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1、第5章 刚体的转动,本章内容,5.1 刚体转动的描述 5.2 转动惯量及计算 5.3 转动定律 5.4 转动定律的应用 5.5 角动量守恒 5.6 转动中的功和能 5.7* 进动,5.1 刚体转动的描述,刚体可以看成是很多质元组成的质点系，且在外力作用下，各个质元的相对位置保持不变,刚体 在受力时不改变形状和体积的物体,刚体是固体物件的理想化模型,平动和转动,平动：,刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。,可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。,注：,转动：,刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。,定轴转动：,转轴固定不动的转动。,P
2、点线速度,P点线加速度,旋转(切向)加速度,向轴(法向)加速度,刚体绕O的转动其转轴是 可以改变的，反映顺时轴 的方向及转动快慢，引入 角速度矢量 和角加速 度矢量,5.2 转动惯量及计算,质元：组成物体的微颗粒元,质元对点的角动量为,沿转轴Oz的投影为,刚体对Oz轴的角动量为,为刚体对 Oz 轴的转动惯量。,刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布以及转轴的位置有关。,结论：,对于质量连续分布的刚体：,（面质量分布）,（线质量分布）,（体质量分布）,例1. 计算质量为m，长为l 的细棒绕一端的转动惯量。,解：,O,1.将棒弯一半成90度; 2.将Z轴移至细棒中心位置;,例2. 一质量为m
3、，半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心并与盘面垂直的Z轴转动惯量。,解：,1. 将圆盘切成一半;2. 将轴平行移至与盘边缘相切处; 3.将Z轴移至通过圆心并在圆面上;,平行轴定理,若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc，则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是,平行轴定理证明:,=m,质心=0,对薄平板刚体的正交轴定理,例3. 已知圆盘JZ=0.5mR2, 求对圆盘的一条直径的Jx,回转半径,设物体的总质量为m，刚体对给定轴的转动惯量为J，则定义物体对该转轴的回转半径rG为：,例4. 计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r）,解：,摆杆转动惯量：,摆锤转
4、动惯量：,解题思路 1. 确定研究对象属性; 2. 写出摆杆转动惯量; 3. 写出摆锤转动惯量; 4. 计算钟摆转动惯量;,5.3 转动定律,由质点系对轴的角动量定理，可得,两边乘以dt，并积分,刚体对定轴的角动量定理：在某一时间段内，作用在刚体上的外力之冲量矩等于刚体的角动量增量。,当 J 转动惯量是一个恒量时，有,刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。,转动定律：,例5. 质量为M =16 kg的实心滑轮，半径为R = 0.15 m。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2）绳子的张力。,解
5、：,?,例6.一质量为m，长为l 的均质细杆，转轴在o点，距A端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o点转动，求：（1）水平位置的角速度和角加速度。（2）垂直位置时的角速度和角加速度。,解：,（1）,（2）,例7. 一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为o，绕中o心旋转，问经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为）,o,r,解,dr,R,3-1-4 刚体对定轴的角动量守恒定律,刚体对定轴的角动量定理,刚体对定轴的角动量守恒定律：,当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时，刚体对该转轴的角动量保持不变。,注意：该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统
