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1、计数原理分类计数（加法原则）：完成一件事有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事方法共有：分步计数（乘法原则）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事方法共有：区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事；分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件练习训练：1.填报志愿时，有A、B两个大学可以选，A学校开设了物理、化学、医学与工程学，而B开设了数学、会计与法学，
2、请问每个毕业生有多少种不同的选择？2.某班有30个男生，24个女生，从中选出男女各一名代表参加比赛，有多少种不同选法？3.将3种植物种在下图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种，不同的种植方法有_种。4.用4种不同颜色对圆上依次排列的四点染色，每个点染一种颜色且相邻两点颜色不同，则染色方案有_种。5.从0，2,4,6,8中任取数组成一个两位数，共有_种不同的方法。6.从0，2,4,6,8中任取数组成一个没有重复数字的两位数，共有_种不同的方法。7.如下图，小明从家里到学校，共有几条不同的路线？家学校排列组合一、排列：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不
3、相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。 排列数公式： （ ）阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定.二、组合：一般地，从个不同元素中取出个元素并组成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.组合数公式： 或基本练习1、给出下列问题：有10个车站，共需要准备多少种车票？有10个车站，共有多少中不同的票价？平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？以上问题中，属于排列问题的是 （填写问题的编号）2.从4种蔬菜品种中选取3种种植在同一
4、片土地上进行试验，有多少中不同的种植方法？3.从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少中不同的种植方法？4.从6个人中选出4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼与莫斯科四座城市游览，要求每个城市有一个人游览，而一个人也只能选择一个城市，请问有几种情况？5.从6个人中选出4个人参加一次的国际旅游，请问有多少种情况？排列组合的几类问题一、特殊元素和特殊位置技巧：优先法位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。1.由0,1,2,3,4,5可以组成多
5、少个没有重复数字五位奇数？2.7个同学排队，若： （1）甲站在中间位置； （2）甲、乙只能站在两端； （3）甲、乙不能站在排头和排尾； （4）甲不能站排头，乙不能站排尾。3.在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_个。4.五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（ ） A. B. C. D. 二、相邻问题技巧：捆绑法要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列。1.7个人站成
6、一排 ,其中甲与乙相邻且丙与丁号相邻, 共有多少种不同的排法？2.用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，7与8相邻，这样的八位数有_个。3.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有_种。4.3个男生与3个女生排队，要求其中男生甲要与女生乙相邻，男生丙要与女生丁相邻且在其左边，则不同的排列方法有_种。三、不相邻问题技巧：插空法元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端。1.7个人排队，其中甲与乙不能相邻，请问有多少中不同的排列方法？2.7个人排队，其中甲乙丙都不能相邻，请问不同的排列方
7、法有多少种？3.7个人排队，其中甲乙两人之间刚好间隔2人，请问有多少种不同的情况？4.高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是_. 5.某班新年联欢会原定有5个节目已排成节目单，开演前临时增加了两个新的节目。如果想将这两个节目插入原节目单中，则不同的插入法有（ ） A.42种 B.30种 C.20种 D.12种6.马路上有9盏路灯，为了节约用电，可以关掉其中的三盏灯，要求关掉的路灯不能相邻，且不在马路的两头，那么不同的关灯方案共有_种。7.3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种
8、？四、重排列问题技巧：求幂法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种。1.把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法？2.5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是_.3.火车上有十名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有_种.4.从6个人中选出4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼与莫斯科四座城市游览，要求一个人只能选择一个城市，请问有几种情况？（注意与“基本练习4”的区别）5.4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数
9、_；若每个队只许一位学生参加，则有_种不同结果.6.有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？若每科只限一人参加，又有多少中不同的报名方法？五、多排列问题技巧：直排法一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究。1.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法？ 2.6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种3.8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中甲乙两个个元素要排在前排，丁元素排在后排，有多少种不同排法？六、排列组合混合问题技巧：
10、先选后排法解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似，但要注意选择时是否需要考虑排列。1.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法？2.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法有 种3.一个班有5名战士，要求他们完成四种不同的任务,每个项目都必须有人去完成，则不同的选法有_ 种。4.一个班有6名战士,其中正班长1人，现要求他们完成四种不同的任务,且正班长必须跟其他人一起完成，则不同的选法有_ 种。5.一个班有6名战士，其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有_ 种 七、元素相同问题技巧：隔板法要将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,且每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为。1.有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 2.将10个相同的小球分别装到5个箱子里，且每个箱子至少有一个球，则不同的分法有_种。3.将8颗一摸一样的糖分发给3个学生，有多少种不同的分法？ 6 / 6
