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1、1,第四章 特征值和特征向量、矩阵 的相似对角化,工程技术和经济管理的许多定量分析问题，如振动问题 和稳定问题、动态经济模型，常可归结为求一个方阵的 特征值和特征向量. 特征值和特征向量是矩阵的两个重 要概念. 另外，将矩阵化为简单形式是线性代数的一个 重要内容，本章介绍将方阵相似化为对角阵.,本章重点：,特征值和特征向量(定义、求法、性质),相似的定义和性质,方阵相似化为对角阵的条件和方法,实对称矩阵关于特征值和特征向量的基本性质,2,4.1 特征值和特征向量,设 是一个n元列非零向量，A为n阶矩阵，,问题：向量 是否会线性相关？,换一个角度问：能否找到一个数 ，使得 与 相等？,一、特征值
2、和特征向量的概念,二、特征值和特征向量的求法,三、特征值和特征向量的性质,3,一、特征值和特征向量的概念,Def4.1 设A为n阶方阵，若有数 和n元非零列向量 ，使 得 成立，,则称数 是方阵A的特征值，,称向量 为方阵A的属于(或对应于)特征值 的特征向量.,特征向量是非零的向量.,特征值与特征向量是互相对应的，数 是特征值就一定有 非零向量与它对应；反之，非零向量 是特征向量就一定 有一个数与它对应.,一个特征向量对应唯一一个特征值.,一个特征值对应的特征向量有无穷多个, 因此我们关心线 性无关的特征向量.,4,二、特征值和特征向量的求法,是齐次线性方程组 的解.,如果 是A的对应特征值
3、 的特征向量，则方程组,有非零解，,因此,Def4.2 设n阶方阵 令,则称 为方阵A的特征多项式；令,则称上述等式为方阵A的特征方程；,线性方程组 则称为A的特征方程组.,5,矩阵A的特征值是特征方程 的根,或者说，矩阵 A的特征值是矩阵A的特征多项式 的根.,的非零解；,设 是方阵A的一个特征值，则矩阵A的属于特征值 的特 征向量是齐次方程,矩阵A的属于特征值 的线性无关特征向量就 是齐次方程组 的基础解系.,6,求n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤：,(1) 求出n阶方阵A的特征多项式,(2) 求出特征方程 的根 ，即是A的 特征值；,(3) 对于每个特征值 ，求齐次方程 的基 础解系，
4、即是A的属于 的线性无关特特征向量, 基础解系 的线性组合(零向量除外)就是A的属于 的全部特征向量.,7,例1.1 求矩阵 的特征值和特征向量.,解: 这是一道非常简单的求特征值和特征向量的题目，意 在熟悉特征值和特征向量的求法和步骤.,A的特征多项式,所以A的特征值为,8,当 时，解齐次方程组 ，即,得基础解系 即A的属于 的线性无关的特征向,量，因此A的属于 的全部特征向量为,当 时，解齐次方程组 ，即,得基础解系 即A的属于 的线性无关的特征向,量，因此A的属于 的全部特征向量为,9,例1.2 求矩阵 的特征值和特征向量.,解: A的特征多项式,所以A的特征值为,当 时，解齐次方程 ，
5、,10,得基础解系,所以对应于 的全部特征向量为,当 时，解齐次方程 ，,得基础解系,所以对应于 的全部特征向量为,11,例1.3 求矩阵 的特征值和特征向量.,解: A的特征多项式,所以A的特征值为,当 时，解齐次方程 ，,(教材P115，例3),12,得基础解系,所以对应于 的全部特征向量为,当 时，解齐次方程 ，,得基础解系,所以对应于 的全部特征向量为,多重特征值对应的线性无关特征向量的个数有可能等于 重数，也有可能不等于重数.,13,三、特征值和特征向量的性质,1. 特征值的性质,Thm4.1 设A是n阶方阵，则 与A有相同的特征值.,证:,所以A与 的特征多项式相同，故A与 的特征
6、值相同.,Thm4.2 设n阶矩阵 的n个特征值为 则,(1),其中,是A的主对角元之和，称为方阵A的迹，记作tr(A);,(2),14,证:,因为 是A的n个特征向量，则有,另外,令 ，即得,的根为 ，所以,比较两端的 的系数，可得,15,推论4.1 n阶方阵A可逆的充分必要条件是它的任一特征 值不等于零.,Thm4.3 设 是方阵A的特征值， 是A的属于 的特征向 量，则,(1) 是kA的特征值(k是任意常数);,(2) 是 的特征值(k是正整数);,的特征值(m是正整数)；,(4) 当A可逆时， 是 的特征值.,且 也是矩阵kA， ， ， 的特征向量.,16,证：根据定义有,(1),所以
7、 是kA的特征值，且 也是kA属于 的特征向量.,(2),所以 是 的特征值，且 也是 属于 的特征向量.,(3),所以 是 的特征值，且 也是 属于 的特 征向量.,17,(4) 当A可逆时，由推论得 ，,所以 是 的特征值，且 也是 属于 的特征向量.,18,例1.4 设3阶矩阵A的特征值 为求,方阵A的行列式=A的全部特征值之积.,因为的特征值为 ，全不为0，,所以A可逆，且,则有,故 的特征值为,解：,因此,19,例1.5 设3阶方阵A的行列式 ，A有一个特征值为-2, 则 必有一个特征值为 ， 必有 一个特征值为 ， .,解：,0,0,20,2. 特征向量的性质,Thm4.4 属于不