6、。,说明：,1. 物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量和角速度的乘积不变。方向也不变。,2. 几个物体组成的系统，绕一公共轴转动，则对该公共转轴的合外力矩为零时，该系统对此轴的总角动量守恒,常平架回转仪装置,轴承光滑，在不太长的时间内，空气与轴摩擦阻力的冲量矩和回转仪的角动量相比是很小的!,可近似认为:,角动量守恒，矢量方向不变表现为转轴方向不变，大小不变表现为回转仪的恒定角速率转动,军舰的稳定性,例8. 质量为M0，半径为R的转盘,可绕铅直轴无摩擦转动,初角速度为零,一质量为m的人,在转盘上从静止开始沿半径为r的圆周相对圆盘匀速跑动,如图所示.求当人在转盘上运动一周回到盘上的原位置时,转盘
7、相对地面转过的角度。,解：,由系统角动量守恒知:,设人相对于转盘角速度为,o,r,R,转盘相对于地的角速度为,解题思路 写出人的绝对角速度; 运用角动量守恒定理; 积分求解;,3-1-5 力矩的功,力矩：,力矩对刚体所作的功：,功率：,力矩对刚体的瞬时功率等于力矩和角速度的乘积。,3-1-6 刚体的定轴转动动能和动能定理,z,第i个质元的动能：,整个刚体的转动动能：,设在外力矩 M 的作用下，刚体绕定轴发生角位移d,元功：,由转动定律,有,刚体绕定轴转动的动能定理 ：合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。,例9. 质量为M，长为2l 的均质细棒，在竖直平面内可绕中心轴转动。开始棒处于水
8、平位置，一质量为m的小球以速度u垂直落到棒的一端上。设为弹性碰撞。求碰后小球的回跳速度v以及棒的角速度。,解：,由系统角动量守恒,解题思路 写出角动量守恒表达式; 写出机械能守恒表达式; 解方程组;,小球作为刚体,对定轴角动量为:,机械能守恒,设碰撞时间为t,消去t,由冲量与冲量矩,例10. 一长为l，质量为M的杆可绕支点o自由转动。一质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为30。问子弹的初速度为多少。,解：,角动量守恒：,子弹作为刚体,射入前的角动量：,射入后,子弹与杆作为一个刚体的角动量：,机械能守恒：,例11. 一质量为M，半径R的圆盘，盘上绕由细绳，一端挂有质量为m的
9、物体。问物体由静止下落高度h时，其速度为多大？,m,M,m,解：,解题思路 写出刚体动能定理表达式; 写出质点动能定理表达式; 解方程组;,由力矩对刚体作功可知：,由力对质点作功可知：,也可视为力矩对刚体作功!,m,M,m,例12. 长为 l 的均质细直杆OA，一端悬于O点铅直下垂，如图所示。一单摆也悬于O点，摆线长也为l，摆球质量为m。现将单摆拉到水平位置后由静止释放，摆球在 A 处与直杆作完全弹性碰撞后恰好静止。试求： 细直杆的质量M；碰撞后细直杆摆动的最大角度。（忽略一切阻力）,解, 按角动量守恒定律,系统的动能守恒,解题思路 写出刚体角动量守恒表达式; 由动能不变列出表达式; 确定质量
10、; 写出机械能守恒表达式; 计算出角度;,解得,系统的机械能守恒，有,杆与地球构成系统，只有重力做功,机械能守恒,例13. 已知均匀直杆质量为m,长为l,初始水平静止,轴光滑,AO=l/4.求杆下摆角度后,角速度为多少?轴对杆作用力为多少?,解,例14. 如图所示已知: M=2m,h,=600,求: 碰撞后瞬间盘的角速度是多少? P转到x轴时盘的角速度是多少?,解,m下落:,碰撞 t 极小，对 m +盘系统，冲力远大于重力，故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：,则：,汽车的驱动力、打滑、翻车,一、 驱动力问题,汽车发动机内的燃气压力推动 汽缸内的活塞经过传导动机构传到后轮上，对后轮作用一个驱动力矩，而地面给后轮一个摩擦力，（主动轮），前轮为从动轮，有前滑的趋势，地面对前轮有一个向后的摩擦力，只有当时， 汽车才能前进，如果后轮不能提供足够 的 摩擦力，此时发生打滑。,二、汽车的打滑,设汽车的加速度 a,问：摩擦系数 ，汽车不打滑？,不计的情况下，解上面三式可得,后轮不打滑的条件为,在下雨或路上结冰的情况下，摩擦系数大大减小，以至上述条件不能满足，此时会发生打滑现象。,三、翻车问题,由上两式可知：,这时后轮离地面而腾起， 整个汽车绕前轮作转动，从而发生重大的翻车事故。,
