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1、第三章 扭转,Chapter 3 Torsion,第三章 扭 转 (Torsion),3-1 扭转的概念和实例(Concepts and example problem of torsion),3-2 扭转内力的计算(Calculating internal force of torsion),3-3 薄壁圆筒的扭转(Torsion in thinwall circular tube),3-4 圆轴扭转的应力分析及强度条件(Analyzing stress of circular bars & strength condition),3-8 开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转(Free torsi
2、on of open and closed thin-walled members),3-5 圆轴在扭转时的变形和刚度条件(Torsional deformation of circular bars & stiffness condition),3-6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 (Calculation of the stress and deformation in close-coiled helical springs),3-7 非圆截面杆的扭转(Torsion of noncircular prismatic bars),3-1 扭转的概念及实例,一、工程实例(Engineer
3、ing examples),轴：工程中以扭转为主要变形的构件。,(Concepts and example problems of torsion),二、受力特点(Character of external force),杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶.,三、变形特点(Character of deformation),杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.,电机每秒输入功：,外力偶作功：,已知:轴转速n 转/分钟；输出功率P 千瓦，计算：力偶矩Me,3-2 扭转的内力的计算 (Calculating internal force of torsio
4、n),一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment),从动轮,主动轮,从动轮,一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment),Me作用在轴上的力偶矩( N m ),P轴传递的功率(kW),n轴的转速( r/min ),在n-n 截面处假想将轴截开，取左侧为研究对象,二、内力的计算 (Calculation of internal force),1.求内力(Calculating internal force),截面法 (Method of sections),采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的指向背离截面时扭矩为正,反之为
5、负.,2.扭矩符号的规定 (Sign convention for torque),3.扭矩图(Torque diagram),用平行于杆轴线的坐标 x 表示 横截面的位置;用垂直于杆轴线的 坐标 T 表示横截面上的扭矩,正的 扭矩画在 x 轴上方,负的扭矩画在 x 轴下方.,Me4,A,B,C,D,Me1,Me2,Me3,n,例题1 一传动轴如图所示,其转速 n = 300 r/min ,主动轮A输入的功率为P1 = 500 kW . 若不计轴承摩擦所耗的功率,三个从动轮输出的功率分别为P2 = 150 kW ,P3 = 150 kW , P4 = 200 kW. 试做扭矩图.,解: 计算外
6、力偶矩,Me4,A,B,C,D,Me1,Me2,Me3,n,计算 CA 段内任横一截面 2-2 截面上的扭矩.假设 T 2为正值.,结果为负号,说明T 2 应是负值扭矩,由平衡方程,A,B,C,D,Me1,Me3,Me2,同理,在 BC 段内,Me4,A,B,C,D,同理,在 BC 段内,在 AD 段内,注意：若假设扭矩为正值, 则扭矩的实际符号与计算符号相同.,Me4,Me1,Me3,Me2,作出扭矩图,从图可见,最大扭矩在 CA段内.,总结：扭矩的计算规律,即：任一截面上的扭矩等于截面 一侧所有外力偶矩的代数和。,例2 图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D轮输出功率分别为
7、2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？,解：（1）传递的外力偶矩,B、C、D: 2、3、5KW,n=300r/min,（2）求内力,在CA段和AD段,（3）绘出扭矩图：,+,-,（4）将A、D轮的位置更换,AD段,因此将A、D轮的位置更换不合理。,3-3 薄壁圆筒的扭转 (Torsion of thin-walled cylindrical Vessels),1.实验前,（1）画纵向线,圆周线; （2）施加一对外力偶.,一、应力分析 (Analysis of stress),2.实验后,（1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未
8、改变，只是绕轴线作了相对转动；,（2）各纵向线均倾斜了同一微小角度 ； （3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.,3.推论(Inference),（1）横截面上无正应力，只 有切应力；,（2）切应力方向垂直半径或 与圆周相切.,圆周各点处切应力的方向于圆周相切, 且数值相等,近似的认为沿壁厚方向各点处 切应力的数值无变化.,此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式.,4.推导公式 (Derivation of formula),薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,与半径垂直, 指向与扭矩的转向一致.,二、切应力互等定理 (Shearing Stress Theorem),1.在单
