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1、牛顿插值公式,n 阶差商,其中，,- 牛顿插值多项式,- 牛顿插值余项,乘除法次数大约为:,较L-插值法减少了3-4倍.,4 差商与牛顿插值多项式,5 重节点差商,定义5 (重节点差商),若 ,?,则定义,类似的有,分析：,(2)首先,由定义,泰勒展开式,(2)首先,由定义,泰勒展开式,证明：,并记,5 差分，等距节点插值多项式,5.1 差分及性质,且,即,1、差分,（1）记号, 向前差分算子；, 中心差分算子.,定义6, 向后差分算子；,二阶向前差分；,二阶向后差分；,若,二阶中心差分；,、向后、中心差分.,分别,(3) 一般地，, 阶向前差分；, 阶向后差分；,I 不变算子（恒等算子）；,
2、（4）设A与B为两算子,如,（自己证）,E 位移算子,2、性质,性质 1,的各阶差分均可用函数值表示。,其中,证明：,用算子二项式定理：,得,即,#,用归纳法可证。,性质 2 差分与差商的关系,令,证明：,当m=1时，,假设当m=k时，有,则,#,自己证,一般地,性质3 差分与导数关系,证明：,性质2,定理7,5.2 牛顿向前插值，向后插值公式, 被插值点。,以下推导以 为节点的等距插值公式。,作变换,1、公式,自己证,代入(4.2)：,（牛顿前插公式或表初公式）：,即得牛顿向前插值公式,作变换,又,则,再由,（牛顿后插公式或表末公式）：,即得牛顿向后插值公式,注：（1）（5.2）、(5.3)
3、使用于等距节点。,（2）（5.2）、(5.3)的系数分别为 ，,差分表2-7,求解方法见表2-7。,(5.2)的系数,(5.3)的系数,说明:节点的取法：取与x尽量接近的节点。注意两点，首先，若,2、计算量,（1）计算差分（计算量忽略不记）；,（2）由前插（后插）公式计算近似值：,（计算步骤）,乘除法次数大约为: +,秦九韶算法,达到了误差要求，则其他一些节点就用不到了，因此，表中的n,可以相当大，牛顿插值公式中的n不一定就是表中的n；另外,表初,式计算。,在公式中的比重是一样的。若x不在表初、表末而在表中间，则有,例4。例4还有另外的选取节点的方法，也可以用牛顿向后插值公,公式中 似乎占有较大比重，而从误差公式的对称性知,表2-8,表2-9,精确值：,说明：也可取节点为,利用牛顿向后插值公式（5.3）计算。,本课重点：,(1)理解差分的有关概念及性质。,(2)理解牛顿向前（后）插值公式并会计算较简单的题目。,
