数字信号处理第六章20121108修改

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1、1第六章 有限长单位冲激响应（ FIR）数字滤波器的设计 学习重点： FIR 数字滤波器具有线性相位的条件、线性相位 FIR 数字滤波器的幅度特点以及零点分布特点。 窗函数设计法设计 FIR 数字滤波器的基本原理、设计步骤、窗函数选取的基本原则以及窗函数设计法的不足。 FIR 数字滤波器与 IIR 滤波器优缺点的对比。引言数字滤波器(Digital Filter)是指输入、输出都是离散时间信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。在许多数字信号处理系统中，如图像信号处理等，有限冲激响应（FIR）滤波器是最常用的组件之一，它完成信号预调、频带选择和滤波等

2、功能。FIR 滤波器虽然在截止频率的边沿陡峭性能上不及无限冲激响应（IIR）滤波器，但是却具有严格的线性相位特性，稳定性好，能设计成多通带（或多阻带）滤波器组，所以能够在数字信号处理领域得到广泛的应用。6.1 线性相位 FIR 滤波器的含义与其特点设滤波器的频率响应为 ，其幅度特性为 ；而其相位特性()()jjHee()H为 ，若 满足 ，则称该滤波器是线性相位的。线性相位的滤波器的()()d相位特性包含 2 种情况，即 或 。其中 和 均为常数，表()()示相位特性曲线是一条斜率为常数 的直线，即： 。()d6.1.1 线性相位系统的时域条件离散系统满足什么样的时域条件时，该系统才具有线性相

3、位的特点呢？这里我们不做过多的理论推导，仅举几个特例进行分析：设 FIR 离散系统单位冲激响应为 ，其长度为 ，为实序列。()hnN1.若 关于中心 偶对称，即 ，此时，系统函数()hn12N(1)n，令100()NnnnHzzhz m2则1 1(1)() (1)0 0()NNNmmNmHzhzzhzHz 两式相加，得频率响应 12() 120()(| ()cos)Njjj NzenHeh 幅度特性1120()()cos)NNnh相位特性 ,(,0)2因此得到：具有偶对称形式的冲激响应的系统具有线性相位，此时我们又称之为第一类线性相位。2.若 关于中心 奇对称，即 ，此时，系统函数()hn12

4、N()1)hnN，令100(NnnHzzzmn1 1(1)() (1)0 0() NNmNmmhhzHz 两式相加 1 112 22(1)1()0()()()()NNNNnnnHzzHhzz频率响应为 12() 120()(| ()sin)NjjjzenHeh 幅度特性为1120()()sin)NNnh相位特性为 ,(,)22同样可以得到如下结论：具有奇对称形式冲激响应的系统也具有线性相位。此时我们又称之为第二类线性相位。3要点一：当 FIR 滤波器满足 时，称为第一类线性相位滤波器。()1)hnN要点二：当 FIR 滤波器满足 时，称为第二类线性相位滤波器。6.1.2 线性相位系统的幅度特点

5、当 为偶对称和奇对称时,滤波器幅度函数有两种特性。而当 的取值为偶数和奇()hn N数时，滤波器幅度特性也不同。因而共有 4 种不同的幅度特性，下面分别进行讨论。1. 偶对称, 为奇数。()N101()()cos)2NnHh由于 为奇数 ,中间项 ，2其余项偶对称 32011()()cos)2NnNHhhn显然， 关于 偶对称，可实现任意形式滤波器（低通，高通，带通，()H0,2带阻） 。图 6-1 偶对称 为奇数时 幅度特性举例()hnN()H2. 偶对称，N 为偶数()hn0 ()H20 ()H20,(,aa令 120()()cosNn4101()()cos)2NnHh由于 N 为偶数,无

6、单独中间项 ,所有项均可两两合并令 2mn11()()cos()2mHhm令， 2,Nbnn1()()cos)n关于 偶对称，关于 奇对称。因此可以实现低通和带通滤波器，H0,2但不能实现高通和带阻滤波器。图 6-2 偶对称 为偶数时 幅度特性举例 。()hnN()H3. 奇对称， 为奇数()hn经过推导，可得到： ， 很显然， 关于(0)(2)0H()H0 ()H25奇对称。因此只能实现带通滤波器。不能实现低通，高通和带阻滤波器。0,24. 奇对称， 为偶数()hnN经过推导，可得到： ， 显然， 关于 奇对称，关于(0)2)0H()H0,2偶对称。因此只能实现高通和带通滤波器。不能实现低通

7、和带阻滤波器。要点三： 偶对称, 为奇数，可实现低通，高通，带通，带阻滤波特性。()hnN要点四： 偶对称, 为偶数，可实现低通和带通滤波特性。要点五： 奇对称, 为奇数，可实现带通滤波特性。()要点六： 奇对称, 为偶数，可实现高通和带通滤波特性。hnN6.1.3 线性相位 FIR 数字滤波器零点分布的特点下面简单分析一下，若 FIR 滤波器满足线性相位的条件，其系统函数 的零点分()Hz布有何特点和规律：由 6.1.1 节中的结论可知，当脉冲响应 满足奇对称和偶对称的条()hn件时，该 FIR 滤波器为线性相位，此时 或()1hnN(1)Nn经推导，系统函数 应满足下式，即： 或()Hz(

