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1、航海数学 Nautical Mathematics,September 7, 2015,武汉理工大学 航运学院 刘文,第一章 航海数值内插法,插值法是一种古老的数学方法，早在一千多年前的隋唐时期定制历法时就广泛应用了二次插值。刘焯将等距节点的二次插值应用于天文计算。 插值理论却是在17世纪微积分产生后才逐步发展起来的，Newton插值公式理论是当时的重要成果。 由于计算机的使用以及航空、造船、精密仪器的加工，插值法在理论和实践上都得到进一步发展，获得了广泛的应用。,在航海数值计算中，经常要用到一些专用表册，如：航海表、吃水差表等等，这些表册都是按一定的函数关系编排的，如：,数值内插在航海工程中
2、的意义,根据已知的x值，查表可求得y值，但是表内不可能一一列出全部y值，当所求的函数值y正好在两表列数值之间，利用表列数据间的引数求y值的方法称为内插法。 内插法： 利用函数表册，根据任意居间引数查取相应函数的方法。,内插分类： a：按使用目的：,正内插已知引数求函数； 反内插已知函数求引数。,b：按引数的个数： 单内插、双内插、三内插 c：按函数的性质： 线性内插、变率内插、高次内插,第一节 比例内插 (Proportional Interpolation),一比例单内插 (proportional single interpolation),1比例正内插 已知 求 。,比例内插公式：,O,
3、x0,y0,x1,y1,x,y,f(x),x,y,a,b,c,e,d,比例内插的几何意义： 用表列引数两点的直线代替曲线进行内插，即以弦代替曲线进行内插。 结论： 1）f(x)为线性函数，求得的y值没有误差 2) f(x)为非线性函数，求得的y值有df误差,：对非线性函数，表间距越小，利用线性内插求得的函数值的误差越小。但是表的篇幅会增大。,：只要在误差允许的范围内，均可采用线性内插。,例211：设物标高h，垂直角，水平距离Dh ctg，利用该式编表如下：,（1）求4，h13.4m时的D*？,（2）求5，h13.4m时的D*？,2. 比例反内插 (inverse proportional in
4、terpolation),内插的逆运算，已知求？,内插的逆运算，已知求？,比例内插公式,比例反内插公式,二. 比例双内插 (proportional double interpolation),当函数有两个自变量时，用比例双内插求近似解。 比例双内插是比例单内插的自然推广。 比例单内插是比例双内插的特殊情形。 比例双内插可按照比例单内插的计算方式进行计算。,例212：由例211的计算结果，求h13.4m，4.4时的D？,例212：由例211的计算结果，求h13.4m，4.4时的D？,例212：由例211的计算结果，求h13.4m，4.4时的D？,例213：由例211的计算结果，求h13.5m，
5、3.5时的D？,第二节 变率内插 (Interpolation by Rate of Change),当函数是非线性函数时，如果用比例内插计算将会导致一定的计算误差 为了尽量减小该误差，则引进了变率内插。,当函数是非线性函数时，如果用比例内插计算将会导致一定的计算误差 为了尽量减小该误差，则引进了变率内插。,一. 变率单内插 (single interpolation by rate of change),利用表中给出的函数变化率进行内插。,变率,比例,区别：比例内插只依赖于两点间连线的斜率；变率内插依两点间局部斜率的变化而变化。,（1） 用比例内插 y5.5 （2） 用x2变率内插 y44（
6、2.32）5.2 （3） 用x3变率内插 y96（2.33）4.8 （4） 用yx2直接计算 y5.29,例221：用yx2造表，求x2.3时的y？,分析： 比例内插误差大； x2的变率内插较准。,结论： 使用变率内插时，为减小误差，应使用最接近实际引数的表列引数所对应的函数为基准 。,y,x,o,f(x),x0,y0,x1,y1,x,y,yp,yx0,yx1,变率内插的几何意义：,准确值y,按x0变率内插，为yx0,按x1变率内插，为yx1 yx0 最接近准确值y 。,按比例内插，为yp,二. 变率双内插 (double interpolation by rate of change),令函数的表达形式为 在点处的泰勒展开为,即,例222：求h13.4m，4.4时的D？,总结,查算由非线性函数造的函数表，不论用比例内插还是变率内插都会导致一定的误差。 在精度允许的情况下可采用任意一种方法计算。在航海实际工作中大多数采用比例内插。,知识拓展,拉格朗日插值 均差与牛顿插值多项式 埃尔米特插值 分段低次插值 三次样条插值 参考文献：数值分析(第5版)，李庆扬，王能超，易大义 著，清华大学出版社。,
