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1、第12章,结构的动力计算 第3讲,12.4 单自由度体系在简谐荷载作用下的动力计算,一.运动方程及其解,P -荷载幅值,-荷载频率,特解,或,一般解,运动方程,齐次方程通解,特解一阶导数,特解二阶导数,代入(a)，整理后得到方程：,令等号两边sint和cos t 的相应系数分别相等，从得到的方程：,可解得：,由初始条件可确定积分常数,方程(a)的 通解为：,其中：,初位移、初速度引起的自由振动分量,动荷载激起的按结构自振频率自由振动的分量,称为伴生自由振动,纯受迫振动（稳态振动）,若特解写为：,体系按干扰力频率振动 振动不衰减,二. 几点讨论（稳态）,在稳态振动阶段,定义干扰力幅值引起的静位移
2、为：,D动力系数（考虑阻尼时的放大系数）,1 . 振幅,令,重要的特性： 1. 当时,0，此时D1（大于1）荷载变化得很慢，可当作静荷载处理，位移接近于干扰力幅值引起的静位移。,2. 当时,1，D0, 结构可看做静止，即无变形位移（结构刚度极大）（ D近似与阻尼无关）。,3. 当 时,1。 D迅速增大，即荷载频率接近于自振频率时，振幅会迅速增大。称为“共振”。通常把0.75 / 1.25称为共振区。,共振 ： 有阻尼 无阻尼 （共振区内阻尼不能忽略）,2 . 位移与荷载之间的相位关系,相位,若0（无阻尼）：,有阻尼： （位移总是滞后于振动荷载）,3. 强迫振动时能量的转换,振动荷载P sin(
3、t)在振动一周内所输入的能量：,粘滞阻尼力D (t) 在振动一周内所消耗的能量：,4. 不考虑阻尼（0）时的计算结果,-荷载幅值作为静荷载所引起的静位移,-动力系数,-稳态振幅,当 时，A趋于无穷，,5. 弹性动内力幅值的计算,（A）. 由于考虑线弹性，结构的弹性内力与位移（变形）成正比，故位移达到幅值时，内力即达到幅值。,（2）. 确定振动位移达到幅值时的时刻 即由下式解出t=t*,（1）. 确定振动位移函数 的具体表达式 即算出初相位,（3）. 将此时的振动荷载 及惯性力 一起加于梁上，按一般静力学求内力方法求解内力（不必考虑阻尼力的作用）,（B）. 当振动荷载与惯性力共线（即与位移共线）
4、时。,因此 ，将 加到质点上，作出相应的内力 图，即为动内力的幅值图 。（即将结构在P=1作用下的内力图 放大 倍就是结构的弹性动内力幅值图。）（不考虑阻尼）,例.图示为块式基础.机器与基础的质量为 ;地基竖向 刚度为 ;竖向振动时的阻尼比为 机器转速为N=800r/min,其偏心质量引起的离心力为P=30kN.求竖向 振动时的振幅。,解：,由于自振频率的计算误差,共振,当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各 截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可。,例：已知m=300kg，EI
5、=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1 求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。,解：1)求,2)求,3)求ymax， Mmax,例、一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数W=534cm3，E=2.1104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量G=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖向分量为Psint。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长l=4m） 解：1）求自振频率和荷载频率,2）求动力系数,175.6MPa,必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质 点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由 度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。,I22b,3570cm4,3570,39.7,39.7,1.35,对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。,325,149.2,