8、)Hzz(1)()Nz当某点 为 的零点时， （即当 时， ）iziz(1)0NiiizHz显然其倒数 满足： ，即 亦为其零点。1/i 1(/)(0NiiiH/i若 为实数序列，其零点必为共轭的，即 为 的零点时，其共轭 也应()hniz()*iz为其零点，同时其倒数 也为其零点。*/iz图 6-3 线性相位 FIR 滤波器的零点分布0RezImzj*zz1*16如图 6-3 所示，若系统为 FIR 线性相位滤波器，则当我们已知其一个零点 ，另外三iz个零点也随之确定，即 和 也全部为其零点。*1/;iizz*1/iz要点七：若 为线性相位 FIR 数字滤波器的零点，则 ； 和 也为其零点。

9、iz /i*iz*1/i6.2 FIR 数字滤波器的线性相位结构在第二章中我们给出了 FIR 滤波器的几种基本结构，主要有以下几种：直接型、级联型和频率采样型。这里我们将要重点介绍 FIR 滤波器的另外一种基本结构形式：线性相位型结构。FIR 滤波器的线性相位结构有偶对称和奇对称两种情况，分别进行讨论。1. 偶对称时()hn若 为偶数，则系统函数为：N11 12002()()()NNNnnnnHzhzzhz 102 (1)012()(Nn NnNnzz 12 (1)00()(NnNnnhzz 121)0()nNnn（若 为奇数，同理得到如下系统函数N311 2() 1)0 0)()()2NNn

10、 nNnn nHzhzzhz （根据以上推导，可以得到 h(n)偶对称时系统的线性相位结构流图：图 6-4 第一类线性相位网络结构流图2. 奇对称时()hn若 为偶数，则系统函数为：N7121)0()()NnNnnHzhz（若 为奇数，则系统函数为：N 1()2z类似地可以得到 h(n)奇对称时系统的线性相位结构流图如下所示。x(n)y(n)z-1z-1z-1z-1 z-1 z-1z-1h(0) h(1) h(2) h(N/2-1)x(n)y(n)z-1z-1z-1 z-1 z-1z-1h(0) h(1) h(2) h(N-1)/2)N偶 数N奇 数-1 -1 -1 -1 -1-1 -1 -1

11、 -1图 6-5 第二类线性相位网络结构流图【例 6-1】设某 FIR 数字滤波器的系统函数为： )3531() 42zzzH试画出此滤波器的线性相位结构。解：由题中所给条件可知： )4(51)3( 2)(nnh8。为 奇 数，处 偶 对 称 ， 对 称 中 心 在即则 )5( 21 )(12 6.053)(2.140 NNnnhh图 6-6 FIR 线性相位结构的实例6.3 窗函数法设计 FIR 数字滤波器在时域，我们把理想 FIR 数字滤波器的单位脉冲响应用 表示，由于其频域波形()dhn具有矩形的理想特性，导致 为非因果序列且其时域长度为无限大，显然无法物理实()dhn现。因此我们必须对

12、 进行截取处理，得到长度有限的序列 。由于 是将()()hn截取后得到的序列，显然两者具有相似性，因此我们用可物理实现的有限长度序列()dhn来逼近无限长度的理想滤波器 的特性，作为实际滤波器的单位脉冲响应。()dhn因为对理想特性 的截取操作，在算法上是用某函数（一般称为窗函数）与其相()dhn乘得到 ，这种操作在时域波形上类似于对长度为无限大的序列 进行一个“加窗”()n ()dhn截取的处理过程 ，因此该设计方法被称为 FIR 滤波器的窗函数设计法，简称为窗函数法。下面以低通滤波器为例，说明窗函数法的设计原理和设计步骤。窗函数法的设计思想是从时域出发，首先确定理想低通滤波器的频率响应函数

13、为，根据理想低通滤波器的定义，在区间 内有：()jdHe 0,9（ 表示其群时延， 为截止频率）0|()jj cdceHc根据序列傅里叶变换的周期性可知， 是以 为周期的连续函数，在一个周()jdHe2期内的幅频特性曲线如图 6-7 所示。图 6-7 理想低通滤波器的幅频特性理想低通滤波器的单位脉冲响应 为频率响应 的傅里叶反变换，即：()dhn()jdHe11()22sin()si()cj jnddccchHe显然 的长度为无限长，应对其进行截断处理，这个过程相当于用窗函数 与()dh ()wn之相乘，为便于计算和处理，我们这里设窗函数为矩形序列，其长度为 。即N，如图 6-8 所示。()N

14、wnR0 ()jdHe 2c1 c2n)(nhd0 n)(nw0 n()()()dhnhnw010图 6-8 对理想滤波器的单位冲激响应进行加窗处理下面分析理想滤波器加窗后对频率响应有哪些影响。对于矩形窗 ,其频率响应如下()NRn 11 20sin() ()NjNjjjn jReWe eWe 其中： ，si2()nR1对理想低通滤波器，其频率响应为 1()(),2j jddNHee由傅里叶变换的卷积定理得，实际滤波器的响应为 ()()()()*12()jjjdj jRjdjWeedeH其中实际滤波器的相位响应为 ，显然为线性相位。而实际滤波器幅度响应为j。1()()2dRHWd显然加窗后实际

15、滤波器的幅度响应特性可以看做是窗函数与理想低通滤波器在频域的卷积过程，如图 6-9 所示：11图 6-9 加窗处理对频率响应的影响由以上分析可知，加窗处理将会对理想滤波器的频率响应产生以下几点影响：（1）使理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成一个过渡带，其宽度等于窗的频率响应的主瓣宽度。（2）在截止频率的两边的地方即过渡带的两边，出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少，则取决于旁瓣的多少。12（3）改变窗函数的长度 值，只能改变窗谱的主瓣宽度，并不能改变主瓣与旁瓣的N相对比例。实际滤波器的幅度函数在通带和阻带都呈现出振荡现象，且最大波纹大约为幅度的 9%，这个现象称为吉布斯效应。为了消除吉布斯效