8、同的特征值的特征向量是线性无关的.,证：设 是方阵A的互异特征值， 是分 别属于它们的特征向量，现在证明它们线性无关.,设有数 ，使,左乘A，得,再左乘A，得,如此下去，,21,因为后面一个矩阵的行列式是范德蒙德行列式，当 不为零时，它可逆，因此,因此一定有,这就证明了 是线性无关的.,22,Thm4.5 若 是方阵A的不同的特征值，而 是属于 特征值的线性无关的特征 向量，则向量组,是线性无关的.,23,例1.6 设 和 是方阵A的两个不同的特征值，对应的特 征向量依次为 和 ，证明 不是A的特征向量.,证：,若 是A的特征向量，对应的特征值为 ，则有,从而有,这与题意矛盾，因此 不是A的特
9、征向量.,属于不同特征值的特征向量的线性组合一般不是特征向量.,24,4.2 相似矩阵,相似变换是线性代数中一类十分重要的变换，因为变换 之后的矩阵与原矩阵有多不变量, 也有很多应用.,左乘可逆矩阵PA，是对A施行初等行变换;,右乘可逆矩阵AP，是对A施行初等列变换;,在线性代数中, 这样的乘积 , 称为对A施行相似变换.,一、相似矩阵及其性质,二、方阵相似对角化,三、方阵相似对角化的应用,25,一、相似矩阵及其性质,Def4.3 设A和B都是n阶方阵, 若存在n阶可逆矩阵P, 使得,成立，则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似, 乘积,称为对A施行相似变换，P称为相似变换矩阵.,26,相似
10、是方阵之间的一种关系，也是一种等价关系：,(1) 反身性 A与A相似；,(2) 对称性 若A与B相似，则B与A也相似；,(3) 传递性 若A与B相似，B与C相似，则A与C相似.,27,相似的矩阵具有一些共性，也称为相似不变性：,Thm4.6 若n阶方阵A和B相似，则,(1) R(A)=R(B)；,(2) A与B有相同的特征多项式和特征值；,(3),28,若A与B相似，则tE-A与tE-B也相似.,若A与对角阵(三角阵)相似，则对角阵(三角阵)的对角元 是A的全部特征值.,29,例2.1 设方阵 与对角阵,相似. 试求 之值.,(教材P128，Ex.5),解：根据相似矩阵的性质知，5，-4是A的
11、特征值，所以,由第二个等式得x=4，,又tr(A)=tr( )，可得y=5.,30,二、方阵相似对角化,方阵相似对角化：讨论是否能寻找到可逆矩阵P，将A相 似变换为对角阵. 若A与对角阵相似，则称方阵A可相似 对角化.,方阵可相似对角化的条件：,这样的A满足什么条件？首先我们可知 是A的 特征值.,31,由此可知， 是A的特征向量，而且线性无关(因 为矩阵P可逆).,32,Thm4.7 n阶方阵A与n阶对角阵 相似的充分必要条件 是A有n个线性无关的特征向量.,证：充分性：设 是A的n个线性无关的特征向量,分别属于特征值 ，则,从证明过程可知，如果A可以相似对角化，由线性无关 的特征向量构成的
12、矩阵，就可以将A相似变换为对角阵.,33,推论4.2 一个n阶方阵A若有n个不同的特征值，则A一定 可相似对角化.,根据特征向量的性质：“属于不同特征值的特征向量线 性无关” 知, 若A有n个不同的特征值，则A必有n个线性 无关的特征向量，因此A可以对角化.,有重特征值的方阵A，有可能可对角化，也有可能不可 对角化. 方阵A能否对角化, 关键在于属于多重特征值的线性无关特征向量的个数.,34,Thm4.8 设 为n阶方阵A的r重特征值，则属于 的线性 无关的特征向量最多只有r个.,证：设A有t个属于 的线性无关的特征向量,我们可以寻找到另外n-t个向量 使得向量组,线性无关(这是一定能做到的)
13、. 令,则P是可逆矩阵，且有,显然， 是后面一个矩阵的特征值，且重数至少为t, 由于 相似矩阵的特征值相同，因此,推导见下页,35,36,37,Thm4.9 n阶方阵A可相似对角化的充分必要条件是: A的 每个特征值对应线性无关的特征向量的最大个数等于该 特征的重数.,推论4.3 n阶方阵A可相似对角化的充分必要条件是:对于 A的每个 重特征值 ，属于特征值 恰有 个线性无关 的特征向量.,结论01 n阶方阵A可相似对角化的充分必要条件是: 对于 A的每个 重特征值 ， 矩阵 的秩为,38,例2.2 设 ,问x为何值时,矩阵A可相似对角化.,(教材P123,例1),解：显然 -1是A的单特征值
14、，1是A的二重特征值.,对于特征值-1，一定有 即有一个线性无 关的特征向量属于-1.,对于特征值1，由于,所以只有当x = 0时，才有 这时有两个线 性无关的特征向量属于1；,由以上讨论知，当x = 0时，方阵A可相似对角化.,39,方阵相似对角化的步骤：(依据Thm4.7的充分性证明),(1) 求方阵A的特征值；,(2) 对应于每个特征值 , 求属于 的线性无关的特征向 量,并判断线性无关的特征向量的个数是否等于 的重数；,(3) 若在(2)中求得的线性无关的特征向量的个数等于A的 阶数，记线性无关的特征向量构成的矩阵为P；,(4) 写出对角阵 ，注意，P的第j列是属于 的第j个对角 元的特征向量.,40,例2.3 设 ，求一个可逆矩阵P，使得,为对角阵. (教材P124，例2),解：,所以A的
