究的评述,2. 局限性,1. 开创性,Page,9,错误原因：下图公式中S应由 代替。 已意识到中性轴的概念，离正确结论仅一步之差。,错误结论： 中性轴位置无关紧要。,马略特（1680）的研究,设 ，以B点为矩心 中图：,下图： D为矩心，,Page,10,相关梁应力研究历史：,1620，荷兰 I.Beeckman：梁一侧纤维伸长，一侧缩短 1678，Hooke: 梁凸面纤维伸长，凹面缩短 1702，P.Varignon:纤维拉力沿截面曲线变化 （同样忽
4、略压 缩变形） 1654-1705，Bernoull: 中性轴位置无关紧要 1713，Parent.A: 指出应静力平衡，学说长期埋没 1813，Navier: 中性轴位置无关紧要 1826，Navier: 正确应用静力平衡方程，中性轴过形心,Page,11,三、 梁横截面上的弯曲应力,弯曲正应力,弯曲切应力,四、 对称弯曲,对称截面,梁具有对称截面，且在纵向对称面承受横向外力（或外力的合力）时的受力与变形形式。,二、 组合变形,杆件的一般变形通常可分解为拉压、扭转与弯曲变形的两种或三种基本变形的组合。,Page,12,五、 纯弯曲与横力弯曲,六、 对称纯弯曲,梁或梁段各横截面剪力为零、弯矩为
5、常数的受力状态称为纯弯曲；既有剪力又有弯矩则称为横力弯曲。,七、问题静不定性质,连续体的静不定问题,八、分析方法,从简单到复杂，即从对称纯弯曲、到一般横力弯曲、再到组合变形进行研究。 连续体的静不定问题，综合几何、物理和静力学三方面进行研究,Page,13,一、实验观测与假设（动画）,纵向线：成圆弧线,上方纵向线 缩短，下方伸长,横向线：保持直线，与横线正交,顶与底部纵、横线变形比：符合 单向受力泊松效应,单向受力假设,平面假设：变形后横截面保持平面，仍与纵线正交,2. 内部变形假设,6-2 弯曲正应力,1. 外部变形观测,Page,14,3. 重要推论,梁内存在一长度不变的过渡层中性层,中性
6、轴截面纵向对称轴,变形过程中横截面间绕中性轴相对转动,Page,15,1. 几何方面,考察线段ab的变形：,变形前：,变形后：,二、弯曲正应力一般公式,Page,16,2. 物理方面,由胡克定律和单向受力假设：,y 坐标原点位于中性轴，r 中性层的曲率半径,3. 静力学方面,定义,Page,17,三、最大弯曲正应力,定义,（抗弯截面系数）,正应力沿截面如何分布？,Page,18,典型截面的惯性矩与抗弯截面系数,Page,19,例 2-1 已知：钢带厚d=2mm, 宽b=6mm, D=1400mm, E=200GPa。计算：带内的 smax 与 M,解：1. 问题分析, 应力变形 关系：, 内力
7、变形或内力应力关系：,已知r=(D+d)/2, E, 截面尺寸，可应用下述关系求应力与内力,或,Page,20,2. 应力计算,3. 弯矩计算,或,Page,21,梁的弯曲正应力小结,中性轴过截面形心,中性轴位置：,正应力公式：,中性层曲率：,，对称弯曲, 纯弯与非纯弯,应用条件：,Page,22,附录A 截面几何性质,截面的几何性质与构件的力学性能有何关联？,如何描述截面的几何性质？,截面的几何性质：与截面形状与尺寸有关的量,Page,23,拉压：,扭转：,弯曲：,A, IP, WP, Iz, Wz表征截面几何性质的量,我们已经学习了哪些截面的几何性质？,Page,24,A-1 静矩与形心,
8、一、 静矩,积分,分别称为对坐标轴x和y的静矩或一次矩。,静矩的量纲：,Page,25,二. 形心,回顾理论力学的质心计算公式：,均质等厚薄板质心位于中面形心,静矩：,或,如果截面对某轴的静矩为零，则该轴为形心轴。 形心轴：通过截面形心的坐标轴。,Page,26,三、 组合截面的静矩与形心,Page,27,例： 确定下图所示截面的形心位置,解：将截面分为两部分，利用组合截面的公式：,Page,28,A-2 极惯性矩 惯性矩惯性积,一、 截面对o点的极惯性矩或二次极矩,二、 截面对z轴或y轴的惯性矩 或二次轴矩,三、 一个恒等式,Page,29,五、 截面对z轴或y轴的惯性半径,四、 截面对z轴
9、与y轴的惯性积,六、 惯性矩与惯性积的组合截面公式,Page,30,A-3 惯性矩与惯性积的平行移轴定理,一、 惯性矩的平行移轴定理,Cy0z0形心直角坐标系,Oyz任意直角坐标系,二者平行,同理:,Page,31,Cy0z0形心直角坐标系,Oyz任意直角坐标系,二者平行,二、 惯性积的平行移轴定理,Page,32,例： 求下图所示截面对z方向形心轴的惯性矩,1、求全截面形心轴位置,2、求对个部分自身形心 轴的惯性矩,解：方法一，如图将截面划分四块,3、求对全截面形心轴惯性矩,方法二：负面积法。 自行完成,Page,33,思考：下列计算是否正确？ 其中C是截面形心。,解：不正确。 因为 Z1
10、不是形心轴,Page,34,a：始边-y轴，为正,A-4 转轴公式与惯性矩,一、 转轴公式,从公式，你发现了那些规律？,Page,35,二、主轴与主惯性矩,令,结论：在以o点为原点的所有坐标系中，一定存在一直角坐标系，截面对其坐标轴的惯性积为零。,主轴:满足惯性积为零的坐标轴,主惯性矩:对主轴的惯性矩,主形心轴与主形心惯性矩,Page,36,例: l=1m,b=30m,t=5mm, = - 0.001, = 0.0005, E=200GPa, 求,1、梁内的绝对值最大正应力； 2、梁底部纵向总伸长量； 3、高度h的大小； 4、载荷q之值。,Page,37,解：1、求绝对值最大正应力,可由应变与
11、弯矩的正比关系确定最大应变，再由应变求应力。,先画剪力弯矩图。,由,知正应力、正应变最大值发生在H截面。,Page,38,（3）绝对值最大正应变,（3）绝对值最大正应力,Page,39,2、计算底部纵向总伸长,（1）弯矩方程,（2）底部应变,由于 e 与M成正比，可设,分析：由 需应变方程，但只知一点应变，怎么办？,应变方程与弯矩方程的函数关系相同：,Page,40,（4）底部纵向总伸长量,（3）底部纵向应变方程,Page,41,3、计算高度h,截面对形心轴的静矩为零,分析：已知b,t, 未知h1,h2，需由两个条件决定。,第一个条件,第二个条件,Page,42,由截面对形心轴的静矩为零,代入：b=30mm,t=5mm,Page,43,4、计算载荷q,Page,44,6-1 6-3 6-8,作业(2) 5-17b,作业(3) 5-20b,