9、元体左、右平面（杆的横截面）只有切应力, 其方向于 y 轴平行.,两侧面的内力元素 dy dz 大小相等,方向相反,将组成 一个力偶.,由平衡方程,其矩为( dy dz) dx,2. 要满足平衡方程,在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素. 它们组成力偶，其矩为,此力偶矩与前一力偶矩,数量相等而转向相反，从而可得,( dy dz) dx,3.切应力互等定理 (Shearing stress theorem),单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在,且大小相等,都指相（或背离）该两平面的交线.,4.纯剪切单元体 (Element in pure shear),单元体平面上
10、只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体.,式中, r 为薄壁圆筒的外半经.,三、剪切胡克定律 (Hookes law for shear),由图所示的几何关系得到,薄壁圆筒的扭转试验发现,当外力偶 Me 在某一范围内时,扭转角 与 Me （在数值上等于 T ）成正比.,三个弹性常数的关系,从 T 与 之间的线性关系,可推出 与 间 的线性关系.,该式称为材料的剪切胡克定律 (Hookes law for shear),G 剪切弹性模量,思考题：指出下面图形的切应变,2,0,变形几何关系,物理关系,静力关系,3-4 圆轴扭转的应力分析 强度条件(Analyzing stress of circ
11、ular bars & strength condition),1.变形现象 (Deformation phenomenon),（1） 纵向线仍为直线,且长度不变；,（2） 横截面仍为平面且与轴线垂直；,一、变形几何关系(Geometrical Relationship of Deformation),（3） 径向线保持为直线,只是绕轴线旋转；,2.平面假设(Plane assumption) 变形前为平面的横截面 ,变形后仍保持为平面.,（4） 各圆周线的大小、形状、间距保持不变。,O1,O2,3.几何关系(Getrical relationship),倾角 是横截面圆周上任一点A 处的切应
12、变, d 是 b-b截面相对于a-a 截面象刚性平面一样绕杆的轴线转动的一个角度.,经过半径 O2D 上任一点G的纵向线EG 也倾斜了一个角度 r ,也就是横截面半径上任一点E处的切应变,同一圆周上各点切应力 均相同,且其值与 成正比, 与半径垂直.,二、物理关系(Physical Relationship),由剪切胡克定律,三、静力关系 (Static Relationship),1.公式的建立(Establish the formula),结论,代入物理关系中得到,式中：T 横截面上的扭矩, 求应力的点到圆心的距离,Ip 横截面对圆心的 极惯性矩,切应力与半径成正比，切应力与扭矩同向的顺流
13、。,Wt 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3.,2. 的计算(Calculation of max),r,O,T,dA,dA,（1）实心圆截面,3.极惯性矩和抗扭截面系数的计算 (calculating the polar moment of inertia §ion modulus under torsion),（2）空心圆截面,其中,实心与空心圆截面的扭转切应力分布,t,max,t,max,t,max,（实心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。,例题3 图示空心圆轴外径D=100mm,内径d=80mm, M1=6k
14、Nm, M2=4kNm, 材料的剪切模量 G=80GPa.,（1） 画轴的扭矩图；,（2） 求轴的最大切应力,并指出其位置.,解:（1）画轴的扭矩图,BC段,T1+Me2=0,T2+Me2-Me1=0,T2 =2kNm,AB段,（+）,最大扭矩发生在BC段 Tmax=4kNm,（2）求轴的最大切应力, 并指出其位置,max,最大切应力发生在截面的周边上,且垂直于半径.,max,四、强度条件 (Strength Condition),扭转试验机,低碳钢的扭转破坏,屈服：,断裂：,铸铁的扭转破坏,断裂：,拉应力引起,1. 数学表达式(Mathematical formula),四、强度条件 (St
15、rength Condition),A,B,C,解：作轴的扭矩图,MeA,MeB,MeC,分别校核两段轴的强度,例题4 图示阶梯圆轴,AB段的直径d1=120mm,BC 段的直径 d2=100mm.扭转力偶矩为MA = 22 kNm, MB = 36 kNm ,MC =14 kNm. 已知材料的许用切应力 = 80MPa,试校核该轴的强度.,因此,该轴满足强度要求.,例题5 实心圆轴1和空心圆轴2（图a、b）材料,扭转力偶矩M 和长度l 均相等,最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比 = 0.8 ,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比.,l,l,(a),(b),分析：设实心圆截面直径为d1,空心圆截面的内、外径分别为 d2、 D2 ; 又扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为 T .,已知：,d,d2,D2,因此,解得,两轴材料、长度均相同,故两轴的重量比等于两轴的横截面面积之比,在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料.,从截面的几何性质分析:,采用空心轴的优势,根据应力分布规律:,轴心附近处的应力很小，实心轴的轴心附近处的材料没有较好地发挥其作用；,横截面面积相同的条件下，空心轴材料分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数Wt也比较大，强度和刚度均又提高；,练习1
